信號(hào)分析與處理4-2濾波器設(shè)計(jì)

1、4.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 實(shí)際濾波器的幅度特性|H( j)|只能是理想特性的逼近，而實(shí)際幅度平方函數(shù)也將是對(duì)理想幅度平方函數(shù)的近似逼近函數(shù)。解決濾波器H(s)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是要找到這種逼近函數(shù)。目前已經(jīng)找到了多種逼近函數(shù)。4.2.1 Butterworth濾波器 最平響應(yīng)特性濾波器 Butterworth濾波器是以Butterworth近似逼近函數(shù)作為濾波器的傳函。它的幅度平方函數(shù)為 n 濾波器的階數(shù)c 3dB帶寬，即濾波器的截止頻率。1當(dāng) =c |H( j)|2 = 1/2 ，為3dB點(diǎn)或半功率點(diǎn)。 不同階次n的Butterworth濾波特性n1(黑) n2 (紅) n3 (藍(lán)) A( 2) n

2、3 n2 n1 c o1.00.5特點(diǎn)： 最大平坦性：在 = 0點(diǎn)，它的前(2n1)階導(dǎo)數(shù)等于0，表明Butterworth濾波器在 = 0附近一段頻率范圍內(nèi)是非常平直的，它以原點(diǎn)的最大平坦性來(lái)逼近理想低通濾波器，“最平響應(yīng)”由此而得名。2 通帶、阻帶下降的單調(diào)性。 3dB的不變性。n，頻帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性。但不管n是多少，幅頻特性都通過(guò)-3dB點(diǎn)。當(dāng) c 時(shí)，特性以-20n dBdec速度下降。 求Butterworth濾波器的傳函Hs。 極點(diǎn)： s2n + ( jc)2n = 0 3k = 0，1，2 ，2n-1分布特點(diǎn)： 2n個(gè)極點(diǎn)，以 /n為間隔均勻分布在半徑為c的圓周上

3、，這個(gè)圓稱為Butterworth圓。 所有極點(diǎn)以 j 軸為對(duì)稱軸成對(duì)稱分布，j 軸上無(wú)極點(diǎn)。 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在s =c的實(shí)軸上；n為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)。 全部零點(diǎn)位于s =處。 4j os1 s6 s2 s5 s3 s4 /6 js1 s2s3s4s5s6s7 s8 /8o為得到穩(wěn)定的Hs，取全部s左半平面的極點(diǎn)5引入歸一化頻率 Hs 是s 的多項(xiàng)式，查表可得分母極點(diǎn)或多項(xiàng)式形式。表4.1 表4.2 表4.3 6 例4-3 試確定一低通Butterworth濾波器的傳遞函數(shù)Hs。要求在通帶截止頻率 fc =2kHz(c =22103 rad/s)，衰減c 3dB，阻帶始點(diǎn)頻率

4、 fs = 4kHz (s = 2 4103 rad/s)，衰減s 15dB，各項(xiàng)指標(biāo)如圖所示。20lg|H( )| -3dB 0-15dB oc z 解： 求 n78取n=3 實(shí)現(xiàn) 通常采用無(wú)源網(wǎng)絡(luò)（T型或型）或有源網(wǎng)絡(luò) 要求不太高的場(chǎng)合，采用RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)居多，要求較高時(shí)，可采用有源網(wǎng)絡(luò)。9c =22103 rad/s c 3dB s = 2 4103 rad/s s 15dB10解： 例4-4 設(shè)計(jì)一低通Butterworth濾波器的傳遞函數(shù)。要求：p = 2 104 rad/s p 1dB s= 4 104 rad/s) s 15dB11n = 3.44 取 n = 4 c = 2 1.

5、304 104 rad/s Butterworth濾波器，n較小時(shí)，阻帶幅頻特性下降較慢，若要阻帶幅頻特性下降迅速，需增加n，則濾波器所用元件數(shù)增多，線路趨于復(fù)雜。12p = 2 104 rad/s p 1dB s= 4 104 rad/s s 15dB134.2.2 Chebyshev濾波器通帶等波紋濾波器 1. Chebyshev多項(xiàng)式Cn(x) = cos(n arccosx) | x | 1 令 = arccos x x = cos Cn(x) = cos(n)cosn+1 = cos(n) cos - sin(n) sin cosn -1 = cos(n ) cos + sin(n)

6、 sin cosn+1 = 2cos n cos cosn 1 Cn+1(x) = 2x Cn(x) Cn-1(x) 14 C0(x) = 1 C1(x) = cos = x C2(x) = 2 x2 1 C3(x) = 4 x3 3x C4(x) = 8 x4 8 x2 +1 C5(x) = 16 x5 20 x3 + 5x 表4.4 1 10階Chebyshev多項(xiàng)式Chebyshev多項(xiàng)式最高階系數(shù)2n-1Cn+1(x) = 2x Cn(x) Cn-1(x)1515階切比雪夫多項(xiàng)式曲線 C1(x) 1o1x1o1 xC3(x) 1C2(x) o1xC4(x) 1o1 xC5(x) 1o1

