1978-1999年高考數(shù)學(xué)試題與答案

1、1978年試題注意事項(xiàng):理工科考生要求除作（一）-（四）題和（七）題外,再由（五）、（六）兩題中選作一題.文科考生要求作（一） -（四）題,再由（五）、（六）兩題中選作一題;不要求作第（七）題.考生解題作答時(shí),不必抄題.但須準(zhǔn)確地寫明題號(hào),例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的邊長(zhǎng)為a.求側(cè)面積等于這個(gè)正方形的面積、高等于這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的直圓柱體的體積.已知方程kx2+y2=4,其中k為實(shí)數(shù).對(duì)于不同范圍的k值,分別指出方程所代表圖形的類型,并畫出顯示其數(shù) 量特征的草圖.（如圖）AB是半圓的直徑,C是半圓上一點(diǎn),直線MN切半圓于C點(diǎn),AMMN

2、于M點(diǎn),BNMN于N點(diǎn),CDAB于D點(diǎn). 求證:1)CD=CM=CN;2)CD2=AMBN.已知log189=a(a2),18b=5.求log3645.（ 本 題 和 第 （ 六 ） 題 選 作 一 題 ） 已 知 ABC 的 三 內(nèi) 角 的 大 小 成（六）已知 、 為銳角,且3sin2 +2sin2 =1,3sin2 -2sin2 =0.（七）（文科考生不要求作此題）已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1（m為實(shí)數(shù)）.m是什么數(shù)值時(shí),y的極值是0?求證:不論m是什么數(shù)值,函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點(diǎn)都在同一條直線l1上.畫出m=-1、0、1時(shí)拋物線的草 圖,來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論.平行于l1的直

3、線中,哪些與拋物線相交 ,哪些不相交 ?求證:任一條平行于l1而與拋物線相交的直線 ,被各拋 物線截出的線段都相等.11979年試題理工農(nóng)醫(yī)類1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求證:x,y,z成等差數(shù)列. 2.化簡(jiǎn):甲、乙二容器內(nèi)都盛有酒精.甲有公斤 1公斤，乙有 2公斤.甲中純酒精與水(重量)之比為m1:n1,乙中純酒精 與水之比為m2:n2.問(wèn)將二者混合后所得液體中純酒精與水之比是多少?敘述并且證明勾股定理.外國(guó)般只 , 除特許者外, 不得進(jìn)入離我海岸線 D以內(nèi)的區(qū)城 .設(shè)A及B是我們的觀測(cè)站 ,A及B間的距離為S,海岸線 是過(guò)A,B的直線.一外國(guó)船在P 點(diǎn).在A站測(cè)得BAP

4、= ,同時(shí)在B 站測(cè)得ABP= .問(wèn) 及 滿足什么簡(jiǎn)單的三角函數(shù)值不等式,就應(yīng)當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國(guó) 船發(fā)出警告,命令退出我海城?6.設(shè)三棱錐V-ABC中,AVB=BVC=CVA=直角.求證 eq oac(,:)ABC是銳角三角形.美國(guó)的物價(jià)從 1939年的100增加到四十年后 1979年的500.如果每年物價(jià)增長(zhǎng)率相同 ,問(wèn)每年增長(zhǎng)百分之幾?( 注 意 : 自然對(duì)數(shù) 1nx 是以 e=2.718 為底的對(duì)數(shù) . 本題中增長(zhǎng)率 x0.1, 可用自然對(duì)數(shù)的近似公式 :ln(1+x) x. 取 lg2=0.3,ln10=2.3來(lái)計(jì)算).設(shè)CEDF是一個(gè)已知圓的內(nèi)接矩形，過(guò)D作該圓的切線與CE的延長(zhǎng)線

5、相交于點(diǎn)A,與CF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B.9.試問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)的和的值是最大?并求出這最大值.(這里取lg2=0.301)10.設(shè)等腰OAB的頂角為2 ,高為h.(1)在OAB內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,到三邊 OA,OB,AB的距離分別為PD,PF, PE 并且滿足關(guān)系 PDPF =PE2.求P點(diǎn)的軌跡.2(2)在上述軌跡中定出點(diǎn)P的坐標(biāo),使得PD+PE=PF.1980年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)一、將多項(xiàng)式x5y-9xy5分別在下列范圍內(nèi)分解因式:(1)有理數(shù)范圍; (2)實(shí)數(shù)范圍 (3)復(fù)數(shù)范圍.二、半徑為1、2、3的三個(gè)圓兩兩外切.證明:以這三個(gè)圓的圓心為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形. 三、用解析幾何方法證明三角形

6、的三條高線交于一點(diǎn).(a、b、N都是正數(shù),a1,b1)五、直升飛機(jī)上一點(diǎn)P在地平面M上的正射影是A.從P看地平面上一物體B(不同于A),直線PB垂直于飛機(jī)窗玻璃所 在的平面N(如圖).證明:平面N必與平面M相交,且交線l 垂直于AB.寫出f(x)的極大值M、極小值m與最小正周期T;試求最小的正整數(shù) k,使得當(dāng)自變量 x在任意兩個(gè)整數(shù)間 (包括整數(shù)本身 )變化時(shí),函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M 與一個(gè)值是m.七、CD為直角三角形ABC中斜邊AB上的高,已知ACD eq oac(,、)CBD eq oac(,、)ABC的面積成等比數(shù)列,求B(用反三角函數(shù)表 示).九、拋物線的方程是y2=2x,有一個(gè)

