二次函數(shù)與三角形

1、 第11講二次函數(shù)與三角形、四邊形及其面積問題一、知識梳理：拋物線與幾何問題，往往以計算為主線，側(cè)重決策問題，或綜合各種幾何知識命題，近年全國各地中考試卷中占有相當?shù)姆至俊＿@類問題的主要特點是包含知識點多、覆蓋面廣、邏輯關系復雜、解法靈活?？疾榉绞狡赜诳疾閷W生分析問題、探究問題、綜合應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，要求學生熟練掌握三角形、四邊形、三角函數(shù)、圓等幾何知識，較熟練地應用轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等常見的數(shù)學思想。解題時必須在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設的基礎上挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關系和位置關系，在復雜的“背景”下辨認、分解基本圖形，或通過添加輔助線補全或構(gòu)

2、造基本圖形，并善于聯(lián)想所學知識，突破思維障礙，合理運用方程等各種數(shù)學思想才能解決。解拋物線與幾何的綜合題，應善于運用坐標，線段長度，拋物線解析式三者關系，充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動，把證明與計算相結(jié)合是解題的關鍵。二、精典題型剖析考點1、二次函數(shù)與等腰三角形例1、(2012揚州)已知拋物線y=ax2bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸求拋物線的函數(shù)關系式；設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由變式訓練.(2012杭州

3、)已知拋物線y=k(x+1)&-學)與x軸交于點A，B，與y軸交于點C,則能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是()A.2B.3C.4D.5考點2、二次函數(shù)與直角三角形例2(2.2012菏澤)如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A(0，1),B(2,0),O(0,0),將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到ABO.一拋物線經(jīng)過點A、B，、B,求該拋物線的解析式；設點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P,使四邊形PBAB的面積是厶ABO面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由.在(2)的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PBAB考點

4、3、二次函數(shù)與平行四邊形5例3、(2012成都)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y二厶x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸交于點A(-3,0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，且aH0)經(jīng)過A,C兩點，與x軸的正半軸交于點B.求m的值及拋物線的函數(shù)表達式；設E是y軸右側(cè)拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸MP-MP不平

5、行的直線交拋物線于M(x,y),M(x,y)兩點，試探究r是否為定1112224MM值,并寫出探究過程.解答：解：(1)尸號x+ir經(jīng)過點(-3,0),0=-+m,解得m=1j,直線解析式為尸舟,C(0,學).T拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1,且與x軸交于A(-3,0),另一交點為B(5,0),設拋物線解析式為y=a(x+3)(x-5),拋物線經(jīng)過C(0,普)，=a3(-5),解得a=一,拋物線解析式為y=-百(2)假設存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則ACEF且AC=EF.如答圖1,(i)當點E在點E位置時，過點E作EG丄x軸于點G,ACEF,/.ZCAO=

6、ZEFG,fZC0A=ZE0F=90o）AC=EFCAO竺EFG,EG=CO|,即yE=，151，4=fE；2+xEd|,解得xE=2（xE=0與C點重合，舍去）,E（2,普）,SuacefW|；(ii)當點E在點E，位置時，過點E作EGUx軸于點G同理可求得E(+1,),Smcee=M(3)要使ACP的周長最小,只需AP+CP最小即可.如答圖2,連接BC交x=1于P點，因為點A、B關于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點之間線段最短，可知此時AP+CP最小（AP+CP最小值為線段BC的長度）.b（5,0）,c（0,普），直線bc解析式為y=一再,xp=1,yp=3，即P（1,3）.令經(jīng)過點P（

7、1,3）的直線為y=kx+3-k,y=kx+3-k,y=x2Jx+:,聯(lián)立化簡得：x2+(4k-2)x-4k-3=0,x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,y1-y2=k(x1-x2)根據(jù)兩點間距離公式得到：Ml+k(S1-:M1M2=/1+k2*;(2-4k)2_4(-4k-3)=4(1+k2)又M1P=：(X-1)+(y_3)(X-1)+(kx+3-k-3)2=同理M2P=J=(1+k2)=4(1+k2)./.m1pm2p=m1m2,=1為定值v=1普越考點4、二次函數(shù)與矩形、菱形例4、(2012煙臺)如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABC

8、D的三個頂點B(1,0),C(3,0)，D(3,4).以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C.動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動.同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動.點P,Q的運動速度均為每秒1個單位運動時間為t秒過點P作PEYAB交AC于點E.直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；過點E作EFAD于F,交拋物線于點G,當t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？(3)在動點P,Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點H,使以C,Q,E,H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值.OBC解：(1)A(1,4)由題意知，可設拋物線解析式為y=a(x-

9、1)2+4拋物線過點C(3,0),0=a(3-1)2+4,解得,a=-1,拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3(2)(1,4),C(3,0),可求直線AC的解析式為y=-2x+6.點P(1,4-t).(3分)將y=4-t代入y=-2x+6中，解得點E的橫坐標為x=1+t2點G的橫坐標為1+t2,代入拋物線的解析式中，可求點G的縱坐標為4-啊4GE=(4-內(nèi))-(4-t)=t-tB4又點A到GE的距離為t2,C到GE的距離為2-t2即SAACG=SAAEG+SACEG=12EGt2+12EG(2-t2)=122(t-t4)=-14(t-2)2+1當t=2時，SACG的最

