彈性力學(xué)電子教案配簡明教程教學(xué)參考第九章

1、第九章（一）本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)及要求教學(xué)參考資料1桿件受到縱向（平行于桿軸）荷載的作用，這是桿件的拉壓問題；桿件受到橫向（垂直于桿軸）荷載的作用，這是梁的彎曲問題。與此相似，薄板受到縱向（平行于板面）荷載的作用，這是平面應(yīng)力問題；薄板受到橫向（垂直于板面）荷載的作用，這就是薄板的彎曲問題。薄板的彎曲，可以認(rèn)為是梁的彎曲的推廣，是雙向的彎曲問題。但讀者不可簡單地將板的彎曲看成是論發(fā)展史中的錯誤。梁彎曲的迭加。否則，這會重復(fù)板的彎曲理2與平面問題和空間問題不同的是，除了前述的彈性力學(xué)的五個基本假定之外，在薄板彎曲問題中，根據(jù)其內(nèi)力和變形的特征，又提出了 3 個計(jì)算假定，用以簡化空間問題的基本方程，并從而

2、建立了薄板的彎曲理論。這點(diǎn)與材料力學(xué)的解法相似。因此，薄板和殼體的理論歸入高等材料力學(xué)。但由于其應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具較為復(fù)雜，所以這些內(nèi)容又稱為實(shí)用彈性力學(xué)。3薄板彎曲問題屬于空間問題。薄板彎曲理論，是從空間問題的基本方程和條件出發(fā)，應(yīng)用薄板的三個計(jì)算假定進(jìn)行簡化，并按位移法導(dǎo)出薄板彎曲問題的基本方程和邊界條件的。最后歸結(jié)的基本未知函數(shù)（撓度 w）和相應(yīng)的方程、邊界條件都只含（x,y）兩個自變量，因此，薄板彎曲問題也屬于二維問題。4對于矩形薄板，基本的解法是和法。5對于圓形薄板，類似于極坐標(biāo)中的平面問題，可以建立相應(yīng)的圓板彎曲問題的方程。對于軸對稱圓板的彎曲問題，其中只包含一個自變量，其方程為常微分

3、方程，它的通解已經(jīng)求出。（二）本章內(nèi)容提要1薄板小撓度彎曲問題的基本方程和邊界條件，是從空間問題的基本方程和邊界條件出發(fā)，三個計(jì)算假定進(jìn)行簡化，并由按位移求解的方法導(dǎo)出的。2在薄板彎曲問題中，取撓度 w(x, y) 為基本未知函數(shù)，它應(yīng)滿足：區(qū)域內(nèi)的彈性曲面微分方程 D4w q.w固定邊邊界條件(w, n )s 0;或簡支邊邊界條件(w, Mn )s 0;或邊邊界條件(M , Ft ) 0.nsn s薄板橫截面上的內(nèi)力公式為：2222彎矩 Mx D( x2 y2 ),M y D( y2 x2 );2扭矩 M xy M yx D(1 ) xy ;剪力 Fsx D x , D y .22Fsy3四

4、邊簡支矩形板的重三角級數(shù)解（解法）w Asin m x sin n y ,mnambm1 n1 xnya b 4q sinsindxdyab0 0A.mnm2n2 4abD()2a2b24兩對邊簡支矩形板的單三角級數(shù)解（解法）w A cosh m y Bm y sinh m y Csinh m ymmmaaaam1m y cosh m y f ( y)sin m x ,Dmmaaa其中 fm ( y) 為特解，并由其余兩邊界的條件求出系數(shù) Am L Dm .5薄板彎曲問題的差分法是：O 點(diǎn)的差分公式為：20wo 8(w1 w2 w3 w4 ) 2(w5 w6 w7 w8 )4q h(w w w

5、 w ) ;oD9101112固定邊邊界條件（x 邊界 O 點(diǎn)） wo 0,w1 w3 ;簡支邊邊界條件（x 邊界 O 點(diǎn)） wo 0,w1 w3 ;6圓形薄板彎曲問題的基本方程是：D4w q,21 21其中 2 4 2 .2w固定邊邊界條件 a,(w, ) 0;(w, M ) 0;簡支邊邊界條件 a,邊邊界條件 a,(M , F ) 0.ts7圓板軸對稱彎曲的一般解是111D w C ln C ln C C qd 4 ,221234其中C1LC4 由邊界條件確定。（三）板的分類不同厚度的板具有不同的內(nèi)力和變形特征。按板的厚度，可以分為：1厚板其板厚與板面尺寸之比，約為 b (1 81 5),

6、 即三個方向的幾何尺寸接近階大小。因此，空間問題的各物理量也為同階大小，均應(yīng)考慮而不宜忽略。 2薄板大約為(1/ 8 1/ 5) b (1 801 100). 又按抗彎剛度的大小分為：小撓度薄板這種板雖然薄，但仍有相當(dāng)?shù)目箯潉偠取Ｋ奶卣魇?，?）由于具有一定的剛度，其橫向撓度 w , 即符合小變形假定；（2）在中面位移中，w 是主要的，而縱向位移 u,v 很小，可以不計(jì)；（3）在內(nèi)力中，僅由橫向剪力 Fs 與橫向荷載 q 成平衡，縱向軸力（平行于中面的內(nèi)力）N 的作用可以不計(jì)。大撓度薄板其抗彎剛度較小，因此，（1）撓度 w 與板厚 為同階大小；（2）在中面位移中，u,v 不能忽略；（3）縱向