7、 x16 特點(diǎn)： n為偶數(shù)，Cn(x)為偶次式；n為奇數(shù)時(shí)，Cn(x)為奇次式。 當(dāng)x在| x | 1，Cn(x)的值隨| x |增大而迅速增大，n越大，其增長(zhǎng)越快。 Cn(x) = ch(n arch x) （ | x | 1）令 ch z = cos jz = x ，則arcos x = j z arch x = z 17arcos x = j arch x Cn(x) = ch(n arch x) = cos( jn arch x) = cos(n arcos x) 2. Chebyshev濾波器的幅度平方函數(shù) Chebyshev濾波器是一種全極型濾波器，在通帶內(nèi)等波動(dòng)，通帶外衰減單調(diào)遞

8、增的準(zhǔn)則來(lái)逼近理想特性。與Butterworth相比，它在通帶內(nèi)更為均勻，是所有全極型濾波器中過(guò)渡帶最窄的濾波器。 分為型: 通帶內(nèi)等波紋起伏特性，阻帶內(nèi)單調(diào)下降 型: 阻帶內(nèi)有起伏特性，通帶內(nèi)是單調(diào)下降 橢圓濾波器:通帶和阻帶內(nèi)有起伏特性18式中， Chebyshev多項(xiàng)式 n 階次 c 通帶截止角頻率，這里是指被通帶波紋所限制的最高頻率，c 3dB； 為一小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度。型低通Chebyshev濾波器n階幅度平方函數(shù)為19201o1 xC3(x) 21不同階次的幅度平方函數(shù)特點(diǎn)： 所有曲線在 = c時(shí)，通過(guò)1/(1+ 2)點(diǎn)，所以c定義為截止角頻率。 在通帶內(nèi) /c

9、 1，在1和1/(1+ 2)之間變化；在通帶外，特性呈單調(diào)下降，下降速度與n成正比 n為奇數(shù)，A2(0) =1；n為偶數(shù)，A2(0)=1/(1+ 2)。通帶內(nèi)誤差分布是均勻的， 這種逼近稱為最佳一致逼近。 在通帶內(nèi)有起伏， 相頻特性也有相應(yīng)的起伏波動(dòng)，即相位是非線性的，這給信號(hào)傳輸時(shí)帶來(lái)線性畸變，要求群時(shí)延等于常數(shù)時(shí)，不宜采用這種濾波器。 223.系統(tǒng)函數(shù)H(s) 極點(diǎn)的分布情況可這樣求出： 設(shè)23 sk = c sin sh + jc cos ch = cosn chn j sinn shn = j 1/ 得 cosn chn = 0 sinn shn = 1/ 解k =1，2，2n 24k

10、 =1，2，2n sk就是Chebyshev filter H(s)H(s)的極點(diǎn)，給定n，c， 即可求出2n個(gè)極點(diǎn)的分布。此極點(diǎn)分布滿足25 上式是一個(gè)在s平面上的橢圓方程。其短軸和長(zhǎng)軸分布為26縱坐標(biāo)等于n階Butterworth大圓極點(diǎn)的縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)等于n階Butterworth小圓極點(diǎn)的橫坐標(biāo)。極點(diǎn)n = 4abButterworth大圓abn = 327系統(tǒng)函數(shù)歸一化 表4-5，表4-6列出1dB，2dB，3dB時(shí)分母多項(xiàng)式與n的關(guān)系。 由于波紋參數(shù)不同，這種表格有很多種。28解： = 0.508847確定n： 例4-5設(shè)計(jì)一個(gè)Chebyshev低通濾波器的傳遞函數(shù)H(s)。要求：

11、通帶允許起伏： 1dB 0 2 104 rad/s阻帶衰減： 15dB 2 2104 rad/s2930取整選 n = 3 31通帶允許起伏： 1dB 0 2 104 rad/s阻帶衰減： 15dB 2 2104 rad/s324.2.3 頻率變換 Butterworth、Chebyshev濾波器的設(shè)計(jì)，只討論了低通濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，高通、帶通、帶阻濾波器可以通過(guò)對(duì)濾波器特性的頻率變換轉(zhuǎn)換成低通濾波器的設(shè)計(jì)。這種頻率變換的方法又稱為原型變換，變換得到的低通濾波器稱為低通原型濾波器。 頻率變換是指低通原型濾波器傳遞函數(shù)與其他類(lèi)型（高通、低通、帶阻）濾波器傳遞函數(shù)中頻率之間的變換關(guān)系。 具體做法是

12、：先根據(jù)對(duì)高通、帶通、帶阻等濾波器特性指標(biāo)要求，導(dǎo)出相應(yīng)的低通原型的指標(biāo)來(lái)；確定低通原型的H(s)；再根據(jù)一定變換關(guān)系得出高通、帶通、帶阻濾波器的H(s)。33 用高通濾波器截止頻率c對(duì)HH( j)進(jìn)行歸一化，得到歸一化的高通頻率特性HH( j)，歸一化頻率當(dāng)s = j時(shí)，s 也為虛數(shù)（ s = j ）r為參考角頻率，在這里且選r =c。 1.低通至高通的變換 34 = 1 歸一化低通原型頻率 歸一化高通頻率 = 0 = = 1 = 1 = s = s = 1/s = = 0 (1)高通濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的低通原型濾波器技術(shù)指標(biāo)。(2)設(shè)計(jì)低通原型濾波器得到HL(s )，(3)求得要求設(shè)計(jì)的高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HH(c/s)。3536 【例4-6】給定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶允許起伏： 1dB 2 1.5 10