向量組等價線性相關性

1、關于向量組等價線性相關性第一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月存在非零列向量 及非零行向量 ， 使得而 中至少有一個元素非零 又積的秩不超過因子矩陣的秩21、設A為 矩陣,證明 有解 有解 已證第二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月1、或表示方法：求出方程組的解作組合系數矩陣表示形式：復習：向量、向量組的線性表示向量用向量組的線性表示問題歸結為線性方程組解的問題！第三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月表示系數為列！2、向量組用向量組的線性表示問題歸結為矩陣方程解的問題！第四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月線性表示, m=s時系數矩陣為方陣！表示系數為行！任何向量組可由

2、單位向量組表示！能由向量組A線性表示第五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月能互相線性表示，則稱向量組A與向量組B等價.等價的充要條件（p84定理 2推論）4、向量組與向量組等價定義（p83)向量組的等價關系具有: 自反性、對稱性、傳遞性！則向量組E與向量組A等價 ？第六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例2(p86)設證明證所以第七張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月向量組A與向量組B等價反之不一定！ 等價的必要條件 向量組與單位向量組等價的條件能由向量組A線性表示與向量組等價？第八張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月即B的行的向量組可由A的行的向量組線性表示， 所以，A的

3、行的向量組可由B的行的向量組線性表示。重要但AB 不能保證A與B的行向量組或列向量組等價向量組的等價與矩陣的等價同理，A B A的列組與B的列組等價. 思考第九張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月但AB 不能保證A與B的行向量組或列向量組等價其標準型但但其列、行組都不等價思考B與PA的列向量組等價，B與AQ的行向量組等價B與A的列向量組等價，B與A的行向量組等價例：所以第十張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月若組A組B,矩陣一般不成立！A,B不一定同型！同型組A可用組B表示組B可用組A表示反之含向量個數相等的同維數的向量組等價時矩陣等價！m=l 情況下A與B列滿秩可逆！P70例9的結果

4、A、B列滿秩時，系數矩陣可逆第十一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月這時，組A與組B同解方程組A 方程組B 線性方程組的等價 設有方程組組B的每個方程都是方程組A的線性組合?。碆 中方程皆由A中方程經線性運算得到）方程組A和方程組B能互相線性表示！方程組B能由方程組A的線性表示 B的增廣 矩陣的行向量組 可由A的增廣矩陣的行向量組線性表示.故這時，組A的解也是組B的解方程組A的線性組合：由A中方程經線性運算得到的方程?。ㄓ镁仃嚱鉀Q方程組的深層依據）方程組B能由方程組A線性表示：方程組B與方程組A等價（互推）：第十二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月？對齊次線性方程組有同樣結論A與

5、B行等價是從而，方程組Ax=o與Bx=o同解反之，第十三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月向量組矩陣線性方程組行向量組為行構成矩陣列向量組為列構成矩陣矩陣的一行（列）元素構成一個行（列）向量矩陣的全部行（列）向量構成行（列）向量組一個方程的系數及常數項構成行向量一個未知數的系數 構成列向量系數矩陣、增廣矩陣對應行（列）向量組向量組A與B等價方程組等價（同解）向量組線性組合方程組線性組合矩陣的乘法向量組由向量組表示方程組由方程組表示矩陣的初等變換向量由向量組表示方程組有解矩陣的初等變換矩陣的行或列等價第十五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6

6、月C的列向量組可由A的列向量組線性表示，系數矩陣就是B C的行向量組可由B的行向量組線性表示，系數矩陣就是A兩個方程組等價（同解）B是矩陣方程AX=C 的解A是 矩陣方程 YB=C 的解表示系數？表示系數？ 常數項列向量可由未知數的系數列向量組線性表示增廣矩陣與系數矩陣的列向量組等價方程組 有解第十六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月本節(jié)重點掌握 向量、向量組、向量組的線性組合、向量由向量組線性表示、向量組等價概念，判定條件，方法，形式 重 在 理 解 !第十七張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月引入設有向量組A:零向量可由A線性表示，2 向量組的線性相關性一定有：表示系數全為0我們

