公路工程測(cè)量放線圓曲線、緩和曲線計(jì)算解析

1、公路工程測(cè)量放線圓曲線、緩和曲線（包括完整緩和曲線、非完整緩和曲線）計(jì)算解析例：某道路橋梁中，A匝道線路。已知交點(diǎn)樁號(hào)及坐標(biāo)：SP，K9+000(2957714.490，485768.924)；JD1，K9+154.745(2957811.298，485889.647)；EP，K9+408.993(2957786.391，486158.713)。SPJD1 方位角：51 16 25 ；轉(zhuǎn)角：右 44 00 54.06 ；JD1EP 方位角：95 17 20。交點(diǎn)樁號(hào)寧點(diǎn)坐標(biāo)玄點(diǎn)號(hào)a f rz曲線控制批E直姓長(zhǎng)底（未正直向L，m I HTCT） I_TH網(wǎng) IK直紜長(zhǎng)度 變點(diǎn)I定方梅154.h.

2、 15 25.0270. 21E攔17由上面“入匝道直線、曲線及轉(zhuǎn)角表”得知：K9+000K9+116.282處于第一段圓曲線上，半徑為385.75m；K9+116.282K9+151.282處于第一段緩和曲線上，K9+151.282的半徑為300m，緩和曲線要素A1=217.335, Ls1=35m；K9+151.282K9+216.134處于第二段圓曲線上，半徑為300m；K9+216.134K9+251.134 處于第二段緩和曲線上，K9+251.134 的半徑為 1979.5，緩和曲線要素 A2=111.245, Ls2=35m；K9+251.134K9+408.933處于第三段圓曲線

3、上，半徑為1979.5m。求：K9+130、K9+200、K9+230、K9+300的中樁坐標(biāo)，切線方位角，左5米邊樁的坐標(biāo)，右10米邊樁的坐標(biāo)。解：首先，我們知道要求一個(gè)未知點(diǎn)的坐標(biāo)，必須知道起算點(diǎn)坐標(biāo)，起算點(diǎn)至未知點(diǎn)的方位角，起算點(diǎn)至未知點(diǎn)的直線距離，然后利用坐標(biāo)正算 的計(jì)算公式，就可以直接求出未知點(diǎn)的坐標(biāo)。那么，關(guān)于圓曲線和緩和曲線（包括完整緩和曲線和非完整緩和曲線）的計(jì)算，我們需要知道如何求出起算點(diǎn)至圓曲線或緩和曲線上某點(diǎn)的 方位角和直線距離。下面，先列出關(guān)于圓曲線和緩和曲線中角度和距離計(jì)算的相關(guān)公式。圓曲線：建立圓曲線直角坐標(biāo)系，以起點(diǎn)直圓ZY的切點(diǎn)方向（也是直圓ZY至交點(diǎn)JD的方向

4、）作為x軸，以過(guò)直圓ZY垂直于直圓ZY切線的方向作為 y軸。過(guò)圓曲線上任意點(diǎn)P的切線與ZYJD相交，夾角（切線角）為p，ZYP與ZYJD的夾角（弦切角）為a，ZYP的孤長(zhǎng)為L(zhǎng)，ZYP的 直線距離為d，圓曲線的半徑為R。那么，a 二、（孤度）2R（度）】【注：這里計(jì)算出來(lái)的a是弧度，不是以度分秒表示的角X轉(zhuǎn)化為角度，需要換算，換算公式為，1（弧度）=孚所以如果以度表示，那么a = 2rX邪；弦切角等于切線角的一半，所以佐2a ；ZY到P的直線距離為：d=2Rsina ；緩和曲線：建立緩和曲線直角坐標(biāo)系，以起點(diǎn)直緩ZH的切點(diǎn)方向（也是直緩ZH至交點(diǎn)JD的方向）作為x軸，以過(guò)直緩ZH垂直于直緩ZH切

5、線的方向作為y軸。過(guò)緩和曲線上任意點(diǎn)P的切線與ZHJD相交，夾角（切線角）為p，ZHP與ZHJD的夾角（弦切角）為a，ZHP的孤長(zhǎng)為L(zhǎng)，為緩和曲線起點(diǎn)ZH一緩和曲線終點(diǎn)HY的里程，ZHP的直線距離為d 緩和曲線參數(shù)：A叫;II6=2RL轉(zhuǎn)化為角度為6=2RLss180。人當(dāng)L=Ls時(shí)，詰X n180。;1ca = 3 6；在完整的緩和曲線坐標(biāo)系中， y），則緩和曲線的參數(shù)方程為：L5緩和曲線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（L9L13X 一 L - 40R2L2 + 3456R 4L4 - 599040R6L5 sssL11L15L3L7y =6RLs Z- + ,- - E ,- 336R3L3 4224

