簡論電磁學(xué)的相對(duì)論效應(yīng)

1、簡論電磁學(xué)的相對(duì)論效應(yīng)田宇明 江彪 于哲宇 陳旼嘉 劉思皓（西安交通大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院 710049）摘要：狹義相對(duì)論推翻了經(jīng)典力學(xué)下的絕對(duì)時(shí)空觀，卻與經(jīng)典電磁學(xué)不相沖突，這體現(xiàn)出電磁學(xué)中必然蘊(yùn)含著更深層、更本質(zhì)的思想。而經(jīng)典電磁學(xué)理論的協(xié)變性揭示出了相對(duì)論原理與電動(dòng)力學(xué)存在著內(nèi)在聯(lián)系，這些聯(lián)系可以體現(xiàn)在基于相對(duì)論推演電磁學(xué)理論等諸多方面。然而，在實(shí)際的教學(xué)中對(duì)協(xié)變性的推導(dǎo)十分復(fù)雜，不利于理解。本文由較為簡單的情況出發(fā)，避免四維矢量分析，由相對(duì)論洛倫茲變換推演電磁學(xué)理論的基本方法，提供一種相對(duì)論協(xié)變性的簡單理解，由此整理電磁學(xué)相對(duì)論效應(yīng)的結(jié)論，并從相對(duì)論的觀點(diǎn)理解麥克斯韋方程組。關(guān)鍵詞：

2、電動(dòng)力學(xué)；協(xié)變性；高斯定理；安培環(huán)路定則；電磁場不同于經(jīng)典力學(xué)的絕對(duì)時(shí)空觀被相對(duì)論時(shí)空觀推翻，經(jīng)典電磁學(xué)在洛倫茲變換下具有協(xié)變性，使得經(jīng)典電磁學(xué)理論符合相對(duì)論時(shí)空觀。這意味著，從相對(duì)論出發(fā)，結(jié)合電磁學(xué)基本原理也可以推演出電磁學(xué)其他理論，如運(yùn)用狹義相對(duì)論結(jié)論，再以電量作為洛倫茲不變量和庫侖定律、疊加原理為基礎(chǔ)，推演出電磁學(xué)理論的基本內(nèi)容。1故而，相對(duì)論與經(jīng)典電磁學(xué)存在著內(nèi)在的聯(lián)系，而分析這種聯(lián)系，就要從協(xié)變性和電磁學(xué)定律的推演來實(shí)現(xiàn)，最終重新從相對(duì)論的觀點(diǎn)分析理解經(jīng)典電磁學(xué)規(guī)律。經(jīng)典電磁學(xué)規(guī)律經(jīng)典電磁學(xué)中靜止電荷間的相互作用滿足庫侖定律是電磁學(xué)基本規(guī)律之一。對(duì)庫侖定律有著多種理解，比如可以將電場

3、高斯定律視作更基本的規(guī)律，從而推導(dǎo)出庫侖定律。另一方面，電磁場是一種物質(zhì)且電場和磁場是其不同的表現(xiàn)形式，那么電磁相互作用可以被理解為電場間和磁場間的相互作用?，F(xiàn)在考慮相距a的兩個(gè)點(diǎn)電荷Qq，令Q位于原點(diǎn)，q在x軸正半軸上，則空間的電場分布其能量密度為：；空間的總能量為；現(xiàn)在讓q向x軸正半軸移動(dòng)，舍去高階小量，空間能量密度分布改變?yōu)椋哼@樣，整個(gè)空間的電場能量變化量與電勢能變化量相同，即與庫侖定律相符合，說明電場力可以理解為電場間的相互作用，當(dāng)然這種相互作用用庫侖定律可以很方便的描述。庫侖定律的另一個(gè)理解角度是其與高斯定律的關(guān)系。高斯定律：從數(shù)學(xué)上講，高斯定律與庫侖定律等價(jià)，而庫侖定律經(jīng)試驗(yàn)以相當(dāng)