7、軸力 N 也應(yīng)考慮入橫向的平衡條件之中。3 薄膜 大約為 b (1 801 100). 其抗彎剛度極小，相應(yīng)的彎曲內(nèi)力 M , Fs 0,主要由縱向軸力 N 與橫向荷載 q 成平衡。（四）薄板彎曲問題的變分法下面來介紹一下薄板彎曲問題的變分法。這也是解決實(shí)際問題的很有效的方法。在薄板彎曲問題中，由于不計(jì)形變分量 z , xz , yz , 因此形變勢能為1U V ( ) d x d y d z.2x xy yxy xy（a）將形變分量 z , xz , yz , （式（9-4）和應(yīng)變分量 x , y , xy （式（9-5）代入上式，并注意w 是(x,y)的函數(shù)。對 z 進(jìn)行積分，得出薄板的形

8、變勢能為 2w 2 2w 2wD2(2w)2 2(1 ) U d x d y. x y xy 22A 薄板在橫向荷載作用下的外力功和外力勢能為W A qwdxdy,V W .因此，薄板彎曲問題的總勢能極值條件是EP U V min.是，首先設(shè)定撓度 w 的試函數(shù)，w Cmwm ,m求解薄板彎曲問題的使之預(yù)先滿足位移邊界條件（關(guān)于撓度及轉(zhuǎn)角的條件），再滿足變分方程，U Aqw d x d y.(m 1, 2,L)(b)Cmm由上式可解出系數(shù)Cm 。求解薄板彎曲問題的伽遼金法是，令設(shè)定的撓度 w不僅滿足位移邊界條件，也滿足應(yīng)力邊界條件（關(guān)于彎矩和總剪力的條件），即滿足全部邊界條件。然后再滿足伽遼金

9、變分方程， yz xz zfz wmdxdydz 0, (m 1, 2,L)zxyV其中體力 fz 已轉(zhuǎn)化為等效的面力，歸入 q 元中。將 z , xz , yz （書中式（9-5），（9-6）代入，對 z 進(jìn)行積分，得出薄板的伽遼金變分方程為A由上式解出系數(shù)Cm 。(q D4w)w dxdy 0.(m 1, 2,L)(d )m例題 3四邊固定的矩形薄板，受有均布荷載 q0 , 試用變分法求解其撓度。解：薄板的固定邊條件是x a,(w, w) 0;xy b,(w, w) 0.y取撓度表達(dá)式為w C w (x2 a2 )2 ( y2 b2 )2 (C C x2 C y2 L).m m123m上式

10、已滿足全部邊界條件和對稱性條件。若只取一項(xiàng)， w C w C (x2 a2 )2 ( y2 b2 )2 ,1 11并考慮到本題中全部為位移邊界條件且已滿足，可以應(yīng)用伽遼金法求解。將w (x2 a2 )2 ( y2 b2 )2 ,14w 8 3( y2 b2 )2 3(x2 a2 )2 4(3x2 a2 )(3y2 b2 ) C1代入式（d），求出7q0C .1128(a4 b4 4 a2b2 )D7對于正方形薄板，a=b,得出撓度解答為49q a4 x2 2 y2 2b2 w 0 11.a2 2304D 最大撓度發(fā)生在 x = y = 0 點(diǎn)，q a4w 0.0213 0 , 與精確解0.02

11、02q a / D 相比，大出 5%4左右。max0D（五）薄板彎曲問題和平面問題的比較薄板彎曲問題和平面問題都是二維問題，可以比較如下。邊界條件：從上兩表可見，兩者的方程相似；但薄板彎曲問題的邊界條件，特別是固定邊和簡支邊，比平面問題的邊界條件要簡單的多，因此，薄板彎曲問題的解答也就比平面問題的解答多。（六）應(yīng)用疊加方法應(yīng)用疊加方法，可將單三角級數(shù)解用于解決各種邊界條件的薄板問題(參見彈性力學(xué)簡明學(xué)習(xí)指導(dǎo))。例如，對于圖 9-8， 二鄰邊為支邊， 另二鄰邊可表示為解答的疊加 1 2 3 ，其中1 為四邊簡支矩形板，受 q 作用的解，可以用解法或解法求出：2 ,3 分別為 q=0，兩對邊簡支，

12、而另外有一邊為廣義簡支邊（在邊界上分別受彎矩的作用，其中 Mx , M y 均為未知，用待定系數(shù) Am , Bm 表示）的解，應(yīng)用解法可求出。由此得出解答， 1 2 3 ，然后再由條件( )( ) 0, 0,xa y 0 xy位移邊界條件(w, w) 0n s（(固定邊)應(yīng)力邊界條件(l x m yx )s fx ,(m y l xy )s f y .(M , F t ) 0nsn s邊）混合邊界條件一個位移邊界條件，另一個為應(yīng)力邊界條件(w, Mn )s 0 (簡支邊）平面問題薄板彎曲問題基本未知函數(shù)應(yīng)力函數(shù)(x, y)撓度 w(x, y)基本方程4 0D4w q求出系數(shù) Am , Bm ，從而得出解答 。又例如，圖 9-9 的薄板，二鄰邊為支邊，另二鄰邊為邊，也可以按圖示方法求解。令 1 2 3 4 , 分別見圖 9-9 所示。其中1 為四邊簡支板，受 q 作用的解，2 ,3分別對應(yīng)為 q=0，兩對邊簡支，而另外有一邊為廣義