用數(shù)學(xué)方法理論知

1、用數(shù)學(xué)方法理論知識(shí)證明不等式數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)答辯人：胡寧寧指導(dǎo)教師：陳祥平1摘要 數(shù)學(xué)分析中不等式的應(yīng)用占有很重要的地位,其證明與很多知識(shí)相聯(lián)系.這篇論文主要研究如何巧妙地利用數(shù)學(xué)分析知識(shí),探討多種不等式的幾種常見(jiàn)證明方法，并對(duì)其進(jìn)行了歸納和總結(jié)。主要給出了應(yīng)用微分中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的凸凹性， Taylor公式，Jensen不等式，最大值與最小值證明不等式的方法，對(duì)應(yīng)用中常出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)闡述，每一種方法都給出了相應(yīng)的例子. 2引言 不等式的證明貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)分析的課程之中，正確掌握不等式證明的方法是研究數(shù)學(xué)及相關(guān)科學(xué)的基礎(chǔ).不等式的證明涉及到很多方面的知識(shí)，在證明時(shí)應(yīng)該充分考

2、慮、分析已知不等式的類(lèi)型，各種證明不等式的方法應(yīng)靈活掌握.證明不等式的方法有很多種，由必要總結(jié)不等式的證明方法.本文主要是討論如何利用微分中值定理，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)凸凹性，Taylor 公式，Jensen不等式，函數(shù)最大值最小值證明不等式，以及對(duì)證明不等式的特殊技巧進(jìn)行歸納，并列出了證明不等式的實(shí)例，也對(duì)應(yīng)用范圍作出了簡(jiǎn)單的分析.這些證明方法具體見(jiàn)文獻(xiàn)1-5.以下是我總結(jié)的用數(shù)學(xué)分析理論知識(shí)證明不等式的六種方法，在實(shí)際學(xué)習(xí)中有很多題目是多種方法綜合運(yùn)用求證的.所以在證明不等式時(shí)，首先觀察不等式的形式，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ挥蟹椒ǖ卯?dāng)，才能準(zhǔn)確、快速、靈活的求證不等式.3一、用微分中值定理證明利用微

3、分中值定理證明不等式是一種很重要的方法,常常要構(gòu)造輔助函數(shù),往往對(duì)一些雙邊不等式用的較多，下面給出利用微分中值定理證明不等式的方法和步驟：1.構(gòu)造輔助函數(shù) ；2.構(gòu)照拉格朗日中值定理需要的區(qū)間 ；3.利用 的關(guān)系,對(duì) 進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，加強(qiáng)不等式.4例題1證明不等式 0或 0 . 注意：應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明的，對(duì)于單邊不等式可以直接作差，對(duì)得到的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其與零的大小，進(jìn)而得證.對(duì)雙邊不等式，可以分解成單邊不等式，先求一邊，必要時(shí)對(duì)于所給不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得證.8三、用函數(shù)凸凹性證明 定義1 設(shè)在 上連續(xù)， 是正數(shù)，對(duì)介于之間的任意的 和 y ， 如果 則稱(chēng)函數(shù) 是 上的凸函數(shù).

4、對(duì)某些不等式來(lái)說(shuō)利用函數(shù)凸凹性證明也是非常方便的， 其步驟如下： 對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù),如果 0, 則為凸函數(shù) 否則為凹函數(shù). 針對(duì)具體題目進(jìn)行放縮. 9例題3 設(shè)在上連續(xù) ， 在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)， 且單調(diào)增加， 證明： 對(duì)0,1 有 . 10四、 用Taylor公式證明 利用Taylor公式證明不等式，常適用于所給題設(shè)中函數(shù)具有二階和二階 以上的高階導(dǎo)數(shù)，且最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上下界是已知的命題 . 證明思路： 1.寫(xiě)出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的Taylor公式； 2.根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上下界對(duì)展開(kāi)式進(jìn)行縮放； 3.在所需點(diǎn)Taylor展開(kāi)對(duì)Taylor余項(xiàng)作適當(dāng)處理.11例題4 用Tayl

5、or公式證明：若為D上的下凸函數(shù)，則對(duì). 12注意：在應(yīng)用Taylor公式證明不等式時(shí)，一般同時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)需要構(gòu)造函數(shù)，然后對(duì)于構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)腡aylor展開(kāi)，進(jìn)行放縮，進(jìn)而求證不等式.13五、用Jensen不等式證明 Jensen不等式： 若 為D上的下凸函數(shù)， 則對(duì)于 14例題5 證明不等式， 其中. .注意：應(yīng)用Jensen不等式證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，判斷是凸函數(shù)還是凹函數(shù)。進(jìn)而應(yīng)用Jensen不等式.15用最大值與最小值證明，對(duì)此，我們可以對(duì)函數(shù)求導(dǎo) ，針對(duì)其單調(diào)性討論，有必要時(shí)求出極大值和極小值，進(jìn)行放縮. 六、用最大值與最小值證明16

6、例題6證明：若p1,則對(duì)于0, 1中的任意， 有 . 17注意：對(duì)于所證不等式中有常數(shù)項(xiàng)的題目，可以考慮應(yīng)用函數(shù)最大值與最小值來(lái)證明，作差、求導(dǎo)、判斷最值和極值.有時(shí)需要對(duì)于所給不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后進(jìn)行證明.18結(jié)束語(yǔ)：不等式的應(yīng)用在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是十分重要的內(nèi)容，不同類(lèi)型的不等式證明方法也是不同的，本文只是結(jié)合數(shù)學(xué)分析的知識(shí)進(jìn)行了歸納整理，說(shuō)明了應(yīng)用中應(yīng)注意的問(wèn)題，并每種方法配有相應(yīng)例子，期望對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)及中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用.19參考文獻(xiàn):1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M .北京：高等教育出版社，2001.2 劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義M.高等教育出版社.2003年6月出版.

7、上冊(cè)P376.3 王素芳、陶榮.泰勒公式在計(jì)算證明中的應(yīng)用M.洛陽(yáng)工業(yè)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)J .2002（6）.4 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)M .北京：高等教育出版社，2002.5 梁瑞興.著名不等式M .北京：中國(guó)物質(zhì)出版社，1994.20致謝當(dāng)我寫(xiě)完這篇畢業(yè)論文的時(shí)候，需要我感謝的人特別多.首先衷心感謝我的指導(dǎo)教師陳祥平老師，從論文題目的選取、資料的收集、結(jié)構(gòu)的安排、到最后的定稿打印都得到了陳老師的精心指導(dǎo).陳老師的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、孜孜不倦、持之以恒的師表風(fēng)范是我終身學(xué)習(xí)的楷模，在此向陳老師表示誠(chéng)摯的感謝和崇高的敬意！特別感謝朱先軍、劉麗等老師的細(xì)心授課，從他們的講課過(guò)程中我不僅學(xué)到了課本知識(shí)，更從劉