高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固（真題感悟+考點(diǎn)梳理+要點(diǎn)突破+鞏固提高）專題七：數(shù)列、推理與證明 Word版含答案（ 高考）

1、 專題七 數(shù)列、推理與證明 【真題感悟】1.（ 2012浙江）設(shè)是公差為d（d0）的無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是A.若d0，則數(shù)列SnSn有最大項(xiàng)，則d0Sn是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有D. 若對(duì)任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列2. （2012湖北）定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 B C D 3. （2010山東9）設(shè)an是等比數(shù)列，則“a1a2a3”是數(shù)列an是遞增數(shù)列的（A）充分而不必要條件(B)必要而不充分條件、（C）充分必要條件 （D）既不

2、充分也不必要條件4. （2011江西）觀察下列各式：則，則的末兩位數(shù)字為（ ）A.01 B.43 C.07 D.495. （2012新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為 。6. （2012湖北）回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，121，3443，94249等顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，993位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，191，202，999則（）4位回文數(shù)有 個(gè)；（）位回文數(shù)有 個(gè)【考點(diǎn)梳理】1.數(shù)列的有關(guān)概念：（1）數(shù)列的定義：按照_排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的_（2）數(shù)列的分類：分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)_

3、無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)_按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1_an其中nN*遞減數(shù)列an1_an常數(shù)列an1an按其他有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M標(biāo)準(zhǔn)分類擺動(dòng)數(shù)列an的符號(hào)正負(fù)相間，如1，1,1，1，（3）數(shù)列的表示法：數(shù)列有三種表示法，它們分別是_、_和_（4）數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與_之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式anf(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式（5）數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列：數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前項(xiàng)和公式的關(guān)系：(必要時(shí)請(qǐng)分類討論).注意：；.2.等差數(shù)列：（1）定義，an為等差數(shù)列an+1-an=d（常數(shù)），nN+2an=an-1+an+1

4、（n2，nN+）；（2）通項(xiàng)公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；前n項(xiàng)和公式：； （3）性質(zhì)：an=an+b，即an是n的一次型函數(shù)，系數(shù)a為等差數(shù)列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；若an，bn均為等差數(shù)列，則annn,kan+c（k，c為常數(shù)）均為等差數(shù)列；當(dāng)m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=；當(dāng)2n=p+q時(shí)，2an=ap+aq；等差數(shù)列中依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，成等差數(shù)列，且公差為(d是原數(shù)列公差)；有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然

5、聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定. 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2 n的等差數(shù)列有：；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2 n-1的等差數(shù)列有：；（分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和）。等差數(shù)列中，若則；等差數(shù)列中，若則；等差數(shù)列中，若則；若均為等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為，則；(4)判定數(shù)列是否等差數(shù)列的方法：定義法；中項(xiàng)公式法；通項(xiàng)公式法；前n項(xiàng)和公式法；圖像法(也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式)，但解答題中只能用前兩種：定義法與中項(xiàng)公式法.3. 等比數(shù)列：定義：=q（q為常數(shù)，an0）；an2=an-1an+1（n2，nN+）；通項(xiàng)公式：an=a1qn-1，an=amqn-m；前n項(xiàng)和公式：；（3

6、）性質(zhì)：an=cqn，即an是n的類指數(shù)型函數(shù)，系數(shù)c為；時(shí)，即Sn是n的類指數(shù)型函數(shù)，其中，的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)；當(dāng)m+n=p+q時(shí)，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=；當(dāng)2n=p+q時(shí)，an2=apaq；若均為等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 公比不為-1的等比數(shù)列中依次k項(xiàng)和成等比數(shù)列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，成等比數(shù)列，且公比為(q是原數(shù)列公比)；有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則（分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和）；并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).，僅