7、半徑為1的圓,圓心在x軸上運(yùn)動(dòng).問(wèn)這個(gè)圓運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),圓與拋物線在 交點(diǎn)處的切線互相垂直.3附加題問(wèn)a、b應(yīng)滿足什么條件,使得對(duì)于任意m值來(lái)說(shuō),直線(L)與橢圓(E)總有公共點(diǎn).1981年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)一、設(shè)A表示有理數(shù)的集合,B表示無(wú)理數(shù)的集合,即設(shè)A=有理數(shù),B=無(wú)理數(shù),試寫出:(1)AB,(2)AB. 二、在A、B、C、D四位候選人中,(1)如果選舉正、副班長(zhǎng)各一人,共有幾種選法?寫出所有可能的選舉結(jié)果;(2) 如果選舉班委三人,共有幾種選法?寫出所有可能的選舉結(jié)果.三、下表所列各小題中,指出A是B的充分條件,還是必要條件,還是充要條件,或者都不是.四、寫出余弦定理(只寫一個(gè)公式

8、即可),并加以證明. 五、解不等式(x為未知數(shù)):六、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立.七、設(shè)1980年底我國(guó)人口以10億計(jì)算.如果我國(guó)人口每年比上年平均遞增2%,那么到2000年底將達(dá)到多少?要使2000年底我國(guó)人口不超過(guò)12億,那么每年比上年平均遞增率最高是多少? 下列對(duì)數(shù)值可供選用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.180604

9、八、在120的二面角P-a-Q的兩個(gè)面 P和Q內(nèi),分別有點(diǎn) A和點(diǎn)B.已知點(diǎn) A和點(diǎn)B到棱a的距離分別為 2和4,且線段 AB=10.求直線AB和棱a所成的角;求直線AB和平面Q所成的角.過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于兩點(diǎn)P1及P2,求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程.過(guò)點(diǎn) B(1,1)能否作直線m,使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn) Q1及Q2,且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)?這樣的直線m如果存 在,求出它的方程;如果不存在,說(shuō)明理由.十、附加題:計(jì)入總分.已知以AB為直徑的半圓有一個(gè)內(nèi)接正方形CDEF,其邊長(zhǎng)為1(如圖). 設(shè)AC=a,BC=b,作數(shù)列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=

10、a3-a2b+ab2-b3,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求證:un=un-1+un-2(n3).1982年試題 (理工農(nóng)醫(yī)類)一、填表:5(1)求(-1+i)20展開式中第15項(xiàng)的數(shù)值;在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),下列方程表示什么曲線?畫出它們的圖形.四、已知圓錐體的底面半徑為R,高為H.求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn)(如圖).設(shè)0 x0,a1,比較loga(1-x)loga(1+x)的大小(要寫出比較過(guò)程).如圖:已知銳角AOB=2內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P,PMOA,PNOB,且四邊形PMON的面積等于常數(shù)c2.今以O(shè)為極點(diǎn),AOB 的角平分線OX為極軸,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的

11、極坐標(biāo)方程,并說(shuō)明它表示什么曲線.七、已知空間四邊形,ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)(如圖).求證MNPQ是一個(gè)矩形.6八、拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切,證明這個(gè)三角形的第三邊也與x2=2qy相切. 九、附加題:計(jì)入總分.已知數(shù)列a1,a2,an,和數(shù)列b1,b2,bn,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n2),(p,q,r是 已知常數(shù),且q0,pr0).(1)用p,q,r,n表示bn,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;1983年試題(理工農(nóng)醫(yī)類 )一、本題共 5個(gè)小題 ,每一個(gè)小

12、題都給出代號(hào)為 A,B,C,D 的四個(gè)結(jié)論 ,其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的 . 把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的括號(hào)內(nèi) .(1)兩條異面直線,指的是在空間內(nèi)不相交的兩條直線.分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線.某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線.不在同一平面內(nèi)的兩條直線.【 】(A)兩條相交直線. (B)兩條平行直線.(C)兩條重合直線. (D)一個(gè)點(diǎn).【 】(3)三個(gè)數(shù)a,b,c不完全為零的充要條件是(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一個(gè)是零.(C)a,b,c中只有一個(gè)是零. (D)a,b,c中至少有一個(gè)不是零.【 】7【 】【 】(2)在極坐標(biāo)系內(nèi),方程 =5cos 表示什么

13、曲線?畫出它的圖形.(2)一個(gè)小組共有 10名同學(xué) , 其中4 名是女同學(xué) ,6名是男同學(xué) .要從小組內(nèi)選出 3名代表,其中至少有 1 名女同學(xué),求一共有多少種選法.四、 計(jì)算行列式(要求結(jié)果最簡(jiǎn)):六、 如圖,在三棱錐SABC中,S在底面上的射影 N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn) ,使截 面MAB與底面所成的角等于NSC.求證SC垂直于截面MAB.8八、已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=b(b0),它的前n項(xiàng)的和Sn=a1+a2+an(n1),并且S1,S2,Sn,是一 個(gè)等比數(shù)列,其公比為p(p0且p1).(1)證明a2,a3 ,an,(即an從第2項(xiàng)起)是一個(gè)等比數(shù)列.九、 (1)已知a

