組合專題講義04恒等式_第1頁
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1、組合專題：組合恒等式知識點組合恒等式: 表示組合數(shù)之間的關系的恒等式.1972年, H.W.Gould 教授在 CombinatoriaiIdentities一書中列舉了九種證明組合恒等式的方法,它們是:(1)數(shù)展開式中的系數(shù);(2)微積分方法;(3)有限差分法;(4)差分方程或遞推關系法;(5)數(shù)學歸納法;(6)數(shù)格點法;(7)排列組合理論(組合解釋);(8)級數(shù)變換;(9)多項式的有限幾Taylor展開,共收集了 500 多個組合恒等式.競賽中常用的方法有：(1) 利用基本組合恒等式及二項式定理.下：基本組合恒等式如(1.1) Cr = Cnr;nn(1.2) Cr+1 = Cr+1 +

2、Cr;n+1nn(1.3) Cr = n Cr1;nn1r(1.4) CrCm = Cm;n rn(1.5) C C + C + + (1) C = 0;012n nnnnn(1.6) Cr + Cr+ Cr+ + C= Cr+1rr+1 C.nn+1n+2n+kn+k1nP廣義二項式定理： 對任意實數(shù) 6= 0, 有 (1 + x) =C x (n n 1), 其|xn=0中 C0 = 1, C =(1)(n+1)(n 1)n.n!Pn(2) 利用組合互逆公式：設是給定的數(shù)列, 如果 bn =(1) C a , n =k kkk=0nPn0, 1, 2, a =(1) C b , n = 0

3、, 1, 2, . . ., . . . , 那么k knkk=0n(3) 母函數(shù)方法; (4) 遞推方法; (5) 數(shù)學歸納法; (6) 組合模型法; (7) 復數(shù)方法; (8) 微積分法; (9) 概率方法.經(jīng)典例題選講例1. 求 C 3C + 5C 7C + .1357nnnn1例2.設 Pn(k) 是集 1, 2, . . . , n 的保持 k 個點不動的排列的個數(shù). 求證:nXkP (k) = n!.nk=02例3.定義數(shù)列數(shù)是組合數(shù)學中一類經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)列, 它的通項公式為 Cn = 1 Cn .現(xiàn)2nn+1P, 滿足 a =試求 limcn .na 的值. (2015賽試題)n4nnii=13P例4. 求證： S=n(1) C C= (1) (). 這里k k mmm nm,nm,n

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