7、當(dāng)實(shí)數(shù)同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù)存在等比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì).也就是說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)(非同號(hào)時(shí))，如果有，必有一對(duì)(同號(hào)時(shí))；(4)判定數(shù)列是否等比數(shù)列的方法：定義法；中項(xiàng)公式法；通項(xiàng)公式法；前n項(xiàng)和公式法；(也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這五種形式)，但解答題中只能用前兩種：定義法與中項(xiàng)公式法.4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系：(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列.(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列.(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.(

8、4)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列.注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.但也有少數(shù)問題中研究，這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同。5.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：（1）公式法：如果已知數(shù)列為等差（或等比）數(shù)列，可直接根據(jù)等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式（兩種形式），求得，d（或q），從而直接寫出通項(xiàng)公式。（2）歸納法（歸納-猜想-證明

9、）：如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。（3）周期性：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而有些函數(shù)是有周期性的；(4) 累加法：一般地，對(duì)于型如類的通項(xiàng)公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。； （5）累乘法：一般地，對(duì)于型如類的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用此方法。；（6）利用； （7）迭代法：也稱輾轉(zhuǎn)法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程， “二分法”就屬于近似迭代法。（8）構(gòu)造法：有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。常見的

10、類型及構(gòu)造法如下：分解因式法：當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡(jiǎn)形式，再用其它方法求得an；倒數(shù)法：數(shù)列有形如的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求出開方法：對(duì)有些數(shù)列，可先求再求對(duì)數(shù)法：對(duì)于冪或指數(shù)的運(yùn)算，可以通過兩邊取對(duì)數(shù)降低運(yùn)算級(jí)別，先求，再求待定系數(shù)法：對(duì)于形如的遞推關(guān)系，可以通過構(gòu)造等比數(shù)列的方法得解，對(duì)于后式可以用兩種方法（同除以或同除以；復(fù)合數(shù)列構(gòu)成等差、等比數(shù)列法：數(shù)列有形如的關(guān)系，可把復(fù)合數(shù)列化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再用其它初等方法求得6.數(shù)列求和的方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式（三種形式）；等比數(shù)列求和公式（三種形式）；。 。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法

11、求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”?。ㄟ@也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，或部

12、分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 常用裂項(xiàng)形式有：； 。（6）并項(xiàng)求和法。7.推理與證明：（1）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：如右圖所示：（2）推理：歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征(或性質(zhì))，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征(或性質(zhì))的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)歸納推理是由特殊到一般、部分到整體的推理類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，叫做類比推理(簡(jiǎn)稱類比)類比推理是由特殊到特殊的推理演繹推理：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏

13、輯法則得到新結(jié)論的推理過程，是根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，一般是三段論推理，包括大前提、小前提、結(jié)論。（3）證明直接證明：分析法和綜合法是兩種思路相反的證明推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推分析法側(cè)重于結(jié)論提供的信息，綜合法則側(cè)重于條件提供的信息，把兩者結(jié)合起來，全方位地收集、儲(chǔ)存、加工和運(yùn)用題目提供的全部信息，才能找到合理的解題思路沒有分析，就沒有綜合，分析是綜合的基礎(chǔ)，它們相輔相成，是對(duì)立統(tǒng)一的析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常

14、兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立間接證明：反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論適合使用反證法證明的命題有：否定性命題、唯一性命題、至多、至少型命題、明顯成立的命題、直接證明有困難的問題等應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般分下面幾個(gè)步驟：第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定

15、產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況數(shù)學(xué)歸納法：分兩步：首先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n01)時(shí)結(jié)論正確；然后假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算nn0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目

16、要求，選擇合適的起始值第(2)步，證明nk1時(shí)命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法【要點(diǎn)突破】題型一、等差數(shù)列的有關(guān)問題：例1. (1)（2012四川）設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、(2) 已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)之和為21，末四項(xiàng)之和為67，前n項(xiàng)和為286，則項(xiàng)數(shù)n為（）A24B26C27 D28（3）為等差數(shù)列，若-1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n=（）A11B17 C19D21（4）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為 。題型二、等比數(shù)列的有關(guān)問題：例2.（1）（20