14、,b為實(shí)數(shù),并且eaba.(2)如果正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba,且a0)的圖象是11【 】(5)用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字,可以組成比 20000大,并且百位數(shù)不是數(shù)字 3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) ,共 有(A)96個(gè) (B)78個(gè)(C)72個(gè) (D)64個(gè)【 】二、只要求直接寫出結(jié)果 .(2)設(shè)a1,求arccosa+arccos(-a)的值. (3)求曲線 y2=-16x+64的焦點(diǎn).(5)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是0,1,求函數(shù)f(x2)的定義域.(1)解方程 log4(3-x)+log0.25 (3+x)=log4(1-x)+log0.25 (2x+1).如圖,設(shè)平面AC和BD相交于B

15、C,它們所成的一個(gè)二面角為45,P為面 AC內(nèi)的一點(diǎn),Q為面BD內(nèi)的一點(diǎn) . 已知直線 MQ 是直線PQ 在平面 BD內(nèi)的射影 , 并且 M在 BC上.又設(shè)PQ與平面BD所成的角為 ,CMQ= (0 0)所表示的曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱,那么必有(A)D=E (B)D=F(C)E=F (D)D=E=F【 】(8)在正方形SG1G2G3中E 、F分別是G1G2及G2G3的中點(diǎn) ,D是EF的中點(diǎn) ,現(xiàn)在沿 SE、SF及EF把這個(gè) 正方形折成一個(gè)四面體,使G1、G2、G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G.那么,在四面體S-EFG中必有 (A)SGEFG所在平面 (B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平

16、面 (D)GDSEF所在平面【 】(9)在下列各圖中,y=ax2+bx與y=ax+b(ab0)的圖象只可能是14【 】(10)當(dāng)x -1,0 時(shí),在下面關(guān)系式中正確的是【 】二、 只要求直接寫出結(jié)果.(3)在 xoy平面上 , 四邊形ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為 (0,0)、 (1,0)、(2,1)及(0,3), 求這個(gè)四邊形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積.三、 如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn). 求證:平面PAC垂直于平面PBC.四、 當(dāng)sin2x0時(shí),求不等式log0.5(x2-2x-15)log0.5(x+13)的解集.五、如圖

17、,在平面直角坐標(biāo)系中,在y軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)上給定兩點(diǎn)A、B.試在x軸的正半軸 (坐標(biāo)原點(diǎn)除外)上求點(diǎn)C,使ACB取得最大值.15六、 已知集合A和集合B各含有12 個(gè)元素,AB含有4個(gè)元素,試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合 C 的個(gè)數(shù):七、過(guò)點(diǎn)M(-1,0)的直線l1與拋物線y2=4x交于P1、P2兩點(diǎn).記:線段P1P2的中點(diǎn)為P;過(guò)點(diǎn)P和這個(gè)拋物 線的焦點(diǎn) F的直線為 l2;l1的斜率為 k. 試把直線 l2的斜率與直線 l1的斜率之比表示為 k 的函數(shù) ,并指出 這個(gè)函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間,同時(shí)說(shuō)明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù).九、 (附加題不計(jì)入總分) (1)求 y=xa

18、rctgx2的導(dǎo)數(shù).1987年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)一、本題每一個(gè)小題都給出代號(hào)為 A,B,C,D的四個(gè)結(jié)論 ,其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的 ,把你認(rèn)為正 確的結(jié)論的代號(hào)寫在題后的括號(hào)內(nèi) .(A)X (B)T【 】(C)(D)S【 】(3)設(shè)a,b是滿足aba-b (B)a+ba-b(C)a-ba-b (D)a-bDEBCEB=DEBCEB1,并且a1=b(b0),求四、如圖,正三棱錐S-ABC的側(cè)面是邊長(zhǎng)為 a的正三角形,D是SA的中點(diǎn) ,E是BC的中點(diǎn) ,求SDE 繞直 線SE旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.21六、給定實(shí)數(shù)a,a0,且a1設(shè)函數(shù)證明(1)經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平

19、行于x軸; (2)這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形.1989年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)一、選擇題 :每一個(gè)小題都給出代號(hào)為 A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論,其中只有一個(gè)是正確的 ,把你認(rèn)為 正確的結(jié)論的代號(hào)寫在題后的括號(hào)內(nèi) .【 】(2)與函數(shù)y=x有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是【 】22【 】【 】(A)8 (B)16(C)32 (D)48 【 】【 】【 】(8)已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為 5 和8 ,它們位于球心的同一側(cè) ,且相距為1,那么這個(gè) 球的半徑是(A)4 (B)3(C)2 (D)5 【 】【 】23【 】(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)

20、在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)在區(qū)間(-2,0)上是增函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù) 【 】(12)由數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中小于50000的偶數(shù)共有 (A)60個(gè) (B)48個(gè)(C)36個(gè) (D)24個(gè) 【 】二、填空題 :只要求直接填寫結(jié)果.(14)不等式x2-3x4的解集是 .(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,那么a1+a2+a7= .(18)如圖,已知圓柱的底面半徑是 3,高是4,A、B兩點(diǎn)分別在兩底面的圓周上 ,并且AB=5,那么直線 AB與軸OO之間的距離等于 .三、解答題 .()求證:頂點(diǎn)A1在底面A

