向量代數(shù)與空間解析幾何17964317

1、向量代數(shù)與空間解析幾何17964317 向量概念向量：既有大小，又有方向的量. 向量表示：ABA為起點，B為終點自由向量：只考慮大小和方向，而不考慮起點位置的向量向量的模：向量的大小. 記作或例如位移、加速度圖單位向量：零向量：相等向量：大小相等且方向一樣的向量.記作平行向量：兩個非零向量如果它們的方向一樣或者相反，記作模等于 1 的向量，記作模等于零的向量，記作 向量的線性運算三角形法那么與任取一點A，作再以B為起點，作連接AC那么向量稱為向量的和，記作即圖6-7如圖,設(shè)有兩個向量平行四邊形法那么與不平行時，作以AB、AD為邊作一平行四邊形ABCD，連接對角線AC圖6-6，等于向量與的和向量

2、加法的運算規(guī)律：1交換律2結(jié)合律n 個向量 相加可寫成圖6-6當(dāng)向量顯然向量負(fù)向量：與的模一樣而方向相反的向量，記我們規(guī)定兩個向量的差為圖6-8=0，2、向量與數(shù)的乘法向量與實數(shù)的乘積記作，規(guī)定是一個向量，它的模它的方向當(dāng)時與一樣，當(dāng)時與相反.為零向量，即當(dāng)=0時，arlarl這時它的方向可以是任意的.向量與數(shù)的乘積運算規(guī)律：1結(jié)合律2交換律非零向量同方向的單位向量為例1在ABC中,D、E是BC邊上的三等分點(見圖6.12),設(shè)ABAEADAC試用 表示、A BECD由三角形法那么,有 解BC再由數(shù)與向量乘積定義,有BDBCECCEBC從ABD及AEC中可得 AD=AB+BDAE=AC+=AC

3、-EC例2 用向量的運算來證明:三角形兩腰中點的連線平行于底邊且其長度為底邊的一半.BACDE解如圖.設(shè)ABAC那么ADABAEACBCDE=AE-ADBC ，那么，向量平行于必要條件是：存在唯一的實數(shù)，使的充分證明 條件的充分性是顯然的，下面證明條件的必要性.設(shè).取當(dāng)與同向時取正值，當(dāng)與反向時取負(fù)值，即有這時因為此時與同向，且再證數(shù)的唯一性.兩式相減，便得設(shè)向量 定理6.1是建立數(shù)軸的理論依據(jù).我們知道，給定一個點、一個方向及單位長度，就確定了一條數(shù)軸.圖6-8于是由于一個單位向量既確定了方向，又確定了單位長度，故給定一個點及一個單位向量就確定了一條軸.設(shè)點O及單位向量 向量的坐標(biāo)表示式任給

4、向量為對角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長方體RHMK-OPNQ，如圖6-14所示，設(shè)那么坐標(biāo)分解式，沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量，那么有圖6-14有OA定義：有序數(shù)設(shè)向量AB的起點為A(x1, y1, z1),終點為B(x2, y2, z2),三個向量OB、及AB構(gòu)成一個三角形(見圖6.15).由向量的加減法運算可得ABAB=OB-OA設(shè)即那么即向量例3設(shè)求及向量的模解：=5 6.2.4 方向余弦空間兩向量的夾角的概念：圖6-16類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.圖6-17從圖7-13可見，從而解例4 ABAB同方向的單位向量.AB同方向的單位向量例5設(shè)向量與x 軸、y 軸的夾角余弦為且求向量解由

5、2，2所求的向量有兩個，分別為及例6一向量的終點在B(2,1,7),軸和z 軸上的投影依次為4、4和7,求這向量起點A的坐標(biāo).它在x 軸、y解設(shè)A點的坐標(biāo)為(x, y, z),那么AB=(2x,1y,7z),又由條件知AB=(4,4,7),所以有(2x, 1y, 7z) =(4, 4, 7),因此得x =2, y =3, z =0,即所求點的坐標(biāo)為(2, 3, 0). 向在軸上的投影 設(shè)向量AB及一軸u,過A點作一與u軸垂直的平面,該平面與u軸的交點稱A點在u軸上的投影點(見圖6.19).設(shè)點A、B在u軸上的投影點分別為(見圖6.20) ,是與u軸同向的單位向量,如果有,那么數(shù)稱為向量AB在u軸上的投影,記稱u軸為投影軸，稱為向量AB在u軸上的分向量 .向量的投影具有與坐標(biāo)一樣的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3練習(xí)1 在平行四邊形ABCD中，設(shè)試用與表示向量和，這里M是平行四邊形對角線的交點.圖6-7練習(xí)2 求解以向量為未知元的線性方程組練習(xí)3 兩點圖6-11特別地，練習(xí)4 設(shè)點練習(xí)5 設(shè)立方體的一條對角線為 由于平行四邊形得對角線互相平分，所以即于是因為所以又因故由于所以圖7-5解解 如同解以實數(shù)為未知元的線性方程組一樣， 可解得