17、11四川）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 =（A）3 44 （B）3 44+1（C）44（D）44+1（2）（2009廣東）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， A. B. C. D. (3) (2012浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為S n若，則q_題型三、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：例3. （2012廣東）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足且成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有. 題型四、數(shù)列求和：例4. （2012江西）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且Sn的最大值為8.（1）確定常數(shù)k，求an；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。題型五、推理與證明：例5. （2009

18、山東）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（2）當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立【鞏固提高】1. （2012上海）設(shè)，在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D1002. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且，那么A.1 B.9 3. 在等差數(shù)列an中，若a3+a9+a15=72，則a10-a12的值為（）A15B16C17D184. 已知為等差數(shù)列，+=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 5. 數(shù)列的首項(xiàng)為3，為等差數(shù)列且，若則，則（A）0 （B）3（C）8（D

19、）116. 數(shù)列an的通項(xiàng)公式，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2012等于A.1006 7設(shè)S=+，則不大于S的最大整數(shù)S等于A2007B2008C2009D30008. 已知等比數(shù)列an的公比q0，其前n項(xiàng)和為Sn，則a9S8與a8S9的大小關(guān)系是Aa9S8a8S9 Ba9S8a8S9 Ca9S8=a8S9 Da9S8與a8S9的大小關(guān)系與a1的值有關(guān)9. （2012四川）記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；當(dāng)時(shí)，；對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有_。（寫出所有真命題的編號(hào)）10. 設(shè)若，則S=_

20、。11. （2009浙江）觀察下列等式： ， ，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于， 12. 已知當(dāng)x=5時(shí)，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c取得最小值，等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=f（n），a2=-7則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 13. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足log2（Sn+1）=n+1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 14.（2002天津）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足。（1）求； （2）證明； （3）求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和。15.（2012天津）已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（）記，證明：（）.16. 直線過（1，0）點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱直線為

21、，已知點(diǎn)()在上，a1=1，當(dāng)n2時(shí)，()求的方程；()求an的通項(xiàng)公式（）設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和。17.以數(shù)列的圖象上，數(shù)列 （I）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為、的值；（）若，求 成立的正整數(shù)的最小值。18. 已知函數(shù)，數(shù)列an滿足a1=1，（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）令Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2n1a2na2na2n+1，求Tn；（3）令，b1=3，Sn=b1+b2+bn，若對(duì)一切nN*成立，求最小正整數(shù)m19. 已知數(shù)列與滿足，且，() 求，的值；() 設(shè)，證明是等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（nN*）。 （）證明數(shù)

22、列是等比數(shù)列；（）令，并比較的大小。21. 已知拋物線x2=4y，過原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P1，又過點(diǎn)P1作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)P2，再過P2作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)P3，如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn)Pn作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)Pn+1，設(shè)點(diǎn)Pn（xn，yn）（）令bn=x2n+1x2n1，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列（）設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，試比較與的大小22.設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足aeq oal(2,2)aeq oal(2,3)aeq oal(2,4)aeq oal(2,5)，S77.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；(2)試求

23、所有的正整數(shù)m，使得eq f(amam1,am2)為數(shù)列an中的項(xiàng)23. 已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sneq f(n(1an),2)，nN*.(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)若a23，求證：當(dāng)nN*時(shí)，eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)1，b1)，則稱Sn為“好和”問S1，S2，S3，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，說明理由28.（2012年江蘇）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值29. 已知數(shù)列an和bn滿足：a1=,an+1=其中為實(shí)數(shù)，

24、n為正整數(shù).（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明:數(shù)列an不是等比數(shù)列；（2）證明：當(dāng)（3）設(shè)0ab（a,b為實(shí)常數(shù)）,Sn為數(shù)列bn，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有aSnb?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.專題七 數(shù)列數(shù)列、推理與證明參考答案【真題感悟】1. C。解：選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0不成立故選C。2. C解：等比數(shù)列性質(zhì)， EQ ，； ；.選C3. C解：若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以有，解得且，所以?shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則公比且，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件。4. B解析： 5 . 1830