21、BCD的射影O在BAD的平分線上;()求這個(gè)平行六面體的體積.自點(diǎn) A(-3,3)發(fā)出的光線 L射到 x軸上,被x 軸反射,其反射光線所在直線與圓 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光線L所在直線的方程.已知a0,a1,試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2有解的k的取值范圍.是否存在常數(shù)a,b,c使得等式24對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論.(24) 設(shè) f(x) 是定義在區(qū)間 (- ,+) 上以2 為周期的函數(shù) , 對(duì)k Z,用 Ik 表示區(qū)間 (2k-1,2k+1, 已 知當(dāng)xI0時(shí)f(x)=x2.()求f(x)在Ik上的解析表達(dá)式;()對(duì)自然數(shù)k,求集合Mk=

22、a使方程f(x)=ax在Ik上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.1990年試題（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題 :在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后 括號(hào)內(nèi).【 】(3)如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是S,那么圓柱的體積等于【 】(4)方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是25(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【 】(5)【 】(A)-2,4 (B)-2,0,4(C)-2,0,2,4 (D)-4,-2,0,4 【 】(7)如果直線 y=ax2與直線y=3xb關(guān)于直線yx 對(duì)稱,那么(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 【 】(A)圓(C)雙

23、曲線的一支(B)橢圓(D)拋物線 【 】(2,3)(2,3) (D)(x,y)y=x+1 【 】26【 】(11)如圖 , 正三棱錐 S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等 , 如果 E、F分別為SC 、AB的中點(diǎn),那么異面直線 EF與SA所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)30 【 】(12)已知h0.設(shè)命題甲為 :兩個(gè)實(shí)數(shù) a,b滿足ab2h;命題乙為 : 兩個(gè)實(shí)數(shù) a,b 滿足a1h且 b-1h.那么甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件甲是乙的充分條件甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件 【 】(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如

24、果B必須站在 A的右邊（A,B可以不相鄰） ,那么不同的排法共 有(A)24種 (B)60種 (C)90種 (D)120種 【 】(14)以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有(A)70個(gè) (B)64個(gè) (C)58個(gè) (D)52個(gè)【 】(15)設(shè)函數(shù)y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個(gè)單位所得到的圖象為C.又設(shè)圖象C與C關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱,那么C所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2) 【 】二、填空題 :把答案填在題中橫線上 .(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5

25、的展開式中,x2的系數(shù)等于 .已 知 an 是 公 差 不 為 零 的 等 差 數(shù) 列 , 如 果 Sn 是 an 的 前 n 項(xiàng) 的 和 , 那函數(shù) y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2.三、解答題 .727(21)有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 ,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, 并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是 16, 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).(23)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分別交AC、

26、SC于D、E. 又SAAB,SBBC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).(24)設(shè)a0,在復(fù)數(shù)集C中解方程z2+2za.n2.()如果f(x)當(dāng)x(-,1時(shí)有意義,求a的取值范圍; ()如果a(0,1,證明2f(x)0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于(A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【 】(A)(0,0),(6,) (B)(-3,0),(3,0)(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0) 【 】(9)從 4臺(tái)甲型和 5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出 3 臺(tái) ,其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各 1臺(tái),則不同的 取法共有(A)140

27、種 (B)84種 (C)70種 (D)35種 【 】(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【 】(11)設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題 .如果甲是乙的必要條件 ;丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件 ,那 么丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件丙是甲的充要條件丙不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件 【 】(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【 】(13)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值為5,那么f(x)在區(qū)間-7,-3上是(A)增函數(shù)且最小值為5 (B)增函數(shù)且最大值為5(C)減函數(shù)且最小值為5 (D)減函數(shù)且最大值為5

28、【 】(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) 【 】(15) 設(shè)全集為 R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M=x f(x) 0,N=x g(x) 0, 那么集合 x f(x)g(x)=0 等 于【 】二、填空題 :把答案填在題中橫線上 .已知正三棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為2,下底面邊長(zhǎng)為4,且側(cè)棱與底面所成的角是 45,那么這個(gè)正三棱臺(tái)的體積等于 .在(ax+1)7的展開式中,x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x 4的系數(shù)的等差中項(xiàng),若實(shí)數(shù)29a1,那么a= .(20)在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C,如果PA、PB、PC 兩兩互相垂直,且PAPBPCa.那么這個(gè) 球面的面積是 .三、解答題 .(

29、21)求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值,并寫出使函數(shù)y取最小值的x 的集合.(23)已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),GC垂直于ABCD所在的平面, 且GC 2.求點(diǎn)B到平面EFG 的距離.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明函數(shù)f(x)=-x3+1在(-,+)上 是減函數(shù).已知n為自然數(shù),實(shí)數(shù)a1,解關(guān)于x的不等式1992年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)一、選擇題 :在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .把所選項(xiàng)前的字母填在題后 的括號(hào)內(nèi) .【 】(2)如果函數(shù) y=sin( x)cos( x)的最小正周期是4 ,那么常數(shù) 為【 】(3

30、)極坐標(biāo)方程分別是 =cos 和 =sin 的兩個(gè)圓的圓心距是【 】(4)方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一個(gè)解是(A)10. (B)20. (C)50. (D)70 【 】30(5)已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等,則圓柱的全面積與球的表面積的比是 (A)6:5. (B)5:4. (C)4:3. (D)3:2 【 】個(gè)值,則相應(yīng)于曲線c1、c2、c3、c4的n依次為【 】(7)若loga2logb20,則 (A)0ab1 (B)0bab1 (D)ba1 【 】(A)20. (B)70. (C)110. (D)160 【 】(9)在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中,直角三角形最多

