北京海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)(理)第一學(xué)期期中考試試卷及答案

1、海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期中練習(xí)2015.11數(shù) 學(xué)（理科）本試卷共4頁，150分.考t時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效. 考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.已知集合,戶=-x - 2工1 ,3 , 4）,則集合戶口“中元素的個數(shù)為A. 1B. 2 C. 3 D. 4C. y=(x-l)2D. “2*AC = ,則互記的值為12.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是A. y = -B.T1.在 ABC中，上丹=60口，,目=2 ,A . 1 B. - 1 C. - D.2.數(shù)列（4）的前

2、n項和為、若邑- 2月-1 1超至2，且&=3 ,則/ +色的值為A. 1 B, 3 C, 5 D. 6.已知函數(shù)/（x） = cos+x-sm4x；?下列結(jié)論錯誤的是A. /（5）=儂21B,函數(shù) 人工）的圖象關(guān)于直線x=0對稱C, 兀）的最小正周期為n D,的值域為卜點，J可. V0 ”是 +anx0 ”的A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件.如圖，點。為坐標(biāo)原點，點A （1,1） .若函數(shù)/且白）及=運6K 5。，且3Hl ）的圖象與線段OA分別交于點M, N,且M, N恰好是線段OA的兩個三等分點，則a, b滿足C. h a 1D. a b1

3、 1 X 工 - 1 ,8.已知函數(shù)f(x)= d X , - 1 M工1，函數(shù)=a/- X+1 .若函數(shù)y= 力-虱度恰好有2個不同零點,一-11則實數(shù)a的取值范圍是A. (0，+電B. (-co, 0)U(21 + co)C. 卜.+8)D. 9, 0)U(0, 1)二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分). 二二妖 .在BC中，角A，B, C的對邊分別為若c= 4, 口WmW限則* -.已知等差數(shù)列4的公差4父0，且a3+a9 =a1o a8 .若an =0 ,則n=I .已知向量0三。，1)，點A(3,0)，點B為直線y = 2x上的一個動點.若AB a ,則點B的坐標(biāo)為 .已知函

4、數(shù)=,若的圖象向左平移1.個單位所得的圖象與 的圖象向右冗平移二個單位所得的圖象重合，則 的最小值為.對于數(shù)列14,若炳超eN，1點h蜴)，都有三口為常數(shù))成立，則稱數(shù)列(%)具有性 質(zhì)用).若數(shù)列%的通項公式為仆2:且具有性質(zhì)P4),則t的最大值為 ； 若數(shù)列%的通項公式為 凡=且具有性質(zhì) 尸QU),則實數(shù)a的取值范圍是 三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.(本小題滿分13分)已知等比數(shù)列口J的公比好口，其n前項和為 耳，若%=1，4%三勺q.(I)求公比q和a5的值；(n)求證： 0,所以q 0 ,即q =23 分所以 a5 =a1q4 =16.6 分因為

5、q2 =曳=&=4,所以q=也.法二：因為an為等比數(shù)列，且4a3 =a2a4,所以 4aq2 =a1q4 ,所以 q2 =4 ,所以 q = 2 ,因為an 0,所以q 0 ,即q =23 分所以 a5 =a1q4 =16 .6 分（n）法因為q=2,所以% =a1qn=2n;因為a1(1 - q )nSn =2 -1,1 -q10所以Sn2n -1二2 2 2an2nn因為去A0，所以Sn-A :二2.an 2 -13法二：因為q=2,所以n 1 n 1an =a1q=2所以Sn =a1(1 -qn)9n .二2 - 110所以Sn-2 an所以Sn：二2.an13法三：因為所以an二aq

6、所以Sn =a1(1 - q )0n=2 - 1 .10要證最2, an上式顯然成立,-q只需 Sn 2an ,只需 2n -1 2n得證.13.解: TOC o 1-5 h z (I)因為 f (x) = V：3sin(2 x -) cos(2x -), 33所以6）=扁碓 6+2+cos（2 6+：）,2t .2 k. 3 1=V3sin( ) +cos()=一 =1.4 分332 2(n)因為 f(x) = 3sin(2 x j cos(2 x 。,所以)= 2co4 sixi (2 黃 s i nx c-o s ( 2)6363式 汽= 2sin(2 x -) TOC o 1-5 h

7、z 36_式_八= 2sin(2x +-)7 分= 2cos2x ,9 分2所以周期T =二n.11 分2令 2k u- u2x 2ku,12 分.一一TT-斛信 k tt WxWkn, k Z,2所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kn2,k京kw Z .13 分所以 f(x) =3(sin2xcos- +cos2 xsin J 4(cos2 xcos - -sin2 xsin -) 7 分3333二 ,；3(lsin2x _3cos2x) (-cos2x -sin2x)2222= 2cos2x9 分所以周期T =紅=n.11 分2令2ku- u2x 2ku,12 分解得 k Tt Wx Wk n