4、高的精度驗(yàn)證，也驗(yàn)證了高斯定律作為麥克斯韋方程組之一的可靠性。另一方面，高斯定律從通量的角度描述了電場，可以理解為這種相互作用的總強(qiáng)度不隨空間“擴(kuò)散”而改變。有理論認(rèn)為電磁相互作用是通過交換光子完成的，光子沒有靜止質(zhì)量使得電磁相互作用的總強(qiáng)度不改變。?這就好比泉水不斷的流出并在大地上擴(kuò)散，在大地平面內(nèi)任意取一個(gè)封閉曲線，由于任何一個(gè)地方的水都不會(huì)“堆積”或“減少”，則流入量等于流出量。從這個(gè)角度看，電荷就表現(xiàn)為這股泉水向外冒水的“水流量”，而高斯定律在電磁學(xué)中也有著較庫侖定律更重要的意義。 經(jīng)典電磁學(xué)中另一個(gè)十分重要的基礎(chǔ)公式是磁場的畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律這與庫侖定律相同，是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律。

5、與前者相似，磁場的強(qiáng)度也隨距離的二次方成反比，也說明了磁場與電場在某些方面具有相同的特點(diǎn)。根據(jù)經(jīng)典電磁學(xué)理論，電場與磁場是電磁場的不同表現(xiàn)形式，故而電流元產(chǎn)生的磁場隨距離平方反比衰減也容易理解。另一方面，由于不存在磁單極子，磁場高斯定律中任意閉合曲面的磁通量為零，相當(dāng)于“泉水”沒有冒出來，但是水可以旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，形成“漩渦”，使處處也沒有水量的增減，卻形成了水流。這樣看，“漩渦”的形成雖不需要水源，但需要一定的水量；類比得出磁場雖沒有源頭，但需要電場存在磁場才能存在，或者說磁場反映了電場與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的某些特性。事實(shí)上，磁場可以被看作電場的相對(duì)論效應(yīng)。2而這種效應(yīng)可以被精確地推演出來。除此以外，電場與

6、磁場間也存在著相互作用，其量化表現(xiàn)為洛倫茲力如果可以通過與分析庫侖力相同的方法分析，那么洛倫茲力的形成原理也可以得到統(tǒng)一的解釋，即電磁場可以統(tǒng)一理解為一種物質(zhì)?？傮w來說，電磁規(guī)律可以歸結(jié)為兩個(gè)麥克斯韋電磁場運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)洛倫茲力公式。3由于相對(duì)論在經(jīng)典力學(xué)與電磁場理論的矛盾中承認(rèn)經(jīng)典電磁學(xué)正確，電磁學(xué)規(guī)律必然滿足相對(duì)論協(xié)變性，而從相對(duì)論出發(fā)也應(yīng)當(dāng)能夠推演出電磁場規(guī)律。經(jīng)典電磁理論的相對(duì)論協(xié)變性狹義相對(duì)論要求一切物理學(xué)規(guī)律在不同參照系中有相同表現(xiàn)形式，這就要求電磁場理論必須在高速運(yùn)動(dòng)的條件下依舊成立。有錯(cuò)誤的理論將經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀引入經(jīng)典電磁學(xué)，結(jié)果得出了違背協(xié)變性的結(jié)論，也從另一個(gè)方面證明了狹

7、義相對(duì)論的洛倫茲變換是電磁學(xué)及其時(shí)空觀的必然要求。高速狀態(tài)下的電磁場規(guī)律在推導(dǎo)高速狀態(tài)下的庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律之前，可以先做出假設(shè)，即電場高斯定律依然成立。此時(shí)相對(duì)電荷取一高斯面，有：利用洛倫茲變換其中曲面變?yōu)?，此時(shí)依舊有曲面上每點(diǎn)電場強(qiáng)度都相等，并結(jié)合高斯定律，通過變換為球坐標(biāo)，并由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性省去，得坐標(biāo)變換：可以解得：事實(shí)上，直接通過洛倫茲變換中的坐標(biāo)變換和力變換也能得出相同結(jié)論。即在不默認(rèn)高斯定律對(duì)任意慣性系都成立的情況下也能推導(dǎo)出相同的電場公式，并由此證明高斯定律具有協(xié)變性。洛倫茲力公式協(xié)變性的證明洛倫茲在1892年建立經(jīng)典電子論時(shí)以基本假定的形式引入了洛倫茲力公式對(duì)于同時(shí)存在電