7、關心的是：是否還有一組（m個）不全為零的數使得：至少一個不為0這兩者的本質不同是什么呢？也就是對與向量組A：僅有組合系數全為零時其線性組合為零向量？也有組合系數不全為零時其線性組合為零向量？ 本質上的不同對向量組而言至關重要！第十八張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月或曰線性相關。若有一組不全為零的數使得：比如至少有則能用其它m-1個向量線性表示，至少一個不為0這樣我們就說向量 之間有了實實在在的線性關系，即向量組 中，至少有一個向量若僅有組合系數全為零時其線性組合為零向量，則組中任何向量都不能用其它向量線性表示即只有向量 之間沒有線性關系或曰線性無關。第十九張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于20

8、22年6月k 0 則它線性相關; 線性無關.線性相關 .基本結果：定義4（p87)(1) 當向量組只含一個向量時, 若該向量是非零向量, (2) 兩個向量線性相關的充要條件是其對應分量成比例 .線性無關 .0則它線性無關 .共線若該向量是零向量,(4 ) n 維單位坐標向量組(P.88 例4，待證)?當且僅當 k i 都為零時, ()式成立1(3) 含有零向量的向量組 線性相關 .當且僅當 時, 成立 成立第二十張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月相關性條件線性無關只有零解 R(A)= m線性方程組向量組A:向量組A:線性方程組向量組構成的（列）矩陣 R(A) m有非零解 矩陣方程矩陣方程

9、判定一個向量組的線性相關性是重要的！用定義，用條件！第二十一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4（p88）向量組 R(A) m向量組 R(A)= m其中是向量組構成的（列）矩陣 溝通了向量組線性相關性與矩陣的秩之間的聯系!m為向量組中向量的個數 R(A) = n它們所構方陣 A可逆（非奇異）。n 個 n 維向量A可逆 A 構成的向量組（行或列）線性無關特別的 任意 n 個 n 維向量線性相關 R(A) n. 它們所構方陣 A不可逆（奇異） m=n 時可用|A|是否為零 判斷第二十二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例5（p88）判定向量組的線性相關性.解是坐標已知的向量構成的向

10、量組，用判定條件(TH4)線性相關！或：是三個三維向量構成的向量組，用矩陣的可逆性判別A不可逆，從而線性相關第二十三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月用定義判定相關性證(P.88 例4)線性無關 . n 維單位坐標向量組法一：用條件法二：用定義 令則R（E）=n線性無關當且僅當 線性無關即第二十四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例6（p88）證一用定義即只有 (1) 設出所討論向量組的零組合式； 用定義證明向量組相關性(2) 由條件從(1)找出組合系數所滿足的方程組；(3) 由此方程組有無非零解判定出其線性相關性 . 用方程組解的定理第二十五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6

11、月證二用條件證明令向量組不具體（坐標沒有給出），將向量組轉化為矩陣 表達系數作列兩種方法的思路分析（p89)尋求線性表示的矩陣表達形式！第二十六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月基本結論 結論也成立稱組A是組B的一個部分組整體與部分的相關性的聯系 線性無關的向量組中 在一個向量組中, 若有一個部分向量組線性相關， 則整個向量組也必定線性相關 . 意即：任何有限個向量構成的的部分向量組都 線性無關 .證明 （P89用定理4證明，自閱 ) 定理5 (P89) (1)第二十七張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 n m 時, m個n 維向量構成的mn矩陣的秩 定理5 (P89) (2) 必 n m ， n m 時, m個n 維向量構成的向量組線性相關. 特別的，n+1 個n 維向量構成的向量組線性相關. 定理5 (P89) (3)則向量b必能由向量組線性表示，且表示式是惟一的.方程個數 向量維數時，向量組線性相關聯系到方程組向量用向量組表示惟一的充分條