相似三角形的判定

1、相似三角形的判定【目的要求】1.使學(xué)生理解相似三角形和相似比的概念，掌握相似三角形的判定定理，會靈活運用這些定理解決一些簡單的證明和計算問題。會按已知相似比作一個三角形與已知三角形相似。2.通過相似三角形判定定理的學(xué)習(xí)，要求了解類比方法的作用，認(rèn)識類比方法是獲取新知識的一種重要方法?！局R要點】 一、相似三角形1.相似三角形定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號“”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三

2、角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，（簡敘為兩角對應(yīng)相等兩三角形相似）。(2)如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似（簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似。）(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似（簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似。）6.直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊

3、對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8.相似三角形的傳遞性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2【重點和難點分析】重點：1.相似三角形的有關(guān)概念及相似三角形的基本定理。(1)相似三角形的定義中突出的一個特征是“形狀相同但大小不一定相同”，這是和全等三角形的重點區(qū)別，以下表中我們也可以看出：圖 形對應(yīng)角對應(yīng)邊全等三角形A=

4、AB=BC=CAB=ABAC=ACBC=BC相似三角形A=AB=BC=C（K為任意正實數(shù)）全等三角形是相似三角形的一種特殊情況，即相似比為1。(2)表示兩個三角形相似時注意通常要把表示對應(yīng)頂點的字母寫在相應(yīng)的位置上，這樣比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。 例如：圖2圖中A對應(yīng)著P，B對應(yīng)著M，C對應(yīng)著N。因此兩個三角形相似應(yīng)寫為ABC PMN。(3)相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個定理確定了相似三角形的兩個基本圖形“A”型和“ ”型。在利用定理證明時要注意A型圖的比例，每個比的前項是同一個三角形的三條邊，而比的后項是另一個

5、三角形的三條對應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯，尤其是要防止寫成的錯誤。2.相似三角形的判定定理。(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對應(yīng)成比例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并從中探究新知識掌握的方法。(3)在掌握相似三角形的判定方法的基礎(chǔ)上我們再看Rt相似判定的特殊性。A.利用一對銳角來判定

6、（Rt兩銳角互余及等角的余角相等）。B.利用兩對對應(yīng)邊成比例（勾股定理）。C.利用雙垂直（Rt斜邊上高線）。這就是從一個基本問題出發(fā)運用類比，聯(lián)想特殊到一般反過來指導(dǎo)特殊的思維方法。從而發(fā)散我們的思維。提高我們分析問題和解決問題的能力。 3.相似三角形的基本圖形.平行線型：即A型和 型、雙A型。.相交線型： A.具有一個公共角， 在ABC與ADE中A是它們的公共角，且BCAC，DEAB。B.具有一條公共邊和一個公共角在ABC與DBA中AB是它們的公共邊， 且BAD=C，B是它們的公共角。C.具有對頂角在ABC中ADBC，BEAC則使AME與BMD中1與2是對頂角4.掌握相似三角形的判定定理并且

7、運用相似三角形定理證明三角形相似及比例式或等積式?！镜湫屠}】 例一、已知：如圖9在ABC中，D、E分別是BC、AB上的任一點，EFMCDM求證：AEFABD。分析：利用相似三角形的對應(yīng)邊或比例或?qū)?yīng)角相等為條件，證明其它三角形相似，即已知的EFM與CDM屬 型，求證的AEF與ABD屬A型。EFBC是利用EFMCDM推出而且又是AEFABD的條件。證明：EFMCDM 1=2 EFBCAEFABD例二、已知：如圖10，在RtABC中ACB=90，CDAB，E為AC的中點，ED、CB延長線交于一點F。求證：ACDF=BCCF分析：1.求證等積式一般先改寫成等比式。 2.從求證的結(jié)論看四條線段分別在

8、ABC、DCF中但很明顯兩個三角形不相似，在這樣的情況下一般需要找一個過渡比（或叫做中間比）通過證兩對三角形相似來證明。證明：在ABC與CBD中 ACB=90，CDAB，B=BABCCBD，A=1E是AC中點，CDABAE=EC=EDA=22=3、A=13=1在FBD與FDC中F=F、3=1即 ACDF=BCCF例三、已知：如圖11，ABC中M、E分別是AC、AB上的點，ME、CB延長線交于一點D，且。求證：AM=DB分析：當(dāng)圖形中不存在明顯的成比例線段的基本圖形時，應(yīng)考慮添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出基本圖形創(chuàng)造代換條件。證明：過M作MNDC AM=DB 例四、已知：AD是RtABC中A的平分線，C

9、=90，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點N。求證：(1)AMENMD (2)ND2=NCNB分析：1.本題要應(yīng)用“等量代替”公理，線段的等量代替是證等積式或等比式的橋梁，體現(xiàn)在： (1)AD是CAB的平分線，1=2，1，N是同角余角，得1=N，2=N從而解決AMENMD證明。(2)EF所在直線是AD的垂直平分線，通過添加輔助線連結(jié)NA，NA=ND，使證明ND2=NCNB，變?yōu)樽CNA2=NCNB。證明：(1)連結(jié)NA AD是BAC的平分線 1=2 NE是AD的垂直平分線 5=6=90，NA=ND ACB=90 1=4 2=4 AMENMD(2)NA=ND，NMAD3=4 24=22，即ANC=CAB 7=B，ANC=ANC NACNBA NA2=NCNB 即ND2=NCNB例五、已知：如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一點，CFBE于F。求證：EBDF=AEDB分析：1.求證等積式一般先將其化為等比式，使問題轉(zhuǎn)化為求證等比式，再將求證等比式轉(zhuǎn)化為求證兩個三角形相似。2.證明ABEFBE的條件；已具備