2存在性系列之直角三角形存在性問題

1、2直角三角形存在性問題【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為(1,1),點B坐標為(5,3),在x軸上找一點C使得ABC是直角三角形，求點C坐標.幾何法】兩線一圓得坐標若ZA為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；若ZB為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C;若ZC為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C.(直徑所對的圓周角為直角)重點還是如何求得點坐標，221構(gòu)造三垂直】易證ambznc2AMMBBN=NC2由A、B坐標得AM=2,BM=4，NC2=332代入得：bn=213故C坐標為（13，0）22C、C求法相同，以C為例:343yANOMC

2、3易證AMC3C3NB,AMCFMC3NB由A、B坐標得AM=1,BN=3,設(shè)MC3=a,CjN=b1a代入得：一=,即ab=3，又a+b=4,故a=1或3b3故C3坐標為（2,0）,C4坐標為（4,0）構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線,即可得三垂直相似【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股還剩下C待求，不妨來求下C:11（1）表示點：設(shè)C坐標為（m,0）,又A（1,1）、B（5,3）；1表示線段：AB=25,AC=：(m1)2+12,BC=、；(m5)2+32；分類討論：當(dāng)ZBAC為直角時，AB2+AC2=BC2；111代入得方程：20+(m1)

3、2+12=(m5匕+32，解得：m=還有個需要用到一個教材上并沒有出現(xiàn)但是大家都知道的算法互相垂直的兩直線斜率之積為-1考慮到直線AC與AB互相垂直，k-k=-1，可得：k=-2,1ACABAC11又直線AC過點A(1,1),可得解析式為：y=-2x+3,1所以與x軸交點坐標為3,0、，即C坐標為3,0.212V丿V丿確實很簡便，但問題是這個公式出現(xiàn)在高中的教材上【小結(jié)】幾何法：(1)“兩線一圓”作出點；(2)構(gòu)造三垂直相似，利用對應(yīng)邊成比例求線段，必要時可設(shè)未知數(shù)代數(shù)法：(1)表示點A、B、C坐標；(2)表示線段AB、AC、BC；(3)分類討論AB2+AC2=BC2AB2+BC2=AC2AC

4、2+BC2=AB2；(4)代入列方程，求解.1313如果問題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似而是全等【三垂直構(gòu)造等腰直角三角形】【2019蘭州中考(刪減)】通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問題【模型呈現(xiàn)】如圖，在RtAABC,ZACB=90,將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AD,過點D作DE丄AC于點E，可以推理得到AABCADAE,進而得到AC=DE,BC=AE.我們把這個數(shù)學(xué)模型成為X型”.推理過程如下：C【模型遷移】二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖像交x軸于點A(-1,0),B(4,0)兩點，交y軸于點C.動點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長

5、度的速度沿AB方向運動，過點M作MN丄x軸交直線BC于點N，交拋物線于點D,連接AC，設(shè)運動的時間為t秒.求二次函數(shù)y=ax2+bx+2的表達式；在直線MN上存在一點P，當(dāng)APBC是以ZBPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點D的坐標.分析】y=二x2+x+2；22本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作水平線，得三垂直全等.設(shè)HP=a，PQ=b，貝9BQ=a，CH=b,a+b=4a=1由圖可知：q，解得：b-a=2b=3故D點坐標為(1,3)同理可求此時D點坐標為(3,2).思路2：等腰直角的一半還是等腰直角如圖，取BC中點M點，以BM為一直角邊作等

6、腰直角三角形，則第三個頂點即為點.根據(jù)B點和M點坐標，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2,故P點坐標易求.P點橫坐標同D點，故可求得D點坐標.【2017本溪中考】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=Lx2+bx+c與x軸交于A、B兩點，點B(3,0),25經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為C(4，與y軸交點為D,點P是直線AC下2方的拋物線上的一個動點(不與點A、C重合).求該拋物線的解析式點Q在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)AOPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點P的坐標分析】n)1322(2)當(dāng)ZPOQ為直角時，考慮Q點在對稱軸上，故過點Q向y軸作垂線，垂線段長

7、為1可知過點P向x軸作垂線，長度必為1，故P的縱坐標為1.如下圖，不難求出P點坐標.設(shè)P點坐標為m,m2-m-，可得：TOC o 1-5 h z13m2-m-1.22解得：m=1+J2，m=1J2，m=1+，m(舍). HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 1234如下圖，對應(yīng)p點坐標分別為(i+*2,-1)、(1-1)、(i+-j6,i).當(dāng)ZOPQ為聲角時，如圖構(gòu)造OMPKPNQ，可得：PM=QN.設(shè)P點坐標為m,m2-m-彳,PM=10-m2-m-3m2+m+2QN=m-1,=m-11，22若一m2+m+=m-1，解得：m=、呂,m=5（舍）

