2016春季預(yù)初自招進(jìn)度三八佰伴周六900-11001方程組應(yīng)用教師版

1、第一講列方程和不等式解應(yīng)用題【課前復(fù)習(xí)】531、甲、乙兩班共有 84 人，甲班人數(shù)的 與乙班人數(shù)的 共 58 人，甲乙兩班各有多少人？84一元方程解法：53設(shè)甲班 x 人，則乙班84 x 人，找等量關(guān)系，甲的 和乙的 的和與 58 相等，那么列方程845 x 3 (84 x) 58 ，解得 x 40 ，則乙班 44 人84二元方程組解法：設(shè)甲班 x 人,乙班 y 人，則x y 84x 4053，解方程組得x y 58y 4484112、師徒兩人共同加工了 171 個(gè)零件，師傅加工零件個(gè)數(shù)的 ，比徒弟加工零件個(gè)數(shù)的 多3422 個(gè)，那么，徒弟一共加工多少個(gè)零件？一元方程解法：設(shè)徒弟加工 x 個(gè)，

2、那么師傅171 x 個(gè)，找等量關(guān)系，師傅的 1 比徒弟 1 多 22，列方程341 (171 x) 1 x 223解得 x 604二元方程組解法：設(shè)師傅 x 個(gè)，徒弟 y 個(gè)x y 171x 11111解得y 60 x y 22341 / 10243、某學(xué)校有學(xué)生 465 人，其中的 比男生的 少 20 人，那么男女學(xué)生各有多少人？35一元方程解法：設(shè)x 人，那么男生465 x 人，列方程 4 (465 x) 2 x 2053解得 x 240 ，240 人，男生 225 人二元方程組解法：y 人設(shè)男生 x 人，x y 465x 225 42解得x y 20 3y 240 574、小學(xué)六年級(jí)學(xué)生

3、中占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)了 15 名12，這樣占六年級(jí)總?cè)藬?shù)3的 ，六年級(jí)原來(lái)有多少名學(xué)生？5解:不列方程解法：12男生的人數(shù)是不變的，將男生看為1，那么原來(lái)總?cè)藬?shù)是男生的，現(xiàn)在總?cè)藬?shù)是男551生的 ，多了，就是多的 15 人，男生 150 人，總?cè)藬?shù) 360 人210二元方程組解法：總?cè)藬?shù) x,y 7x yx 360123解得y 2105(x 15) y 152 / 1095、有一堆糖果是由奶糖和水果糖混合而成，其中奶糖占，再放入 16 塊水果糖，奶糖就2014占，求這堆糖糖多少塊？不列方程解法：2016奶糖數(shù)沒(méi)變，看為1，那么總共是奶糖的，后來(lái)是奶糖的 4 倍，那么多了，就是9916 塊糖，奶糖就

4、有 9 塊.二元方程組解法設(shè)總數(shù) x,奶糖 y 9x yx 20 201解得y 9 4(x 16) y【列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題】（1）分析問(wèn)題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.（2）一般語(yǔ)言與數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化.要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫.分析：欲求這個(gè)六位數(shù)，只要求出五位數(shù)abcdex 就可以了.按題意，這個(gè)六位數(shù)的 3 倍等于abcde1 .x ，則六位數(shù)1abcde105解：設(shè)五位數(shù)abcdex ，六位數(shù)abcde110 x1 ，從而有3（105+x）=10 x+1，x42857.答：這個(gè)六位數(shù)為 142857.3 / 10說(shuō)明：這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：抓住

5、相等關(guān)系：六位數(shù)1abcde 的 3 倍等于六位數(shù)abcde1 ；設(shè)未知數(shù)x ：將六位數(shù)1abcde 與六位數(shù)abcde1 用含x 的數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，這里根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色.例 2 有一隊(duì)伍以 1.4 米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以 2.6 米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒.問(wèn)：隊(duì)伍有多長(zhǎng)？分析：這是一道“追及又相遇”，通訊員從末尾到排頭是追及問(wèn)題，他與排頭所行路為隊(duì)伍長(zhǎng)；通訊員從排頭返回排尾是相遇問(wèn)題，他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長(zhǎng).如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了 x 秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650