10、大值為1(3)第一種情況如圖1所示，點H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t,根據(jù)APEsABC,知APAB=AEAC即t4=2根號5-t2根號5,解得，t=20-8根號5第二種情況如圖2所示，點H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=12t，EM=2-12t，MQ=4-2t則在直角三角形EMQ中，根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2-12t)2+(4-2t)2=t2解得，t1=2013,t2=4(不合題意，舍去).綜上所述，t=20-8根號5或t=2013考點5、二次函數(shù)與相似三角形例5(2012銅仁)如圖，已知：直線y二-x+3交x軸于點A,交y軸

11、于點，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C(1，0)三點.求拋物線的解析式;若點D的坐標為(-1,0),在直線y二-x+3上有一點F,使AABO與AADP相似，求出點P的坐標；在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E,使AADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由.v=x-4x3(1)(2)(1,2)(3)不存在，理由見解析【解析】【解析】(1)：由題意得，A(3，0)，B(0，3)v=axbx拋物線經(jīng)過A、B、C三點，.把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三點分別代入-得方程組+c=0行=3a+b+c=07=1“b=4c=3

12、解得：-拋物線的解析式為4x-3(2)由題意可得：AABO為等腰三角形，如圖所示,DP1=AD=4,PP1若ABOsAADP2，過點P2作P2M丄x軸于M,AD=4,ABO為等腰三角形，.ADP2是等腰三角形，由三線合一可得：DM=AM=2=P2M，即點M與點C重合.P2(1,2)(x.v)(3)如圖設點E-，則當P1(-1,4)時,=S三角形ACE四邊形AP1CE三角形ACP1+SV-1點E在x軸下方小、如-4x3=-4BnX14.v+7=0代入得：，即.=(-4)2-4x7=-12V0此方程無解當P2(1,2)時，S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE點E在x軸下方匚代入得：

13、P4一3=-2解：(1)由題意，得=0:1-二，解得,b=-1,1ly1*aIO11FxV=X2x+斗所以拋物線的解析式為：，頂點D的坐標為(-1,)；(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M,因為EF垂直平分BC,即C關于直線EG的對稱點為B,連結(jié)BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH+CH最小，即最小為DH+CH=DH+HB=BD=亠聞n即,.=(-4)2-4X5=-4V0此方程無解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E考點6、二次函數(shù)與面積問題例6、(1)(四川綿陽)如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A(4，0)、B(2,0),與y軸交于點C,頂點為D.E

14、(1,2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點D的坐標；在直線EF上求一點H,使ACDH的周長最小，并求出最小方若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，EFK的面積最大？并求出最大面積.而75-3J13.CDH的周長最小值為CD+DR+CH=%=掲=_，加=3設直線BD的解析式為y=k1x+b，則2,解得2侶-2x-3所以直線BD的解析式為,BC由于BC=2朮，CE=：=疋RUCEGmCOB,得CE:CO=CG:CB,所以CG=25,GO=15,G(0,15),同理可求得直線EF的解析式為,巴12)聯(lián)立直線BD與EF的方程

15、，解得使aCDH的周長最小的點H-r-f+4(3)設K(t,xFtxE,過K作x軸的垂線交EF于N,則KN=yK-yN=132929所以SaEFK=SaKFN+SaKNE=KN(t+3)+KN(1-t)=2KN=-t2-3t+5=-(t+)2+,329335即當t=-時,aEFK的面積最大，最大面積為，此時K(-,)(2)(2009濟南)已知：如圖3，拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的對稱軸為x=-1，與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,其中A(-3,0)、C(0,-2).(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式(2)若點D是線段OC上的一個動點過點D作DEPC交x軸于點E設CD的長為m，PDE的

16、面積為S.求S與m之間的函數(shù)關系式.試探討S是否存在最大值，說明理由解：1）由題意得丄-12a9a一3b+c=0jC=2解得2a=3b=4c二此拋物線的解析式為y=3X2+3x-2（2）連結(jié)AC、BC.因為BC的長度一定，所以PBC周長最小，就是使PC+PB最小.B點關于對稱軸的對稱點是A點,AC與對稱軸x=-l的交點即為所求的點P.設直線AC的表達式為y=kx+bk=-23b=-22此直線的表達式為y=3x-25分4把x=1代入得y=-4P點的坐標為（一1,3）6分解法（二）連結(jié)AC、BC.因為BC的長度一定，所以APBC周長最小，就是使PC+PB最小.分 B點關于對稱軸的對稱點是A點，AC

17、與對稱軸x=-l的交點即為所求的點P.設對稱軸x=-l與x軸的交點為F,由題意知OC=2,OA=3,OF=1,PFODNAPF=NACO,ZAPF=ZAOCAAPFsAACO分._pF=蘭即亞=31OCOA2=3.PF=434.P點的坐標為(一1,一3)6分3)S存在最大值7分解法(一)：DEPC即DEAC.AOEDsAOAC.ODOE2-mOE=即=OCOA2333.OE=3-m,AE=3-OE=小m22方法一：連結(jié)OPS=S-S=S+S-S四邊形PDOEOEDPOEPODOED13411=2x(3-2m)X3+-X(2-m)x1-x(3-m)x(2-m)334m2+-m8.當m=1時,S最大=-3vo方法二：S=S-SOACOEDS-SAEPPCD3(3-m)x2-m)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 333m2+m=(m一1)2