狀態(tài)空間平均法

1、狀態(tài)空間平均法首先要了解到在 CCM模式下，變換器的工作模式分為開啟狀態(tài)，關(guān)閉狀態(tài)。開啟狀態(tài)，時間為0, dTs可以寫出的狀態(tài)方程為：x(t)二 Ax(t) Be(t) (1)y(t)二Gx(t) Eiu(t) (2)其中：x(t)為狀態(tài)向量；u(t)為輸入向量；A1和B1分別為狀態(tài)矩陣與輸入矩陣；y(t)為輸出變量；C1和E1分別為輸出矩陣和傳遞舉證。關(guān)閉狀態(tài)，時間為dTs, Ts可以寫出的狀態(tài)方程為：x(t) =A2X(t) B2u(t) (3)y(t) =C2X(t) E2u(t)(4)其中：x(t)為狀態(tài)向量；u(t)為輸入向量；A2和B2分別為狀態(tài)矩陣與輸入矩陣；y(t)為輸出變量；

2、C2和E2分別為輸出矩陣和傳遞舉證。 由于此時為開關(guān)關(guān)閉狀態(tài)， 所以A2、B2、C2、 E2的形式與上面(1)與(2)不一樣。為了消除紋波的影響需要在一個周期內(nèi)對狀態(tài)變量求平均，所以有1t4Tsx(t) ts t x( )d.Ts先同樣的方法有1 t4Tsu(t) t t u( )d Ts吒、1 t dTsy(t) ts t y( )dTs 1因此可以對平均狀態(tài)變量對時間求導(dǎo)數(shù)：(8)(9)(10)廠 1 fs .x(t) Tst x( )dTs 1t 1 t 韋s x( l)1 t HTs1同時 x( )d( )ddx( ) x(t Ts)-x(t)*Ts di Ts 1Ts因此可以得到等式

3、：.1 t-Ts .x(t) ts t x( )dTs 1將(1)(3)代入(10)，可以得到：1 t出Ts .t十s .x(t)Ts =T(t x( )d tdTsx( )d )I b1/ t dTst Ts二 T ；Ax(t) Ru(t)d. t dTsA2x(t) B2U(t)dI b狀態(tài)變量與輸入變量在一個周期內(nèi)的平均值可以代替瞬時值，并且近似認(rèn)為平均值在一個開關(guān)周期內(nèi)維持恒值。則可以視u(t) Ts與x(t) Ts在一個開關(guān)周期內(nèi)為常量。t Ts；-t dTsA2X( ) B2u( )d . ,.1 J t 七Tsx(t) Ts =A1X(.) Biu( . )d .Ts 1 ； t

4、 -dTst Ts、=Ts 1Ai x( ) Ts Bi u( ) Tsd , dTsA2 x(.) TsB2 U(.) Tsd(12)整理可以得到：X(t) Ts 二d(t)A d (t)A2 x(t) Ts d(t)Bi d (t)B2 u(t) ts這就是CCM模式下的平均變量狀態(tài)方程一般公式。用同樣的方法可以求得(14)y(t) Ts 二d(t)Ci d (t)C2 x(t) Ts d(t)Ei d (t)E2 u(t) ts分解平均變量為：狀態(tài)變量：x(t) Ts = X x(t)輸入變量：u(t) Ts =U U(t)輸出變量：y(t) Ts =丫 ?(t)X、U、Y為直流變量x(

5、t) u?(t) ?(t)為分離出來的小信號向量再對控制量d(t)進(jìn)行分解可以得到d(t)=D d(t)，d(t) =1 _d(t) = D d(t)將 x(t) Ts =X x(t) u(t) Ts =u u?(t) y(t) Ts 二丫 ?(t)代入(13)(14)然后化簡可以得到X x(t) =(DA DA2)X (DB DB2)U (DA1 D A)x(t) (DB1 D B2)C?(t)(A -A)X (B1 -B2)U?t)(A -A2)x(t)?t) Q -B2)u(t)d(t)丫 y(t) = (DC1 D C2)X (DE1 D E2)U(DC1 D C2)x(t) (DED

6、 E2)i?(t)(G OX (巳-E2)Ud(t)(G -C2)?(t)d(t)(巳-E2)?(t)d(t)令 AhDA DA2 B =DB1 D B2 C HD6 D C2 D hDEj d e2代入上面等式可以得到:X X(t) =AX BU A?(t) BU?(t) Y ?(t) =CX EU C5?(t) EU?(t)(A -A)X (B -B2)Uc?(t)(G -C2)X (E1 - E2)U (?(t)(AA2)X(t)?t) QB2)U(t)d(t)(G C2)?(t)d(t) (E1 E2)U?(t)d(t)此時可以看出兩等式的左右邊直流與交流應(yīng)該是相等的，則有：X =AX

7、 BU Y =CXEU因?yàn)閄為直流分量，所以x=o交流分量可以得到：x(t) =AX(t) BU(t) ( A - A2)X (B -B2)Ud?(t)(A1 -A2)X(t)(?(t) -B2)U?(t)(?(t)?(t) =C5?(t) Eg) (G -C2)X (巳-E2)Uc?(t)(C1 -C2)?(t)c?(t) (E1 -E2)i?(t)c?(t)因?yàn)樯厦媸阶又泻行盘柗e，所以上面式子就不是線性的。我們要求的是線性的等式。有因 小信號的乘積的幅值是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于等式中其他項(xiàng)的，因此可以去掉小信號乘積，此時就可以到到線性的小信號等式了。X(t)二 AX(t) Bi?(t) (A - A2

8、)X (B -B2)Uc?(t) ?(t) t) Eqt) (G -C2)X (巳-E2)Ud(t)F面用狀態(tài)空間法來解釋 BUCK電路:對于BUCK電路，可以去電感電流i(t)和電容電壓v(t)作為狀態(tài)變量，輸入電壓vg為輸入變量，輸出電壓v0與輸入電流Ig為輸出變量。 在開關(guān)導(dǎo)通狀態(tài)下，0, dTs時。L 警 vg(tft厝dtdt1 1vg(t-vg(t)v(t) dv(t) 1C R，dt1C，&v(t)ig =i(t), v(t) =v(t)根據(jù)上面兩式子可以得到:和v(t) 一llg(t)31- L1-_CML |1RC 一1=v(t)0vg(t) _CRc011E11-LO-在開關(guān)導(dǎo)通狀態(tài)下，dTs, Ts時。Ldi(tLv(t),di(t-1v(t)dtdt LC豁晉呼令擊ig =0, v(t) =v(t)一 - c1-L1-R+a2 7gIV711J-o oril1-L1- 一o o-IrL-RCo o_-7 7o 1+AL/Vo