6、-x）秒，于是不難列方程.解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了 x 秒，依題意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）.解得 x500.推知隊(duì)伍長(zhǎng)為：（2.6-1.4）500=600（米）.答：隊(duì)伍長(zhǎng)為 600 米.說(shuō)明：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時(shí)，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù).對(duì)于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些.例 3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小，有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為 3.6千米/時(shí)，騎車人速度為 10.8 千米/時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過(guò)來(lái)

7、，火車通過(guò)行人用 22 秒，通過(guò)騎車人用 26 秒，這列火車的車身總長(zhǎng)是多少？分析：本題屬于追及問(wèn)題，行人的速度為 3.6 千米/時(shí)=1 米/秒，騎車人的速度為 10.8 千米/時(shí)=3 米/秒.火車的車身長(zhǎng)度既等于火車車尾與行人的路，也等于火車車尾與騎車人的路.如果設(shè)火車的速度為 x 米/秒，那么火車的車身長(zhǎng)度可表示為（x-1）22 或（x-3）26，由此不難列出方程.4 / 10解：設(shè)這列火車的速度是 x 米/秒，依題意列方程，得（x-1）22=（x-3）26.解得 x=14.所以火車的車身長(zhǎng)為：（14-1）22=286（米）.答：這列火車的車身總長(zhǎng)為 286 米.例 4 如圖，沿著邊長(zhǎng)為

8、90 米的正方形，按逆時(shí)針?lè)较?，甲?A 出發(fā)，每分鐘走 65 米，乙從 B 出發(fā)， 每分鐘走 72 米.當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的哪一條邊上？分析：這是環(huán)形追及問(wèn)題，這類問(wèn)題可以先看成“直線”追及問(wèn)題，求出乙追上甲所需要的時(shí)間，再回到“環(huán)行”追及問(wèn)題，根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上.解：設(shè)追上甲時(shí)乙走了 x 分，則甲在乙前方 390=270（米）.依題意2707解得： x故有：72x65x+270在這段時(shí)間內(nèi)乙走了：（米）7由于正方形邊長(zhǎng)為 90 米，共四條邊，故由可以推算出這時(shí)甲和乙應(yīng)在正方形的 DA 邊上.答：當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的 DA 邊上.5 /

9、10例 5 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭偅梢抑良资悄嫠旭? 已知船在靜水中的速度為 8 千米/時(shí)，平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為 21.某天恰逢暴雨，水流速度為原來(lái)的 2 倍，這條船往返共用 9 時(shí). 問(wèn)：甲、乙兩港相距多少千米？分析：這是流水中的行程問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度.解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度.解：設(shè)甲、乙兩港相距 x 千米，原來(lái)水流速度為 a 千米/時(shí)根據(jù)題意可知，逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹?21，即（8-a）（8a）12，再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?2a 千米/時(shí)，則有解得 x=20. 答：甲、乙兩港相距 20 千米.

10、【引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題】對(duì)于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語(yǔ)言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語(yǔ)言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件.例 6在公行走，往返公共汽車每隔 4 分就有一輛與此人迎面相遇，每隔 6 分就有一輛從背后超過(guò)此人. 如果人與汽車均為勻速運(yùn)動(dòng)，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車？分析：此題看起來(lái)似乎不易找到相等關(guān)系，注意到在公行走與迎面開來(lái)的車相遇，是相遇問(wèn)題，人與汽車 4 分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6 分就有一輛車從背后超過(guò)此人是追及問(wèn)題，車與人 6 分所行的路恰是兩車

11、的距離，再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù)，問(wèn)題就解決了.6 / 10解：設(shè)汽車站每隔 x 分發(fā)一班車，的速度是 v1，汽車的速度為 v2，依題意得由，得將代入，得說(shuō)明：此題引入 v1，v2 兩個(gè)未知量作參數(shù)，計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去，即問(wèn)題的與參數(shù)的選擇無(wú)關(guān).例 7 整片牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，一樣地快.已知 70 頭牛在 24 天里把草吃完，而 30 頭牛就得 60 天. 如果要在 96 天內(nèi)把牧場(chǎng)的草吃完，那么有多少頭牛？分析：本題中牧場(chǎng)原有草量是多少？每天能生長(zhǎng)草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個(gè)量用參數(shù) a，b，c 表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為 x，則可列出三個(gè)方程. 若能消去 a，b，c，便