31、可有(A)1個(gè). (B)2 個(gè). (C)3個(gè). (D)4個(gè). 【 】(10)圓心在拋物線y2=2x上,且與x 軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是【 】(11)在(x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù)為(A)160. (B)240. (C)360. (D)800. 【 】(12)若0a0),那么l2的方程是(A)bx+ay+c=0. (B)ax-by+c=0.(C)bx+ay-c=0. (D)bx-ay+c=0. 【 】(14)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1 B1C1D1中,M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn),那么直線AM 與CN所 成角的余弦值是【 】31(15)已知復(fù)數(shù)z的模為2,則

32、z-i的最大值為【 】是奇函數(shù),它在(0,+ )上是減函數(shù).是偶函數(shù),它在(0,+)上是減函數(shù).是奇函數(shù),它在(0,+)上是增函數(shù).是偶函數(shù),它在(0,+ )上是增函數(shù). 【 】(17)如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t), 那么(A)f(2)f(1)f(4). (B)f(1)f(2)f(4).(C)f(2)f(4)f(1). (D)f(4)f(2)0,S130. ()求公差d的取值范圍.()指出S1,S2,S12中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由.1993年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)一、選擇題 :在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .把所選項(xiàng)前的字母填在

33、題后括 號(hào)內(nèi) .(1)如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2,焦距為6,那么該雙曲線的離心率為【 】【 】(A)45 (B)60 (C)90 (D)120 【 】(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 【 】 (5)直線bx+ay=ab(a0,bb,則【 】(11)已知集合E= cos sin ,0 2 ,F= tg sin ,那么EF為區(qū)間【 】(12)一動(dòng)圓與兩圓:x2+y2=1和x2+y2 -8x+12=0都外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡為 (A)拋物線 (B)圓(C)雙曲線的一支 (D)橢圓 【 】(A)三棱錐 (B)四棱錐(C)五棱錐 (D)六棱錐 【 】(14)如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,那么圓柱

34、體積的最大值是【 】(A)50項(xiàng) (B)17項(xiàng)(C)16項(xiàng) (D)15項(xiàng) 【 】(16)設(shè)a,b,c都是正數(shù),且3a=4b=6c,那么【 】(17)同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來(lái) ,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡 ,則四張賀年卡不 同的分配方式有34(A)6種 (B)9種 (C)11種 (D)23種 【 】(18)已知異面直線a與b所成的角為50,P為空間一定點(diǎn), 則過(guò)點(diǎn)P且與a,b所成的角都是30 的直線有 且僅有(A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條 【 】二、填空題 :把答案填在題中橫線上 .(20)在半徑為30m的圓形廣場(chǎng)中央上空 , 設(shè)置一個(gè)照明光源 ,射向地面的光呈

35、圓錐形 ,且其軸截面頂角 為120.若要光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng),則其高度應(yīng)為m(精確到0.1m).(21)在50件產(chǎn)品中有4件是次品,從中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共 種(用數(shù)字作答). (22)建造一個(gè)容積為 8m 3,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池 . 如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為 120 元 和80元,那么水池的最低總造價(jià)為 元.(23)設(shè)f(x)=4x-2x+1,則f-1(0)= .三、解答題 :解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟 .(26)如圖,A1B1C1-ABC是直三棱柱,過(guò)點(diǎn)A1、B、C1的平面和平面ABC的交線記作l.()判定直線A1C1和l的位置關(guān)系,并加以證明;()若A

36、1A=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求頂點(diǎn)到直線l的距離.出以M,N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程.(29)已知關(guān)于x 的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 , .證明: ()如果 2, 2,那么2 4+b且b4;()如果2 4+b且b4,那么 2, 1，且前n項(xiàng)和S 滿足n 1 nlim S nn 1a1，那么a 的取值范圍是 140210A(1,+) B(1,4) C(1,2) D(1, )x 2 y 2 116、設(shè)圓過(guò)雙曲線 9 16 的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的 距離是 _。17、( x 2) 10 ( x 2 1)的展開式中x 的系數(shù)為_

37、（用數(shù)字作答）。18、如圖，在直四棱柱 A B C D ABCD 中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?ABCD 滿足條件_時(shí)，有A CB D 。1 1 1 1 1 1 1（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形。）f ( x ) 4sin(2 x )( x R )19、關(guān)于函數(shù) 3 ，有下列命題：由f(x )=f(x )=0可得x -x 必是的整數(shù)倍；1 2 1 2y f ( x )的表達(dá)式可改寫為y 4 cos(2 x )6；y f ( x )的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)6對(duì)稱；y f ( x )的圖象關(guān)于直線 x 對(duì)稱。6其中正確的命題的序號(hào)是 。（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上。） 20、

