六最小維狀態(tài)觀測器

1、六、最小維狀態(tài)觀測器 上一節(jié)研究了Kx觀測器的一般形式：根據(jù)定理(5-12)，存在rn 矩陣P ,使得 K=EP+MC根據(jù)定義5-1，K=I 時稱（5-29）為狀態(tài)觀測器。11.狀態(tài)觀測器的維數(shù) 現(xiàn)在提出的問題是：狀態(tài)觀測器的維數(shù) r 是否可以降低？可能的最小值是多少？因為維數(shù)的降低，意味著觀測器可具有較為簡單的形式，從而使工程實現(xiàn)更加方便。因此研究降維狀態(tài)觀測器以及最小維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題就成為觀測器理論的重要課題之一。 考慮 n 維線性時不變動態(tài)方程 2若假定rankC=q，那么輸出y實際上已經(jīng)給出了部分狀態(tài)變量的估計。顯然，為了估計全部狀態(tài)，只須用一個低階的觀測器估計出其余的狀態(tài)變量就

2、可以了，也就是說，狀態(tài)觀測器的維數(shù)顯然可比n低。定理5-17 若系統(tǒng)（A, B, C）可控可觀測，且 rankC=q 則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是 nq證明 根據(jù)觀測器的結(jié)構(gòu)條件（參見定義5-1和定理5-12），對于狀態(tài)觀測器要求3其中P是rn陣，且滿足PAFP=GC。要使上式有解，應(yīng)有 故P的最小維數(shù) rmin=nq而已知所以4注：定理5-12的證明中沒有用到 (A, C) 可觀測的假設(shè)。但下面的分析將表明，只有 (A, C)可觀測方可保證所設(shè)計的狀態(tài)觀測器之（F, E)可觀測。又因為Prn的行數(shù)與觀測器的維數(shù) r 必須一致，故知r=nq 這就是觀測器的最小維數(shù)。 證完。 2. 最小維數(shù)狀

3、態(tài)觀測器的構(gòu)造 不妨假定C=C1 C2，這里C1,C2分別是qq和q(nq)矩陣，而且rankC1=q。 分以下幾個步驟來具體建立最小維數(shù)的狀態(tài)觀測器。51）取等價變換 ，變換矩陣 T 定義為p14 顯然T是滿秩的。這時（542）式可化為 6特點：經(jīng)變換后，有 顯然輸出 y 直接給出了 ，狀態(tài)估計的問題就化為只需對nq維向量 進行估計就可達到狀態(tài)重構(gòu)的 目的。 2）導(dǎo)出關(guān)于 的狀態(tài)方程和輸出方程，為進一步構(gòu)造狀態(tài)觀測器作準備。為此，將(5-43)重新寫成：記 7則于是我們得到(5-44)或者進一步寫成 如下nq 維系統(tǒng)：8因此，我們只要構(gòu)造上述系統(tǒng)的觀測器就可以了。立即會產(chǎn)生的問題是：是否可觀

4、測？因為根據(jù)定理5-10，這是上述系統(tǒng)全維觀測器存在并可任意配置極點的充要條件。我們有9引理 若（A，C）可觀測，則 也可觀測。 證明：考慮下列PBH檢驗矩陣：對任意的s，它列滿秩的充要條件是后nq列也滿秩。但即 可觀測。證完。103）建立nq 維系統(tǒng)的全維（nq）狀態(tài)觀測器 根據(jù)全維狀態(tài)觀測器的一般方程，可立即寫出它的觀測器方程為：代入上式，得到11記p1412討論：a）因為其中包括了y 的微分。為了避免經(jīng)微分將 y 中的噪聲放大，故有以上變換。b）令 故只要設(shè)計G2，使得上述系統(tǒng)矩陣所有特征值有負實部，就有則容易驗證13根據(jù)前面的分析，我們有p124）最后，求狀態(tài) x 的估計 ：p614將

5、其寫成觀測器的標準形式，并與Kx觀測器(5-29)相比較：15我們看到，這是一個狀態(tài)觀測器，但不是一個n維狀態(tài)觀測器，而是一個nq維的狀態(tài)觀測器，因為 16注意：講義中也可以寫成17n-q 維(最小維）狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖18 進而，可以驗證式（5-45）及式（5-46）的系數(shù)矩陣滿足定理5-12的條件（5-32）：成為（A, B, C）的 Kx 觀測器的充要條件為存在rn 矩陣P，使得下列條件滿足定理5-12 若（A, B）可控，（F, E）可觀測，則192021221123 事實上，若假定（A, B）可控，定理5-12的基本條件：(A, B）可控、 可觀測(這由定理5-17（A,C)可觀測的假

6、設(shè)保證）滿足。此時，根據(jù)定義5-1可知，當K=I時就構(gòu)成了一個(n-q)維的狀態(tài)觀測器，而定理5-17表明，它是一個最小維觀測器。定理5-18 若（A, C）可觀測，rankC=q，則對 (A, B, C）可構(gòu)造 n-q 維狀態(tài)觀測器（5-45）、（5-46），而且觀測器的極點可任意配置。若再假定（A, B）可控，則該觀測器具有最小維數(shù)。結(jié)論: 以上分析表明，(5-45)、(5-46)確實給出了一個n-q 維的狀態(tài)觀測器。而由定理5-17，這是一個最小維觀測器。于是有如下定理：24例5-10 設(shè)系統(tǒng)如下：因rank C=2，故可設(shè)計一維觀測器。為此，首先作變換：則25利用(5-45)12可得一階狀態(tài)觀測器為：26利用(5-46)12，可得 最后，需要指出，Kx觀測器的維數(shù)可能會比 nq 低，究竟低到什么程度則尚不清楚。最小階 Kx 觀測器的設(shè)計仍是一個困難的問題。27例題 系統(tǒng)方程為可以證明，當取 K= 0 1 0 1 時（此時的K可用作狀態(tài)反饋配置極點，下一節(jié)中將分析），Kx觀測器為其維數(shù)小于n2=2。28最小維狀態(tài)觀測器小結(jié)當(A,B,C)可控、可觀測且 rankC=q 時，只要按以上四個步驟即可求得其最小維狀態(tài)觀測器