12、可解決問(wèn)題.解：設(shè)整片牧場(chǎng)的原有草量為 a，每天生長(zhǎng)的草量為 b，每頭牛一天吃草量為 c，x 頭牛在 96天內(nèi)能把牧場(chǎng)上的草吃完，則有-，得 36b=120C. -，得96xc=1800c36b. 將代入，得 96xc1800c+120c.解得 x=20. 答：有 20 頭牛.7 / 10【課后作業(yè)】1.從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒(méi)有平路. 一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛 201車從甲地開往乙地需 9 時(shí)，從乙地到甲地需7時(shí).2千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛 35 千米.問(wèn)：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從

13、甲地到乙坡路，就是從乙地到甲地的上坡路. 設(shè)從甲地到乙地的上坡路為 x 千米，下坡路為 y 千米，依題意得，得將 y=210 x 代入式，得解得 x140.答：甲、乙兩地間的公路有 210 千米，從甲地到乙地須行駛 140 千米的上坡路.2.在車站開始檢票時(shí)，有 a 名旅客在候車室排隊(duì)等候檢票進(jìn)站，檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來(lái)排隊(duì)檢票進(jìn)站，設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票中檢票的速度也是固定的，若開放一個(gè)檢票口，則需要 30 分鐘才可將等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個(gè)檢票口，則需要 10 分鐘便可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在 5 分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來(lái)

14、到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時(shí)開放幾個(gè)檢票口？解：設(shè)檢票開始后每分鐘增加旅客為 x 人，檢票速度為每個(gè)檢票口每分鐘檢票 y 人，5分鐘內(nèi)檢票完畢要同時(shí)開放 n 個(gè)檢票口8 / 10a30 x30y210yn 5y(1)依題意得 aa10 x (2)5x(3)a15（2）3（1），得ya30代入（1）便得x再把所求的 x、y 代入（3）便有a6a3an1613因?yàn)?a0，所以1n即n3.5n 取最小的整數(shù)，所以 n4答：至少需要同時(shí)開放 4 個(gè)檢票口.【教師備用】1.某校組織 150 名師生到外地旅游，這些人 5 時(shí)才能出發(fā)，為了趕火車，6 時(shí) 55 分必須到火車站.他們僅有一輛可乘 50 人

15、的客車，車速為 36 千米/時(shí)，學(xué)校離火車站 21 千米，顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時(shí)間來(lái)不及，只能乘車與步行同時(shí)進(jìn)行.如果步行每小時(shí)能走 4 千米，那么應(yīng)如何安排，才能使所有人都按時(shí)趕到火車站？115602312分析：把 150 人分三批，每批 50 人，均要在 115 分鐘即（時(shí)）內(nèi)趕到火車站，每人步行時(shí)間應(yīng)該相同，乘車時(shí)間也相同.設(shè)每人步行 x 時(shí)，乘車(23 x) 時(shí).列出12x ，便容易安排了，不過(guò)要計(jì)算一下客車能否在 115 分鐘完成.解：把 150 人分三批，每批 50 人，步行速度為 4 千米/時(shí)，車速為 36 千米/時(shí).設(shè)每方批師生步行用x 時(shí)，則9 / 10解得 x1.5（時(shí)），即每人步行 90 分，乘車 25 分.三批人 5 時(shí)同時(shí)出發(fā)，第一批人乘 25分鐘車到達(dá) A 點(diǎn)，下車步行；客車從 A 立即返回，在 B 點(diǎn)遇上步行的第二批人，乘 25 分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在 C 點(diǎn)遇到步行而來(lái)的第三批人，然后把他們直接送到火車站.如此安排第一、二批人按時(shí)到火車站是沒(méi)問(wèn)題的，第三批人是否正巧可乘25 分鐘車呢？必須計(jì)算.256015（千米），第二批人已步行 4 255（千603第一批人到 A 點(diǎn)，客車已行36405340米），這時(shí)客車返回與第二批人步行共完15（千米），需（時(shí)），3客車與第二批