6、CR5L5 967680OhL7sss當(dāng)L=LS時(shí)，則緩和曲線終點(diǎn)HY點(diǎn)或YH點(diǎn)坐標(biāo)lx。，y0）為:T 3L540R2 + 3456R4L7s599040 R 6R為緩和曲線終點(diǎn)HY點(diǎn)處的圓曲線半徑。那么， xL4L63 42240R5 9676800 R7L8sZH到P的直線距離為：d=：x2 + y2 ；K9+000JD：Y=485889. 647K9+408. 9939517K9+000X=2957714.490 y=485768. 924K9+408. 993 x=2957786. 391 y=486158.71320分析：首先，從主線示意圖上可以看出，這條線路是具有多段圓曲線和非完

7、整緩和曲線組成的線路。在計(jì)算時(shí)，需要分開推算，圓曲線段用圓曲線 的推到公式計(jì)算，緩和曲線段用緩和曲線的推到公式計(jì)算。我們需要計(jì)算的樁號(hào)為K9+130，K9+200，K9+230，K9+300，這四個(gè)樁號(hào)分別處于第一段緩和曲線，第二段圓曲線，第二段緩和曲線，第三段 圓曲線上，需要注意的是，這里的緩和曲線是非完整緩和曲線【注意：一定要清楚，緩和曲線是從半徑為+8R?！拷猓海驥9+130的中樁坐標(biāo)，切線方位角，左5米邊樁的坐標(biāo)，K9+130在第一段非完整緩和曲線上，在第一段圓曲線，我們只需要計(jì)算出K9+116.282的中樁坐標(biāo)和切線方位角。 由于是圓曲線，且已知起止樁號(hào)、半徑、K9+000-JD的

8、方位角，K9+000的坐標(biāo)，所以計(jì)算非常簡(jiǎn)單。K9+000 的坐標(biāo)為(2957714.490，485768.924)，L=116.282, R=385.75, K9+000JD 的方位角為 51 16 25， 由圓曲線的相關(guān)公式推導(dǎo)，右10米邊樁的坐標(biāo)。a = X 既二8 388.642RnK9+000K9+116.282 的方位角為：F=51 16 25 +a =59 54 33.64K9+000K9+116.282 的距離為：d=2Rsina =115.842K9+116.282的坐標(biāo)為：X=2957714.490+dXcosF=2957772.570Y=485768.924+dXsinF

9、=485869.154【利用坐標(biāo)正算公式直接計(jì)算即可，這里不在推導(dǎo)。】K9+116.282的切線方位角為：F切=5=51=6816163225 +625+2a42.28【注：我們推導(dǎo)下一段緩和曲線的時(shí)候，需要用到K9+116.282的坐標(biāo)和切線方位角?！?11625在完整緩和曲線的計(jì)算中，通常以直線線元與緩和曲線線元銜接點(diǎn)(ZH點(diǎn))為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算，而非完整緩和曲線只是完 整緩和曲線中的一段，其與上一線元的銜接點(diǎn)并非是ZH點(diǎn)，而是緩和曲線上的任意一點(diǎn)，也就是說(shuō)它的起點(diǎn)半徑不是8,而是一個(gè)具體的數(shù)值， 其曲率半徑變化時(shí)由 到 ( )，但是它仍然是回旋線，所以仍具有回旋線的一切特性

10、。要解決非完整緩和曲線的計(jì)算問題，可以將其一端 延伸至曲率半徑為8的ZH點(diǎn)處，將其轉(zhuǎn)換為相對(duì)應(yīng)的完整緩和曲線，然后通過(guò)相應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，就可以計(jì)算出非完整緩和曲線上任意里程的坐標(biāo) 數(shù)據(jù)了。如圖1所示：已知第一段緩和曲線要素A1=217.335，起點(diǎn)曲率半徑為R1=385.75，終點(diǎn)曲率半徑為R2=300，且R1 ，非完整緩和曲線長(zhǎng)Ls=35m，將其曲 率半徑較大的一端O1 (K9+116.282)端順延至曲率半徑為8的O處，形成完整緩和曲線，就可以完整緩和曲線公式來(lái)推導(dǎo)非完整緩和曲線計(jì)算公 式了。圖中：(K9+116.282)緩和曲線長(zhǎng)為:=122.448(K9+151.282)緩和曲線長(zhǎng)為:=

11、一二157.448非完整緩和曲線長(zhǎng)為:=35 (和已知數(shù)據(jù)相符)我們要推算K9+130 點(diǎn)的坐標(biāo)和切線方位角。 d1。的中樁坐標(biāo)，需要先推算出在完整緩和曲線中O 所以需要先算出K9+116.282O點(diǎn)方位角和距離01七P1 2RLs25 37.09a1= 301=3 1 52.36K9+116.282O點(diǎn)方位角為：F=68 32 42.28 +180 -y=68 32 42.28 +180 - (p1-a1)=242 28 57.55K9+116.282O 點(diǎn)距離 d1 為：68 324228K9+151.282d1=*2+ y2 =122.311L7L11L15+推導(dǎo)出來(lái))336R3L3 4

