9靜電場中的電介質(zhì)習(xí)題與解答

1、 圖3 靜電場中的電介質(zhì)1、在一半徑為叫的長直導(dǎo)線外，套有氯丁橡膠絕緣護(hù)套，護(hù)套外半徑為R2,相對電容率為。設(shè)沿軸線單位長度上，導(dǎo)線的電荷密度為入。試求介質(zhì)層內(nèi)的D、E和P。r分析：將長直帶電導(dǎo)線視作無限長，自由電荷均勻分布在導(dǎo)線表面。在絕緣介質(zhì)層的內(nèi)、外表面分別出現(xiàn)極化電荷，這些電荷在內(nèi)外表面呈均勻分布。取同軸柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得電位移矢量D的分布。在介質(zhì)中D=88E，P=D-eE，可進(jìn)一步求得電場強(qiáng)度E和電極化強(qiáng)度矢量P的分布。0r0解：由介質(zhì)中的高斯定理，有pD-dS=D-2冗rL=XL在均勻各向同性介質(zhì)中880rXe2冗88rr0r1XP=D-eE=(1一)e082冗r

2、r2、一扁平電介質(zhì)板（=4）垂直放在一均勻電場里，如果電介質(zhì)表面上的極化電荷面密r度為O=0.5C/m2，求：（1）電介質(zhì)里的電極化強(qiáng)度和電位移；（2）介質(zhì)板外的電位移；（3）介質(zhì)板內(nèi)外的場強(qiáng)。分析：根據(jù)均勻、各向同性電介質(zhì)極化的極化規(guī)律求解。解：(1)P=b=0.5C/m2，n8PD=r=0.667C/m28-1r(2)D=D=0.667C/m2(3)E=1.88x1010V/m880rDE=7.53x1010V/m0803、如圖所示，平板電容器極板面積為S,間距為d，中間有兩層厚度各為d1和d2（d=d+d2）、電容率各為1和2的電介質(zhì)，試計算其電容。分析：電容器帶電時兩極板都是等勢體。兩

3、層均勻、各向同性介質(zhì)的介面平行于極板，也是等勢面。不考慮邊緣效應(yīng)時，極板上的自由電荷以及介質(zhì)各界面的極化電荷均呈均勻分布狀態(tài)。因此，兩層介質(zhì)內(nèi)部各自都是均勻電場，即D線連續(xù)，E線不連續(xù)。解：設(shè)極板所帶自由電荷為q，D和E方向都與極板垂直。運(yùn)用高斯定理,D=D=b12Dq2=極板間的電勢差為188S118S2d1UABddq=Ed+Ed=(r+門一112288S電容量為qC=UAB88S128d+8d1221上式也可表示為1Cd18S1d+28S2即可等效為兩個電容器的串聯(lián)。平行板電容器的電容為100pF極板面積為100cm2，極板間充滿相對電容率為5.4的母電介質(zhì)，當(dāng)極板上電勢差為50V時，求

4、：（1）由電荷；（3）云母介質(zhì)面上的極化面電荷。4、云母中的場強(qiáng)；（2）電容器極板上的自分析：介質(zhì)表面的極化電荷面密度由b=P-e決定。88S解：（1）充滿電介質(zhì)的平行板電容器電容量為C-d極板間的均勻電場強(qiáng)度大小為ECUd88-0r50 x100 x10-12V/m1.05x104V/m5.4x8.85x10-12x100 x10-4（2）電容器極板上的自由電荷QC100 x10-12x50C5.0 x10-9C0（3）設(shè)電容器上極板帶正自由電荷，則介質(zhì)上表面處的極化強(qiáng)度P與面法向e反向，在n介質(zhì)下表面處則同向，所以，介質(zhì)上表面的極化電荷為,11Qb-（P-e）-（1）b-（1）Q-4.1x