25、解：由得，即，也有，兩式相加得，設(shè)為整數(shù)，則，于是。6. 90；。解：（）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（19）種情況，第二位有10（09）種情況，所以4位回文數(shù)有種。（）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為.法二、可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)90個(gè)回文數(shù)。計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對(duì)的“00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)按

26、此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個(gè)數(shù)，因此,則答案為.【要點(diǎn)突破】例1. （1）D解：，即，而是公差為的等差數(shù)列，代入，即，不是的倍數(shù)，.，故選D.（2）B.解：由等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得首項(xiàng)與末項(xiàng)之和等于=22，再由前n項(xiàng)和為286=11n，n=26，故選B(3) 解：Sn有最大值，d0。則a10a11，又-1，a110a10a10+a110，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）0，S19=19a100，又a1a2a100a11a12，S10S9S2S10，S10S11S190S20S21又S19-S1=a2+a3+a19=9（a10+a11）0

27、，S19為最小正值，故選C。（4）解：設(shè)等差數(shù)列an項(xiàng)數(shù)為2n+1，S奇=a1+a3+a5+a2n+1=(n+1)an+1，S偶=a2+a4+a6+a2n=nan+1，=，解得n=3，項(xiàng)數(shù)2n+1=7，又因?yàn)镾奇-S偶 =a1+nd=an+1=a中，所以a4=S奇-S偶=44-33=11，所以中間項(xiàng)為11例2. （1）A解：由an+1 =3Sn，得an =3Sn1（n2），相減得an+1an =3(SnSn1)= 3an，則an+1=4an（n2）， （2）C.解：由得，則， ，選C. （3）。解：將，兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)例3. （1）在中

28、，令得：；令得：；解得：，又，解得（2）由，得，又也滿足，所以成立 ， ， （3）法一：， 法二：， 當(dāng)時(shí)，累乘得： ，法三：用數(shù)學(xué)歸納法證例4.例5. 解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. 由、可得不等式恒成立.【鞏固提高】1. D解：當(dāng)124時(shí)，0，當(dāng)2649時(shí)，0，但其絕對(duì)值要小于124時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)5174時(shí)，0，當(dāng)7699時(shí)，0，但其絕對(duì)值要小于5174時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)1100時(shí)，均

29、有0。2. A。解：，可得，可得，同理可得，故選A。3.B提示：4. B.解：由+=105得即，由=99得即 ，由得，選B5. B解：為等差數(shù)列，由，及解得，故，即，故，相加得，故，選B6.A7B.解：=,=2008+,S=20088.A.解：S8a9-S9a8=-a12q7，q0，-a12q70，S8a9S9a8，故選A。9. 。解：當(dāng)時(shí)， ，故正確；對(duì)于可以采用特殊值列舉法：當(dāng)a=1時(shí)，x1=1, x2=1, x3=1, xn=1, 此時(shí)均對(duì)；當(dāng)a=2時(shí)，x1=2, x2=1, x3=1, xn=1, 此時(shí)均對(duì)；當(dāng)a=3時(shí)，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2xn=1, 此時(shí)均對(duì)綜

30、上，真命題有 ，錯(cuò)誤.10.提示：，倒序相加法。11. 。解：這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于，12. an=2n-11。由題意得：-=5，an=Sn-Sn-1=an2+bn+c-a（n-1）2-b（n-1）-c=2an-11a，a2=-7，a=1，an=2n-1113. 解：由已知Sn+1=2n-1，得Sn=2n+1-1，故當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3；當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n，而a1=3不符合an=2n，故答案為14.解：（1）由題設(shè)得，且均為非負(fù)整數(shù)，所以的可能的值為1、2、5、10.若1,則10，與題設(shè)矛盾；若5,則2,