8、, k 匚 Z , 2.一一一 TT.一 _所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kn2，k力，k Z .13 分17.解:(I)法一:14 3所以 sin ADB =7根據(jù)正弦定理，有BD AB sin -A sin - ADB3分6分在 MBD 中，因為 cosADB =- , NADB 匚(0,自,n代入 AB =8, A = 一, 3解得BD =7.法二：作 BE _LAD 于 E .因為AB =8,/A =,所以在3ABD 中，BE=AB sin - =4. 3 .3在iBDE中，因為cos/ADB4 3 所以 sin . ADB7所以 BD =一BE一 =7 .sin /BDE(H)法一:

9、在ABCD中，根據(jù)余弦定理BC2C D- b D2BC C D10r1代入 BC =3,CD =5 ,得 cos/C = 2一 2支/CW(0,力,所以/C =12所以 /A+/C = n,3而在四邊形 ABCD中 /A+/ABC+/C+/ADC =2式所以.ABC ZADC=Tt.13法二：在MBD中,11 一， 一cos/ABD =，所以 sin/ABD =145.314 ，1cos/ADB =,所以 sinZADB7在 ZBCD 中，cos/DBC =11，所以 sin/ABD =- 141413cos/BDC = ,所以 sinZADB143-314所以 cos/ABC =cos(/A

10、BD +NDBC),_ ., 23=cos-ABD cos-DBC -sin - ABD sin - DBC =9811cosADC= cos(ADB B D C二cos ADB cos BDC -sin ADB sin BDC23981213即 cos/ABC =cos/ADC,所以 /ABC +/ADC =工18.解(i)因為f (0)=1,所以曲線y = f(x)經(jīng)過點(0,1),2 TOC o 1-5 h z 又 f (x) = x +2x+a ,2 分所以 f(0)=a = 4,3 分一 -一、2 一 一所以 f(x)=x 2x -3.當(dāng)x變化時，f (x) , f(x)的變化情況如

11、下表x(-00, -3)-3(-3,1)1(1產(chǎn))f(x)+00+f(x)匚極大值E極小值r5 分 TOC o 1-5 h z 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8,3), (1,十七),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,1).7 分(n)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,a上單調(diào)，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,a上單調(diào)遞減時，f (x) 0對xW-2,a成立，即 f(x) =x2+2x+a E0 對 xW2,a成立，f (-2)三 0根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，只需要, 解得3WaW0.f(a尸 0又2 a,所以2 a 0對x2,a成立，2只要f(x)=x +2x+a在-2,a上的最小值大于等于 0即可，2因為函數(shù)f (x

12、) =x +2x+a20的對稱軸為x = 1,當(dāng)一2aW1時，f (x)在-2,a上的最小值為f(a),2解f(a尸a +3a之0,得a 0或aM3,所以此種情形不成立.11 分當(dāng)1a時，f(x)在a上的最小值為f(1),解 f(1) = 12+a0得 a 至1,所以 a*1, TOC o 1-5 h z 綜上，實數(shù)a的取值范圍是 20,所以此時Sn SnX,所以5為最小值等價于 S3至S15,S15WSl7,8 分jn +a -1, n為奇數(shù)，n , n為偶數(shù)，10 分所有偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的，12 分所以 a4 *a5 0, a6 *a7 00 ,所以 14+15+a 1 M0

13、, 16+17+a1 之 0,解得 42 Maw-28.13 分因為數(shù)列%是由整數(shù)組成的，所以a 32, 31,-30,-29,-28).又因為an =0 ,所以對所有的奇數(shù) n , an =n +a -1 =0 ,所以a不能取偶數(shù)，所以a =31, a =-29.14 分因為 2s =%an +，由(n)知道Jn a -1, n為奇數(shù),an =1n , n為偶數(shù)，110 分-(n +a 1)(n +1), n為奇數(shù), 所以Sn =42-n(n +a) ,n為偶數(shù)，因為65為最小值，此時n為奇數(shù),當(dāng) n為奇數(shù) 時，Sn =l(n +a -1)(n +1), 2 TOC o 1-5 h z 根據(jù)

14、二次函數(shù)的性質(zhì)知道，有 14MaM16,解得 -32a-28,12 分2因為數(shù)列an是由整數(shù)組成的，所以 a =-32, -31,-30,-29,-28).又因為an #0 ,所以對所有的奇數(shù) n , an =n +a 1 #0 ,所以a不能取偶數(shù)，所以a=31, a =-29.13 分經(jīng)檢驗，此時 Sn為最小值，所以a =-31, a = 29.14 分20.解：,、21(I) f(x) =x x是C函數(shù)，2 分3g(x) =sin水不是G函數(shù).4 分(n) T的最/J、值為 1.6 分因為f(x)是以T為最小正周期的周期函數(shù)，所以 f(T) = f(0).假設(shè) T 1 ,而函數(shù)l (x) =x-x的周期為1,且顯然不是是 C函數(shù)，綜上，T的最小值為1.9 分(出) 當(dāng)函數(shù)f (x) =x+且是。函數(shù)時， x若a =0 ,則 ”*)=*顯然不是 C函數(shù)，矛盾.10 分若 a 0, x所以f(x)在(g,0),(0,y)上單調(diào)遞增，此時不存在 m( (-o,0),使得 f (m) = f (m),同理不存在 mw(0產(chǎn))，使得 f(m)=f(m),又注意到mm之0 ,即不