38、（本小題滿分10分）在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，設(shè)a c 2b , A C 3。求sinB的值。以下公式供解題時(shí)參考： sin sin 2 sin cos ,sin sin 2 cos sin2 2 2 2 cos cos 2 cos cos , cos cos 2sin sin2 2 2 24117321、（本小題滿分11分）如圖，直線 l 和l 相交于點(diǎn) M，l l ，點(diǎn) Nl 。以 A ，B為端點(diǎn)的曲線段 C上的任一點(diǎn)到 l 的距離與 1 2 1 2 1 2到點(diǎn)N的距離相等，若AMN為銳角三角形， |AM|= ，|AN|=3且|BN|=6。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 求曲線段

39、C的方程。22、（本小題滿分12分）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為 2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從 A 孔流入， 經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b 的乘積ab成反比。現(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的 質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）。23、（本小題滿分12分）已知斜三棱柱ABC A B C 的側(cè)面A ACC 與底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=2 ，且AA1 1 1 1 1 1A C，AA =A C。1 1 1（）求側(cè)棱A A與底面ABC所成角的大??；1（）求側(cè)

40、面A ABB 與底面ABC所成二面角1 1的大??；（）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A ABB 的距離。1 124、（本小題滿分12分）423設(shè)曲線C的方程是y=x -x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C 。1（）寫出曲線C 的方程；1（）證明曲線C與C 關(guān)于點(diǎn)1t sA( , )2 2對(duì)稱；（）如果曲線C與C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明1t 3s t4且t0。25、（本小題滿分12分）已知數(shù)列b 是等差數(shù)列，b =1,b +b +b =145。 n 1 1 2 10（）求數(shù)列b 的通項(xiàng)b ；n n（）設(shè)數(shù)列b 的通項(xiàng)na log (1 n a1bn)（其中a0，且a1），記S 是數(shù)列a

41、 的前n nn項(xiàng)和。試比較S 與n13log ban 1的大小，并證明你的結(jié)論。1999 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試一選擇題：本大題共 14 小題；第（1）（ 10）題每小題 4 分，第（11）（ 14）題每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （1） 如圖，I 是全集，M、P 、S 是 I3 個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（MP）S（MP）S（MP） S（MP） S（2） 已知映射 f ： A B ，其中，集合 A 3,2,1,1,2,3,4 ,集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且對(duì)任意的 a A, 在 B 中和它對(duì)應(yīng)的元

42、素是 a ，則集合 B 中元素的個(gè)數(shù)是（A）4（B）5（C）6（D）7（3）若函數(shù) y f x的反函數(shù)是y g x,fab,ab0，則 g b等于（A） a（B） a1（C） b（D） b143 4（A） , （B） ,0（C） 0,（D） , N （ 4 ）函數(shù) f xMsinx0在區(qū)間a,b上是增函數(shù)，且 g xMcosx在a,b上（A）是增函數(shù) （B）是減函數(shù)f xM,fbM,則函數(shù)（C）可以取得最大值 M（D）可以取得最小值 M（5）若 f xsinx是周期為 的奇函數(shù)，則 f x可以是（A） sin x（B） cos x（C） sin 2 x（D） cos 2 x（6）在極坐標(biāo)系中，

43、曲線 4 sin 3 關(guān)于（A）直線 5軸對(duì)稱 （B）直線 軸對(duì)稱 3 6（C）點(diǎn) 2, 3 中心對(duì)稱 （D）極點(diǎn)中心對(duì)稱（7）若干毫升水倒入底面半徑為 2cm 的圓柱形器皿中，量得水面的高度為 6cm ， 若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（A） 6 3cm（B） 6cm（C） 2 3 18cm（D） 33 12cm（8）若 2x3 a a x a x 2 a x 3 , 則 aa a0 1 2 3 0 242aa21 3的值為（A）1（B） 1（C）0（D）2（9）直線 3 x y 2 3 0 截圓 x2 y24 得的劣弧所對(duì)的圓心角為 （C） （D）6 4 3

44、 2（10）如圖，在多面體 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 3 的正方形，EFAB，EF 與面 AC 的距離為 2，則該多面體的體積為9 15（A） （B）5 （C）6 （D）2 232，EF（11）若 sin tg ctg ,則 2 2 2 4 4 4 4 2 （12）如果圓臺(tái)的上底面半徑為 5，下底面半徑為 R，中截面把圓臺(tái)分為上、 下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積的比為 1：2，那么 R=（A）10 （B）15 （C）20 （D）25（13）已知兩點(diǎn) M1,54 4, 54,給出下列曲線方程： 44111 4 x 2 y 1 0 x 2 y 2 3x 2 x 2 y 2 1 2 2

45、y 2 1在曲線上存在點(diǎn) P 滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（A） （B） （C） （D）（14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò) 500 元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為 60 元、70 元 的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買 3 片，磁盤至少買 2 盒， 則不同的選購(gòu)方式共有（A）5 種 （B）6 種 （C）7 種 （D）8 種二填空題：本大題共 4 小題；每小題 4 分，共 16 分，把答案填在題中橫線上。（15）設(shè)橢圓x 2 y 2 1 a b 0 的右焦點(diǎn)為 F ，右準(zhǔn)線為 l ，若過(guò) F 且垂 a 2 b 2直于 x 軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn) F 到 l 的距離，則橢圓的率心率是_。1 1在一