8、2213若一_m2+m+_=-m+1，解得：m=2-.5，m=2+_5（舍）.如下圖，對應(yīng)P點坐標分別為(75,1-J5)、C-叮5,1-75).對于構(gòu)造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！也許能畫出大概位置，但如何能畫出所有情況，才是問題的關(guān)鍵其實只要再明確一點，構(gòu)造出三垂直后，表示出一組對應(yīng)邊，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可【2019阜新中考】如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于點A(-3,0)和點B(1,0),交y軸于點C.求這個拋物線的函數(shù)表達式點D的坐標為(-1,0)，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值點M為拋物線對稱軸上的點，

9、問：在拋物線上是否存在點N，使AMNO為等腰直角三角形，且ZMNO為直角？若存在，請直接寫出點/的坐標；若不存在，請說明理由.分析】1)2)連接AC,將四邊形面積拆為APC和ADC面積，考慮ADC面積為定值，故只需APC面積最大即可，鉛垂法可解；3)過點N作NE丄x軸交x軸于E點,24，貝9NE=-m2-m+|2 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 4m2二 HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 3 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 4_m2m+2=m

10、+1，解得:3m+2=m+1m=7+、P（圖1）,m=7（圖4）4,_m2_m+2=m1，解得：m=31-7+對應(yīng)N點坐標分別為(4（圖2）、m=1（圖3）r-1對應(yīng)N點坐標分別為(如圖1,過點M向NE作垂線交EN延長線于F點,易證OENANFM,可得：NE=FM設(shè)N點坐標為m,m2-當(dāng)直角頂點不確定時，問題的一大難點是找出所有情況，而事實上，所有的情況都可以歸結(jié)為同一個方程：NE=FM.故只需在用點坐標表示線段時加上絕對值，便可計算出可能存在的其他情況一般直角三角形存在性，同樣構(gòu)造三垂直，區(qū)別于等腰直角構(gòu)造的三垂直全等，沒了等腰的條件只能得到三垂直相似而題型的變化在于動點或許在某條直線上，也

11、可能在拋物線上等【對稱軸上尋找點】(2018安順中考)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的對稱軸為直線x=-1，且拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中A(1,0),C(0,3)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標；設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使XBPC為直角三角形的點P坐標.分析】直線BC:y=x+3拋物線：y=-x2一2x+3；將軍飲馬問題，考慮到M點在對稱軸上，且點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點B,故MA+MC=MB+MC,當(dāng)B、M、C三

12、點共線時，M到A和C的距離之后最小，此時M點坐標為(-1，2)；3)兩圓一線作點P：以P為例，構(gòu)造APNBsAbmc,考慮到BM=MC=3,1:.BN=PN=2,故P點坐標為(-1,-2).1*y易求P坐標為（1,4）.2P、P求法類似，下求34P：3已知PN=1,PM=2,設(shè)CN=a,BM=b,由相似得：，即ab=2,由圖可知：b-a=3,b2故可解：b=3+廠,b=327（舍），對應(yīng)P坐標為_1,3+乎類似可求P4坐標為f-1,3-7拋物線上尋找點】(2018-懷化中考)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線二ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C,點D是該拋

13、物線的頂點.求拋物線的解析式和直線AC的解析式；請在y軸上找一點M，使ABDM的周長最小，求出點M的坐標；試探究：在拋物線上是否存在點P,使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.分析】(1)拋物線：y=-x2+2x+3，直線AC:y=3x+3；(2)看圖，M點坐標為(0,3)與C點重合了.考慮到AC為直角邊，故分別過A、C作AC的垂線，與拋物線交點即為所求P點,有如下兩種情況，先求過A點所作垂線得到的點P：點坐標為(m,-m2+2m+3),PM=m+1，AM=0-Cm2+2m+3)=m2-2m-3易證PMAsANC,且

14、AN=3，CN=1，10，m=1(舍),32m+1m22m3=，解得：m=311故第1個p點坐標為C10,!：；再求過點C所作垂線得到的點P：PM=3-Cm2+2m+3)=m2-2m，CN=m，m=，解得：m=，m=0(舍),m2-2m1132故第2個P點坐標為C7斗.綜上所述，P點坐標為，10,-13或7,20動點還可能在】(2019鄂爾多斯中考)如圖，拋物線y=ax2+bx-2(a豐0)與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點，與y軸交于點C，直線y=-x與該拋物線交于E,F兩點.(1)求拋物線的解析式P是直線EF下方拋物線上的一個動點，作PH丄EF于點H，求PH的最大值.以點C為圓心，1為半徑作圓，匸C上是否存在點M，使得ABCM是以CM為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出M點坐標；若不存在，說明理由.分析】1)24y=X2+x-2；(2)過點P作x軸的垂線交EF于點Q,所謂PH最大，即PQ最大，易解.CM為直角邊，故點C可能為直角頂點，點M也可能為直角頂點.當(dāng)ZBCM為直角時，如圖：M：不難求得CF=1，BF=2，1EM:EC=1:2,又CM=1,11可得：EM=/,EC=i55故M1坐標為j-盤,一2+*同理可求M坐標為綏,