31、，與題設(shè)矛盾。若10,則1, ，與題設(shè)矛盾。所以2.（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，等式成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，由題設(shè)因?yàn)椋?，也就是說，當(dāng)時(shí)，等式成立。根據(jù)，對(duì)于所有。（3）由得。即。所以15.16.解：解：()設(shè)的方程為：，又，關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)(1，0)，l2過點(diǎn)(0，1)， b=1又在直線上,取n=1，2得：，（,n2），l2的方程為()由,可知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列在直線l2上，（） 。17. 解：（）在一次函數(shù)的圖像上 又，且數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列 6分（） 7分由（）知 即則 10分 是以2為公比的等比數(shù)列 解得：（）， . 數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

32、. ，即為數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （3）-（4）得 10分，即，又當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 故使成立的正整數(shù)的最小值為5 . 13分18. 解：（1），數(shù)列an是以為公差，首項(xiàng)a1=1的等差數(shù)列，（2）Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2n1a2na2na2n+1=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2n（a2n1a2n+1）=（3）當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，上式同樣成立，sn=b1+b2+bn=恒有成立，即對(duì)一切nN*成立，解得 m2011，m最小=201119. 解：()因?yàn)?，所以，又，?dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得() 對(duì)任意,有， ， 得代入得，即，又，由式，對(duì)所有，因此，所以是等

33、比數(shù)列20. 解：（）由已知 兩式相減，得 即 從而當(dāng)n=1時(shí)，S2=2S1+1+5， 又從而 故總有 又 從而即為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. （）由（）知 . 從而 由上 （*）當(dāng)n=1時(shí)，（*）式=0， ；當(dāng)n=2時(shí)，（*）式 ；當(dāng) 從而（或用數(shù)學(xué)歸納法：時(shí)，猜想 由于 事實(shí)上.1* 當(dāng)n=3時(shí)， 不等式成立2* 設(shè)，則從而 即 綜上1*、2*知，都成立.綜上； ； 21. 解：（）因?yàn)镻n（xn，yn）、Pn+1（xn+1，yn+1）在拋物線上，故xn2=4yn，xn+12=4yn+1，又因?yàn)橹本€PnPn+1的斜率為，即，代入可得bn=x2n+1x2n1=（x2n+1+x2n）（x2n+

34、x2n1）=，故是以為公比的等比數(shù)列；（），故只要比較4n與3n+10的大小當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)；當(dāng)n3，nN*時(shí)，22. 解：(1)設(shè)公差為d，則由aeq oal(2,2)aeq oal(2,5)aeq oal(2,4)aeq oal(2,3)得3d(a4a3)d(a4a3)因?yàn)閐0，所以a4a30，即2a15dS77得7a1eq f(76,2)d7，解得a15，d2，所以an的通項(xiàng)公式為an2n7，前n項(xiàng)和Snn26n.(2)法一：eq f(amam1,am2)eq f(2m72m5,2m3)，設(shè)2m3t，則eq f(amam1,am2)eq f(t4t2,t)teq f(8,t)6，所以t為8的約數(shù)因?yàn)閠是奇數(shù)，所以t可取的值為1，當(dāng)t1，m2時(shí)，teq f(8,t)63,2573，是數(shù)列an中的項(xiàng)；當(dāng)t1，m1時(shí)，teq f(8,t)615，數(shù)列an中的最小項(xiàng)是5，不符合所以滿足條件的正整數(shù)m2.法二：因?yàn)閑q f(amam1,am2)eq f(am24am22,am2)am26eq f(8,am2)為數(shù)列an中的項(xiàng)，故eq f(8,am2)為整數(shù)，又由(1)知am2為奇數(shù)，所以am22m31，即m1,2.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)m為2.23. 證明(1)由S1eq f(1a1,2)a1知a1n2時(shí)，an