46、塊并排 10 龔的田地中，選擇 2 龔分別種植 A、B 兩種作物，每種 作物種植一龔，為有利于作物生長(zhǎng)，要求 A、B 兩種作物的間隔不小于 6 龔，則不同的選龔方法共有_種（用數(shù)學(xué)作答）。若正數(shù) a 、 b 滿足 ab a b 3, 則 ab 的取值范圍是_。、 是兩個(gè)不同的平面， m 、 n 是平面 及 之外的兩條不同直線， 給出四個(gè)論斷： m n n m 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一 個(gè)命題：_。三、解答題：本大題共 6 小題；共 74 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或 演算步驟。（19）（本小題滿分 10 分）3log x 2 2log x 1a0,

47、a 1.a a解不等式（20）（本小題滿分 12 分）設(shè)復(fù)數(shù) z 3cosi 2 sin.求函數(shù) y arg z0 2的最大值以及對(duì)應(yīng)的 值。（21）（本小題滿分 12 分）45如圖，已知正四棱柱 ABCD A B C D ，點(diǎn) E 在棱 D D 上，截面 EAC D B ，且面 EAC 與底面1 1 1 1 1 1ABCD 所成的角為 45, AB a.求截面 EAC 的面積；求異面直線 A B 與 AC 之間的距離；1 1（III） 求三棱錐 B EAC 的體積。1（22）（本小題滿分 12 分）右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥 逐步減薄后輸出

48、。（I） 輸入帶鋼的厚度為 ，輸出帶鋼的厚度為 ，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò) r 。問(wèn)冷軋機(jī)0至少需要安裝多少對(duì)軋錕？（一對(duì)軋輥減薄率 輸入該對(duì)的帶鋼厚度 從該對(duì)輸出的帶鋼厚度輸入該對(duì)的帶鋼厚度）（II） 已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有 4 對(duì)減薄率為 20%的軋錕，所有軋輥周長(zhǎng)均為 1600 mm . 若第 k 對(duì)軋錕有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上， 庇點(diǎn)的間距為 L . 為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算 L 、 L 、 L 并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，k 1 2 3且不考慮損耗）。軋錕序號(hào) k 疵點(diǎn)間距 L （單位： mm ）k（23）（本小題滿分 14 分）1 2 3 41

49、600已知函數(shù) y f x的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng) n y n 1n0,1,2, 時(shí)，該圖象46是斜率為 b n的線段（其中正常數(shù) b 1 ），設(shè)數(shù)列 x 由 f xnnnn1,2,定義。（I） 求 x 、 x 和 x 的表達(dá)式；1 2 n求 f x的表達(dá)式，并寫出其定義域；證明： y f x的圖象與y x 的圖象沒有橫坐標(biāo)大于 1 的交點(diǎn)。（24）（本小題滿分 14 分）如圖，給出定點(diǎn) Aa,0a0和直線l:x1.B 是直線 l 上的動(dòng)點(diǎn)，BOA 的角平分線交 AB 于點(diǎn) C 。 求點(diǎn) C 的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與 a 值的1978年試題答案（一）1.解:原式=(x2-

50、4xy+4y2)-4z2 =(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:設(shè)直圓柱體的底面半徑為r.則底面周長(zhǎng)2r=a.3.解:lg(2+x)0,2+x1. x-1為所求的定義域.47（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正確的分析,不要求寫法和本題解完全一致.）（三）證明:1)連CA、CB,則ACB=90.ACM=ABC（弦切角等于同弧上的圓周角）, ACD=ABC（同角的余角相等）, ACM=ACD. ACMADC. CM=CD.48同理 CN=CD. CD=CM=CN. 2) CDAB,ACB=90, CD2=ADDB（比例中項(xiàng)定理）. 由1),可知 AM=A

51、D,BN=BD, CD2=AMBN.（四）解法一:log189=a,18a=9. 又 18b=5, 45=95=18a18b=18a+b, 設(shè) log3645=x,則36x=45=18a+b, log1836x=log1818a+b但 36=218=49, log18(218)=log18(229).即 1+log182=2log182+log189=2log182+a. log182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180,又 2B=A+C. 3B=180,B=60,A+C=120.49以下同證法一.（七）解:(1)用配方法得50此 即 各 拋 物 線 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 所 滿

52、 足 的 方 程 . 它 的 圖 形 是 一 條 直 線 , 方 程 中 不當(dāng)m=-1、0、1時(shí),x,y之間的函數(shù)關(guān)系為分別作出它們的圖象P1、P2、P3. 它們的頂點(diǎn)都在直線l1上.(3)設(shè)l:x-y=a為任一條平行于l1的直線.與拋物線y=x2+(2m-1)x+m2-1方程聯(lián)立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0. (x+m)2=1-a.因而當(dāng)1-a0即a1時(shí),直線l與拋物線相交,而1-a1時(shí),直線l與拋物線不相交.51即直線l與拋物線兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為因直線l的斜率為1,它的傾斜角為45. 直線l被拋物線截出的線段等于而這與m無(wú)關(guān).因此直線l被各拋物線截出的線段都相等. _1979

53、年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)答案1.證法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-22y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0, z+x-2y=0即 z-y=y-x,所以,x,y,z成等差數(shù)列,證法二：令x-y=a,y-z=b,則 x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0. a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差數(shù)列.3.解:52甲乙共含純酒精甲乙共含水混合后,純酒精與水之比為m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1):n1v1(m2