8、場和磁場時(shí)，電場力與洛倫茲力并存，即現(xiàn)在上式也被稱作洛倫茲力，它已被大量的物理實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐所證實(shí)。4若引入力的洛倫茲變換：代入洛倫茲力則有：此處不加證明的引入電場與磁場在高速運(yùn)動(dòng)下的參考系變換結(jié)論：上式可改寫成：由此證明了洛倫茲力的協(xié)變性。利用庫侖定律和狹義相對(duì)論的變換關(guān)系以及電荷守恒，可以十分自然地引入電場和磁場，且與低速時(shí)的經(jīng)典電磁學(xué)理論完全一致。2憑借由坐標(biāo)變換得到的電場力和磁場力公式，可以證明電場和磁場的高斯定律、安培環(huán)路定則在高速運(yùn)動(dòng)下依舊成立，并由此證明麥克斯韋方程組也滿足高速運(yùn)動(dòng)。3由于狹義相對(duì)論起源于電磁學(xué)，又假設(shè)一切物理學(xué)規(guī)律在慣性系中具有相同的表現(xiàn)形式，故而協(xié)變性狹義相對(duì)

9、論協(xié)變性的必然推論。在簡單情況下推演電磁學(xué)基本內(nèi)容狹義相對(duì)論從經(jīng)典電磁場理論出發(fā)，又極大的推進(jìn)了經(jīng)典電磁場理論?？梢詮淖罨?，最少量的假設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出一系列的電磁基本規(guī)律，使一些看似毫不相關(guān)的電磁規(guī)律（例如庫侖定律、比奧-薩伐爾定律、安培定律、電磁感應(yīng)定律等等）有了內(nèi)在的聯(lián)系。5通具有協(xié)變性，而且在低速情況下可以用一部分電磁場方程推演另一些方程。1.將洛倫茲力看做電場力的相對(duì)論效應(yīng)對(duì)于洛倫茲力利用狹義相對(duì)論的洛倫茲變換，可以從庫侖定律推演洛倫茲力?？紤]兩條無限長直導(dǎo)線，相互間的距離為r，通以同向電流I，則由比奧-薩伐爾定律和洛倫茲力公式容易求得單位導(dǎo)線所受磁場力大小為：另一方面，設(shè)導(dǎo)線中電子線密

10、度為，則有，此時(shí)以電子為參照系，不移動(dòng)的正金屬離子會(huì)逆向移動(dòng)，由于狹義相對(duì)論效應(yīng)，動(dòng)尺收縮，其線密度會(huì)發(fā)生改變，仿照洛倫茲變換，由協(xié)變性出發(fā)，電荷線密度和電流強(qiáng)度也將發(fā)生類似的參考系變換效應(yīng)：因?yàn)殡姾墒睾愣桑杏蓞f(xié)變性可以認(rèn)為（）與（x，y，z，t）滿足相同的變換。這樣原本電中性的導(dǎo)線將帶有正電荷，使得負(fù)電子受到吸引，稱這種電荷為“表觀電荷”。5由于，帶電量，在另一導(dǎo)線處的電場為代入，上式可近似為：，上式與磁場力的表達(dá)完全相同。令表觀電荷產(chǎn)生的電場力等于磁場力，可得。在更復(fù)雜的情況中，已有相當(dāng)多的文獻(xiàn)證明在宏觀低速條件下，洛倫茲力公式可以由電場力導(dǎo)出。3這種導(dǎo)出同樣需要對(duì)電學(xué)量進(jìn)行參考系變換

