單元模型構(gòu)造局部系法平衡方程列式

1、三角形單元中，3節(jié)點(diǎn)三角形單元是實(shí)際工程應(yīng)用最廣泛的單元之一。這種單元的計(jì)算精度雖然不高，但是單元列式簡單，尤其適合復(fù)雜邊界的網(wǎng)格劃分。如果單元劃分密度達(dá)到一定程度，計(jì)算精度也能滿足工程分析需要。三角形單元單元平衡方程列式 單元插值關(guān)系 (1) 單元剛度矩陣單元平衡方程列式 1) 平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題單元平衡方程列式 單元平衡方程列式 k為對稱的6*6常數(shù)矩陣假設(shè)平面應(yīng)力情況板厚或平面應(yīng)變情況的厚向長度為h，單元面積為A，則單元剛度矩陣k為單元平衡方程列式 2) 軸對稱問題單元平衡方程列式 軸對稱問題的應(yīng)變矩陣B不是常數(shù)矩陣。矩陣中的坐標(biāo)x和形函數(shù)Ni都與坐標(biāo)系直接相關(guān)，而且在對稱軸上x0會

2、造成數(shù)值奇異。為了簡化計(jì)算和消除這些麻煩，實(shí)際計(jì)算過程中取單元的形心處的坐標(biāo)xc和yc來近似，即單元平衡方程列式 式中，xi、yi，i=1,2,3是單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。這樣軸對稱問題的應(yīng)變矩陣B就是與坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)矩陣了。設(shè)單元面積為A，則單元平衡方程列式 (2) 載荷向量載荷向量按下式計(jì)算1) 平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題3節(jié)點(diǎn)三角形單元在單元面內(nèi)和單元邊界上都是線性插值，如果分布力P在單元內(nèi)是常數(shù)，則P就可以按平均方法分配，在單元邊界上每個節(jié)點(diǎn)承受1/2的外力，在單元面內(nèi)每個節(jié)點(diǎn)承受1/3的外力。單元平衡方程列式 分布力 如果分布力作用于單元的某一條邊上或單元面內(nèi)。作用于1、2邊 假設(shè)單元1、2邊的

3、長度為l12，根據(jù)載荷向量計(jì)算公式可得分布力作用于1、2邊時單元載荷向量fP為式中，Px和Py為分布力P在坐標(biāo)x和y方向的分量，t為單元厚度。單元平衡方程列式 作用于2、3邊 假設(shè)單元2、3邊的長度為l23，根據(jù)載荷向量計(jì)算公式可得分布力作用于2、3邊時單元載荷向量fP為單元平衡方程列式 作用于3、1邊 假設(shè)單元3、1邊的長度為l31，根據(jù)載荷向量計(jì)算公式可得分布力作用于3、1邊時單元載荷向量fP為單元平衡方程列式 作用于單元面內(nèi) 假設(shè)單元的面積為A，根據(jù)載荷向量計(jì)算公式可得單元載荷向量fP為單元平衡方程列式 自重力 根據(jù)載荷向量計(jì)算公式可得自重力作用的單元載荷向量fG為式中，Gx和Gy為自重

4、力G在坐標(biāo)x和y方向的分量。單元平衡方程列式 2) 軸對稱問題對于軸對稱問題來說，分布力和自重力的作用也是軸對稱的，作用力的分配一般不是平均分配。 分布力 如果分布力作用于單元的某一條邊上。作用于1、2邊 假設(shè)單元1、2邊的長度為l12，根據(jù)載荷向量計(jì)算公式可得分布力作用于1、2邊時單元載荷向量fP為式中，Px和Py為分布力P在坐標(biāo)x和y方向的分量。作用于2、3邊 假設(shè)單元2、3邊的長度為l23，則單元載荷向量fP為單元平衡方程列式 作用于3、1邊 假設(shè)單元3、1邊的長度為l31，則單元載荷向量fP為單元平衡方程列式 自重力 根據(jù)載荷向量計(jì)算公式可得自重力作用的單元載荷向量fG為式中，Gx和G