54、+n2)+n2v2(m1+n1). 4.解:略.(參考一般教科書)5.解:自P 向直線AB作垂線PC,垂足為C.設(shè)PC=d.在直角三角形PAC中,AC=dctg .在直角三角形PBC中,BC=dctg . S=AC+BC=d(ctg +ctg ).當(dāng) dD,即時(shí),應(yīng)向外國(guó)船發(fā)出警告.6.證法一:設(shè)VA=a,VB=b,VC=c, AB=p,BC=q,CA=r.于是 p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2. 由余弦定理,所以CAB為銳角.同理,ABC,BCA也是銳角.53證法二:作VDBC,D為垂足,因VA垂直于平面VBC,所以 VABC又 BCVD,所以BC垂直于平面VAD,從而B

55、CAD即在ABC中,A在BC邊上的垂足D介于B和C之間, 因此,B和C都是銳角.同理可證A也是銳角.7.解:年增長(zhǎng)率x應(yīng)滿足 100(1+x)40=500, 即 (1+x)40=5, 取自然對(duì)數(shù)有 40ln(1+x)=ln5.答：每年約增長(zhǎng)百分之四.8.證法一:連結(jié)CD.因CFD=90,所以CD為圓O的直徑.由于AB切圓O于D, CDAB.又在直角三角形ABC中,ACB=90, AC2=ADAB,BC2=BDBA.54證法二:由BDFABC,得9.解法一:這個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)(任意項(xiàng))為所以這個(gè)數(shù)列是遞減等差列,且其首項(xiàng)為2.要前k項(xiàng)的和最大,必須前k項(xiàng)都是正數(shù)或0,而從第k+1項(xiàng)起以后都是負(fù) 數(shù)

56、.因此,k應(yīng)適合下列條件:解此不等式組:由(1)得 k14.2由(2)得 k13.2因k是自然數(shù),所以k=14,即數(shù)列前14項(xiàng)的和最大. 取 k=14. 前14項(xiàng)的和解法二:這數(shù)列的第k項(xiàng)(任意項(xiàng))為55時(shí),S有最大值.因k表示項(xiàng)數(shù),是自然數(shù),在此,=2-1.95650,由此可知這數(shù)列的前14項(xiàng)都是正數(shù),從第15項(xiàng)起以后各項(xiàng)都是負(fù)數(shù). 所以應(yīng)取k=14,即數(shù)列前14項(xiàng)的和為最大,其值為10.解法一:(1)設(shè)坐標(biāo)系如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).由題設(shè)x0. 直線OA的方程為y=xtg ,直線OB的方程為y=-xtg ,直線AB的方程為 x=h.又因?yàn)镻點(diǎn)在AOB內(nèi),于是由條件PDPF=PE2得5

57、6x2sin2 -y2cos2 =(h-x)2, (1) 即 x2cos2 -2hx+y2cos2 +h2=0. 除以 cos2 (0)得(2)由條件PD+PE=PF得 xsin -ycos +h-x=xsin +ycos , 即 x+2ycos =h. ()由(1),()得x2sin2 -y2cos2 =4y2cos2 5y2cos2 =x2sin2 ,由 PD+PEPF可知y0,所以這里右端取正號(hào).代入()得57解法二:設(shè)OP與正x軸的夾角為 ,則PD=OPsin( - )=OP(sin cos -cos sin ) =xsin -ycos ,PF=OPsin( + )=OPsin cos

58、 +cos sin =xsin +ycos .以下與上面的解法一相同。1980年試題 (理工農(nóng)醫(yī)類)1980年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)答案二、證明:設(shè)O1、O2、O3的半徑分別為1、2、3. 因這三個(gè)圓兩兩外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,58根據(jù)勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3為直角三角形.三、證明:取ABC最長(zhǎng)的一邊BC所在的直線為x軸,經(jīng)過(guò)A的高線為y軸,設(shè)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(0,a)、B(b,0)、 C(c,0),根據(jù)所選坐標(biāo)系,如圖,有a0,b0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.b-c0,x=0.這就是說(shuō),高線CE、BD的

59、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,即交點(diǎn)在高線AO上. 因此,三條高線交于一點(diǎn).四、證法一:令logbN=x,根據(jù)對(duì)數(shù)定義, bx=N.兩端取以a為底的對(duì)數(shù), logabx=logaN,xlogab=logaN. b1,logab0,證法二:令logbN=x,根據(jù)對(duì)數(shù)定義, N=bx=(alogab)x=axlogab, xlogab=logaN.59 b1,logab0,五、證明:用反證法.假如平面N與平面M平行,則PA也垂直于N,因此PA與PB重合,B點(diǎn)與A點(diǎn)重合,但這與題設(shè)矛盾, 所以平面N與平面M相交.設(shè)平面N與平面M的交線為l.PA平面M,PAl.又PB平面N,PBl.l平面PAB,lAB.六、解:

60、(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一個(gè)周期中都恰好有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m.而任意兩個(gè)整數(shù)間的距離都1.因此要使任意兩個(gè)整數(shù)間函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m,必須且只須 使f(x)的周期1.可見,k=32就是這樣的最小正整數(shù). 七、解法一:設(shè)CD=h,AB=c,BD=x, 則 AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,取負(fù)號(hào)不合題意,60又依直角三角形的性質(zhì),有 AC2=ADAB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由題設(shè)有(CDBD)2=(CDAD)(CDAB), BD2=ADAB.但 AC2=ADAB,BD=AC.兩端乘以正數(shù)s