5、10-9C11n8080rr介質(zhì)下表面的極化電荷為Q-b-（P-e）-（1-丄）Q4.1x10-9C22n80r5、在半徑為R的金屬球外包有一層均勻介質(zhì)層，外半徑為R，。設(shè)電介質(zhì)的相對電容率為8,金屬球的電荷量為Q,求：（1）介質(zhì)層內(nèi)外的場強(qiáng)分布；（2）介質(zhì)層內(nèi)外的電勢分布；r（3）金屬球的電勢。分析：系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以自由電荷和極化電荷也具有球?qū)ΨQ分布?？臻g的電位移矢量和電場強(qiáng)度矢量徑向分布。由靜電平衡性質(zhì)，球內(nèi)場強(qiáng)為零。根據(jù)高斯定理可知，球外的電位移矢量大小連續(xù)而電場強(qiáng)度大小為分段連續(xù)分布。由此，可由電勢的定義求得空間的電勢分布，也可利用電勢的疊加原理求得。解：以球心為原點(diǎn)作半徑為r的

6、球形高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，D-dSD-Q可得空間電位移大?。篋=r,rR4nr21）D=E，得介質(zhì)內(nèi)、外的場強(qiáng)大小為02E1Q,RrR，24nr20介質(zhì)層內(nèi)外的電場方向均沿徑向（2）介質(zhì)層內(nèi)的電勢為JE-dl=JRE1rrQ1-1=(+r),RrR2r2r4nr03）金屬球的電勢Q1-1V=(+r)34nr0RR6、一平行板真空電容器，極板面積為S,極板間距為d,充電至帶電Q后與電源斷開，然后用外力緩緩地把兩極板間距拉開到2d。求：（1）電容器能量的改變；（2）此過程中外力所作的功，并討論此過程中的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系。分析：在將電容器兩極板拉開的過程中，由于極板上的電荷保持不變，極板間的電場

7、強(qiáng)度亦不變，但電場所占的空間增大，系統(tǒng)總的電場能量增加了。根據(jù)功能原理，所增加的能量應(yīng)該等于拉開過程中外力克服靜電引力所作的功。解：（1）電場的能量密度為1匸Q2w=E2=e202S20而極板間距由d被拉開到2d后，電場所占有的空間的體積由V增加到2V，貝I電場能量增加為=wAVe（2）兩極板帶等量異號電荷，外力F將其緩緩拉開時，應(yīng)有F=-Fe，則外力所作的功為1 A=-F-Ar=QEd=e2S0即外力所作的功等于靜電場能量的增加。7、半徑為2.0cm的導(dǎo)體球，外套同心導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)外半徑分別為4.0cm和5.0cm，球殼內(nèi)外空間均為空氣，當(dāng)內(nèi)球的電荷量為3.0 x10-8C時，（1）這個系

8、統(tǒng)儲藏了多少電能；（2）如果用導(dǎo)線把球與球殼聯(lián)在一起，結(jié)果如何？分析：根據(jù)導(dǎo)體系統(tǒng)靜電平衡的性質(zhì)，確定電荷分布后即可確定空間的電場強(qiáng)度分布。對于非均勻電場，其能量可由能量密度對空間求體積分，也可由電容器的儲能公式求得。解1：用W=-E2dV計算。20V（1）設(shè)內(nèi)球帶電q,則靜電平衡時，球殼內(nèi)表面帶電一q,外表面帶電q。系統(tǒng)在空間的電場分布為0E=則球與球殼間的能量1qr2(rR，(RrR1R1rR)24兀0w=丄E2dV=0-R11q)24冗r2dr=q211(一一)12024冗sr28冗sRRV1R001球殼外空間的能量W=1ME2dV=0gK1q-)24冗r2dr一q2122024冗sr28庇RV2R2002W=W+W=1.82x10-4J12（2）用導(dǎo)線把球與球殼聯(lián)在一起，由靜電平衡條件可知，球與球殼內(nèi)表面所帶電量為零W=0。球殼外表面帶電量及電荷分布不變，所以1W=W=8.1x10-5J21Q2解2：利用W=Q計算。2C（1）整個系統(tǒng)可視為球與球殼內(nèi)表面組成的球形電容器q和球殼外表面與無限遠(yuǎn)處之間的電容器c2的串聯(lián)。球形電容器的電容為RRC=4屈A_B0R-RBARR則C=4兀L，C=4庇R10