5、y為自重力G在坐標(biāo)x和y方向的分量。單元平衡方程列式 單元平衡方程列式 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元是常用的一種單元模型，它的單元平衡方程列式具有代表性。采用正規(guī)自然坐標(biāo)系方法求單元形函數(shù)的一類單元，對于一維和三維問題來說，只是節(jié)點(diǎn)自由度維數(shù)上的差別。四邊形單元單元平衡方程列式 (1) 單元剛度矩陣4節(jié)點(diǎn)四邊形單元的節(jié)點(diǎn)位移向量ue為單元插值關(guān)系 式中單元形函數(shù)矩陣為單元平衡方程列式 1) 平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題應(yīng)變矩陣B為單元平衡方程列式 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元的應(yīng)變矩陣B的計(jì)算不像3節(jié)點(diǎn)三角形單元那樣很容易得到一個常數(shù)矩陣。因?yàn)樗男魏瘮?shù)是通過自然坐標(biāo)r和s描述的，而不是整體坐標(biāo)x和y，因此它們與算子矩陣L

6、作用時，不能直接偏導(dǎo)。 B矩陣的具體求法為：把 Ni (i=1,2,3,4) 看成是x、y的函數(shù)對r和s求導(dǎo)，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t得J為Jacobi矩陣，表示整體坐標(biāo)系與自然坐標(biāo)系之間的變換矩陣?yán)玫葏卧P(guān)系或者單元平衡方程列式 Jacobi矩陣J中的4個元素可分別表示為求逆可得單元平衡方程列式 應(yīng)變矩陣B進(jìn)一步表示為單元剛度矩陣k為單元平衡方程列式 由于bi和ci是關(guān)于自然坐標(biāo)r、s的函數(shù)，所以矩陣B和k也都是關(guān)于自然坐標(biāo)r、s的函數(shù)，這時一般要采用Gauss積分方法計(jì)算單剛k。令da=dxdy=detJdrds，并將積分限取為-1到+1，則有單元平衡方程列式 2) 軸對稱問題應(yīng)變矩陣B為（坐標(biāo)系

7、依然為xy）單元平衡方程列式 和平面應(yīng)力/應(yīng)變問題的推導(dǎo)過程相同，B可進(jìn)一步表示為根據(jù)等參單元的性質(zhì)，坐標(biāo)x為單元平衡方程列式 單元剛度矩陣k為令dv=2xdA=2xdxdy=2xdetJdrds，并將積分限取為-1到+1，則有單元平衡方程列式 (2) 載荷向量1) 平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題載荷向量按下式計(jì)算代入形函數(shù)矩陣N直接積分計(jì)算。單元平衡方程列式 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元在單元面內(nèi)是雙線性的，在單元邊界上是線性插值，如果分布力P在單元內(nèi)是常數(shù)，則P就可以按平均法分配，在單元邊界上每個節(jié)點(diǎn)承受1/2的外力，在單元面內(nèi)每個節(jié)點(diǎn)承受1/4的外力。具體計(jì)算結(jié)果與3節(jié)點(diǎn)三角形單元類似。2) 軸對稱問題代入形函數(shù)矩陣N直接積分計(jì)算。單元平衡方程列式 空間單元空間單元一般都要在單元上建立一個隨體局部坐標(biāo)系。設(shè)單元局部坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)位移向量ue和整體坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)位移向量ue存在如下變換關(guān)系式中，為坐標(biāo)變換矩陣。單元平衡方程列式 在隨體局部坐標(biāo)系下，單元的插值關(guān)系、幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系分別為單元平衡方程列式 在隨體局部坐標(biāo)系下，單元的最小勢能原理為將單元的坐標(biāo)變換關(guān)系式以及插值關(guān)系、幾何關(guān)系