專題06 轉(zhuǎn)化與化歸-特殊方程、方程組培優(yōu)專題

1、專題06轉(zhuǎn)化與化歸-特殊方程、方程組閱讀與思考特殊方程、方程組通常是指高次方程（組）次數(shù)高于兩次）、結(jié)構(gòu)巧妙而富有規(guī)律性的方程、方程組.降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：1、因式分解；2、換元；3、平方；4、巧取倒數(shù)；5、整體疊加、疊乘等.轉(zhuǎn)化是解各類特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二次方程，這也可以說是“九九歸宗”.例題與求解【例1】已知方程組xy53x2y223的兩組解是(x,y)與(x,y)，則xyxy的值是_11221221【例2】方程組xzyz23的正整數(shù)解的組數(shù)是（）（北京市競賽題）.解題思路：通過消元，將待

2、求式用同一字母的代數(shù)式表示，運用根與系數(shù)的關(guān)系求值xyyz63A1組B2組C3組D4組解題思路:原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數(shù)的特征入手【例3】解下列方程:（1）（2）13xx213x（(x)42；“祖沖之杯”邀請賽試題）x1x1x23xx2x411；（河南省競賽試題）2x22x83x29x12（3）(1999x)3(x1998)31；（山東省競賽試題）（4）(x23x4)2(2x27x6)2(3x24x2)2（“祖沖之杯”邀請賽試題）.解題思路：注意到方程左邊或右邊項與項的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，利用換元法求解y2xy16;【例4】解下列方程組:1xxy33,（1）（山東省競賽

3、試題）y(xxxy5y)（2）x241)(3524;144,y2x33x22x,（3）x2y33y22y.（西安市競賽試題）（全蘇數(shù)學奧林匹克試題）.解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)方程組中兩個方程的特點和聯(lián)系，用換元法求解或整體處理【例5】若關(guān)于x的方程的解.2kxkx1x1x2xx只有一個解（相等的解也算一個）.試求k的值與方程（江蘇省競賽試題）【例6】方程2x2xy3xy20060的正整數(shù)解有多少對？（江蘇省競賽試題）解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識進行解題.能力訓練1方程2(x2A級11)3(x)1的實數(shù)根是_.x2x3x2x23x422x27x62224x2，這個方程的解為x=_.

4、3實數(shù)x,y,z滿足x63y,x3y2xy2z20,則x2yz的值為_.（上海市競賽題）4設方程組bx2xa0,有實數(shù)解，則ab1_.ax2bx10,x2axb05使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得個數(shù)為（A4個B3個C2個D1個（武漢市選拔賽試題）（“五羊杯”競賽試題）xyz21有實數(shù)根，那么它有（xy2,6已知方程組）A一組解B二組解C三組解D無數(shù)組解（“祖沖之杯”邀請賽試題）7設a213a，b213b且ab，則代數(shù)式11a2b2的值為（）A5B7C9D118已知實數(shù)x,y滿足xyxy9,x2yxy220，則x2y2的值為（A6B17C1D6或17）9已知關(guān)于x,y的方程組

5、x2y2p,3xyp(xy)p2有整數(shù)解x,y，求滿足條件的質(zhì)數(shù)p.（四川省競賽試題）xy10 xx,yy2,且x1,x2是兩個不等的正數(shù).x2ya20,xx,的兩個解為yy1,b1x,a10已知方程組12（1）求a的取值范圍；（2）若x2x23xx8a26a11，試求a的值.1212（南通市中考試題）xy11已知a,b是方程t2t10的兩個實根，解方程組xy1y.ba（“祖沖之杯”邀請賽試題）12已知某二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個實數(shù)根為p,q，且滿足關(guān)系式2這個一元二次方程.pqp15,pqpq26,試求（杭州市中考試題）xyzxyz151方程組xyz的解是_.234B級2已知7x2

6、9x137x25x137x，則x的值為_.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）3已知實數(shù)x,y是方程組xyx100y1的解，則xy_.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）004方程組114的解是_.xxy9,y3（“希望杯”邀請賽試題）5若二元二次方程組ykx21有唯一解，則的所有可能取值為_.x2y21,6正數(shù)x,x,x,x,x,x同時滿足xxxxxxxxxxxk（學習報公開賽試題）xxxxxxxxxx234561，134562，124563，123456123xxxxxxxxxxxxxxx123564，123466，123459.則xxxxxx的值為_.123456456（上海市競賽試題）7方程x36x2x60的

7、所有根的積是（）A3B-3C4D-6E以上全不對（美國猶他州競賽試題）x,y為實數(shù)，且滿足x11999x11,則xy（8設3y131999y11,）9已知xyz2,則的值為（）x2y2z23,A1B-1C2D-2（武漢市選拔賽試題）xyz1,111xyz1yzx1zxy112A1BC2D23x1x12xa210對于實數(shù)a，只有一個實數(shù)值x滿足等式0，試求所有這樣的實數(shù)a的x1x1x21和.（江蘇省競賽試題）11解方程x2x1x2x1a，其中a0，并就正數(shù)a的取值，討論此方程解的情況.（陜西省競賽試題）12已知a,b,c三數(shù)滿足方程組ab8,abc282c48,試求方程bx2cxa0的根.（全國初