11、，一般用在三維空間中使用（）與（t，x，y，z，）對(duì)應(yīng)，可以證明任意宏觀低速情況下，洛倫茲力公式都可以導(dǎo)出。5基于狹義相對(duì)論推演安培環(huán)路定則與洛倫茲力的證明類似，洛倫茲變換同樣能導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律。利用之前的結(jié)論：并代入由此，磁場變化為在宏觀低速的情況下近似為：使得原本作為實(shí)驗(yàn)定律而出現(xiàn)的畢奧薩伐爾定律現(xiàn)在成了相對(duì)論協(xié)變性的必然推論。1再重新考慮一無限長直導(dǎo)線，代入之前的結(jié)論，在距離r處磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，使得，即滿足了安培環(huán)路定則。若考慮有限長直導(dǎo)線通過疊加法并考慮由于電荷在導(dǎo)線兩端堆積在周圍所激發(fā)的位移電流，可證明安培環(huán)路定則對(duì)有限長導(dǎo)線也成立，由此證明普遍的安培環(huán)路定則。6結(jié)論從相對(duì)論的洛

12、倫茲變換出發(fā)，可以推導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律和洛倫茲力公式、安培環(huán)路定則，由此可以證明磁場高斯定律和電場安培環(huán)路定則（法拉第電磁感應(yīng)定律）。7即說明了相對(duì)論起源于電磁學(xué)，又發(fā)展推廣了電磁學(xué)，支持了洛倫茲變換而非伽利略變換。另一方面，也說明在某種程度上，既可以由麥克斯韋方程組證明協(xié)變性，也可由協(xié)變性推演麥克斯韋方程組，可以認(rèn)為狹義相對(duì)論的協(xié)變性與麥克斯韋電磁場理論具有相同的內(nèi)涵?？偨Y(jié)與展望在低速情況下，磁場完全可以被理解為電場的一種相對(duì)論效應(yīng)。這種效應(yīng)可以認(rèn)為是洛倫茲變換這種“時(shí)空伸縮”導(dǎo)致的電場線的空間分布發(fā)生了變化，導(dǎo)致了電場需要一種修正，這種修正就是磁場。這也解釋了磁場存在的地方電場必定存在。

13、由于這種修正很小，使得低速情況下磁場力遠(yuǎn)小于電場力。在高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，洛倫茲變換不在滿足這種近似，磁場與電場不再是線性關(guān)系，將磁場看做電場的衍生品也不在有利于表達(dá)電磁場理論，此時(shí)更應(yīng)將磁場與電場都視作電磁場的一部分，是其不同的表現(xiàn)。然而，經(jīng)典電磁學(xué)也表現(xiàn)出一些局限性：對(duì)于電荷做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)激發(fā)出電磁輻射，而在高速運(yùn)動(dòng)中，必然牽扯到廣義相對(duì)論，使得經(jīng)典電磁學(xué)理論出現(xiàn)較大偏差8；另一方面，對(duì)于微觀狀態(tài)下的電磁學(xué)，由于各種物理量都是量子化的，經(jīng)典電磁學(xué)也將不再適用。4故而，經(jīng)典電磁學(xué)只與狹義相對(duì)論相對(duì)應(yīng)。總而言之，從狹義相對(duì)論的坐標(biāo)變換可以推演電磁學(xué)結(jié)論，說明從相對(duì)論時(shí)空觀理解電磁學(xué)現(xiàn)象是十分可行的，使得電與磁成為了同一種事物，即電磁場的不同方面性質(zhì)的描述，而電與磁之間的關(guān)聯(lián)性也成為了相對(duì)論效應(yīng)的體現(xiàn)。參考文獻(xiàn)1. 楊素珍 狹義相對(duì)論與電磁學(xué)J重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1997.62. 湯國興 電磁感應(yīng)與安培力的相對(duì)論注釋J青島大學(xué)學(xué)報(bào) 2001.73. 屠德雍 狹義相對(duì)論與麥克斯韋電磁理論的關(guān)系及其在電磁學(xué)中的應(yīng)用J浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) 1995.34. 張祥雪，程艷