12、224(R5L5 967680(R7L7sssK9+151.282L13L5L9L13L3(x, y可由緩和曲線的參數(shù)方程x = l-+.d t -，y = rr40R2L2 3456R4L4 599040R6L66RL所以：O 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2957716.060, 485760.680),O 點(diǎn)的切線方位角為 68 32 42.28 -01=59 27 5.19；要計(jì)算K9+130的中樁及邊樁坐標(biāo)，需要計(jì)算出O點(diǎn)到K9+130的方位角和距離d2,以及K9+130的切線方位角。59 27 5.197O 點(diǎn)到 K9+130 的孤長(zhǎng)為 L= (9130-9116.282)+122.448=136.

13、166L 2180,02 = -r X=11 14 43.13 s2a2 = 302=3 44 54.38O點(diǎn)到K9+130的方位角為：F=59 27 5.19 +a2=63 11 59.57O點(diǎn)到K9+130的距離d2為：d2 = Jx2+ y2 =135.933 (方法同上，此處不再列出計(jì)算過(guò)程)K9+130 的中樁坐標(biāo)為：(2957777.349, 485882.012)K9+130的切線方位角為：F切=59 27 5.19 +02=70 41 48.32“【推算切線方位角，是為了后面推算邊樁方位角做鋪墊?！縆9+130左側(cè)5米邊樁方位角為：F 左=F 切-90=70 41 48.32

14、-90 =-19 18 11.68這里計(jì)算出來(lái)的邊樁方位角為負(fù)數(shù)，所以我們需要加上360,所以，F(xiàn)左=340 41 48.32，(8Ioog88g8 寸 3I6.z9zzg6z) “六1M翎ffis米sBk 02+6X 戛00.8寸二寸。9彳 。06+ 戛0000寸二寸OZH盡 口。06+ U H “戒以收粗科米2Bk 02+6X g(6脂.088g孚Oa90.z8zzg6z) “獲蜃翎粗米 gBtt02+6x這里 8=0 X、=15 2 6.64，68 32 42.28所以K9+151.282的切線方位角為;K9+151.282K9+151.282(K9 + 200)切2911.83 +p=

15、74=83294711.83 +2a27.85 ，求K9+200的中樁坐標(biāo)，切線方位角，左5米邊樁的坐標(biāo)，右10米邊樁的坐標(biāo)。K9+200在第二段圓曲線上，所以我們需要計(jì)算出這段圓曲線的起點(diǎn)坐標(biāo)和切線方位角（也 就是第一段非完整緩和曲線終點(diǎn)K9+151.282的坐標(biāo)和切線方位角。O點(diǎn)的切線方位角前面已經(jīng)得出，為59 27 5.19，F(xiàn)(K9 ,151.282)切如7八19 邛=74 29 11.83O 點(diǎn)到 K9+151.282 的方位角為：64 27 47.4，O 點(diǎn)到 K9+151.282 的距離 d 為：156.966，所以 K9+151.282 的坐標(biāo)為：(2957783.727，48

16、5902.312)。要計(jì)算K9+200的中邊樁坐標(biāo)，需要計(jì)算出K9+151.282K9+200 的坐標(biāo)方位角和距離，K9+200的切線方位角。K9+151.282K9+200的坐標(biāo)方位角為：K9+216.134F=74 29 11.83 +a=79 8 19.84K9+151.282K9+200 的距離 d 為：d=2Rsina =48.664K9+200 的中樁坐標(biāo)為(2957792.897，485950.104)，K9+200的切線方位角為：K9+200的左側(cè)5米邊樁方位角為：F 左=F(K9 + 200)切-90=83 47 27.85 -90=-6 12 32.15值為負(fù)數(shù)，仍然需要加

17、上360,所以F左=353 47 27.85 , K9+200 的左側(cè) 5 米坐標(biāo)為：(2957797.868, 485949.563), K9+200的右側(cè)10米邊樁方位角為：F右=F(K9+200)切+90=83 47 27.85 +90=173 4727.85 K9+200 的右側(cè) 10 米坐標(biāo)為：(2957782.956, 485951.186 )。K9+230、K9+300的中樁坐標(biāo)，切線方位角，左5米邊樁的坐標(biāo)，右10米邊樁的坐標(biāo)均可用上述方法逐一推算出來(lái)，這里不在進(jìn)行重復(fù)推導(dǎo)。 下面給出相關(guān)結(jié)果供大家驗(yàn)算。K9+230 的中樁坐標(biāo)：(2957794.682, 485980.041)K9+230的切線方位角：89 4 32.08K9+230 的左 5 米邊樁的坐標(biāo)：(2957799.681, 485979.9