數(shù)學建模變分法課件

1、. 常見的數(shù)學建模方法 - 變分法 實際問題：生產(chǎn)計劃的制定問題 工廠與客戶簽訂了一項在某時刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同， 在制定生產(chǎn)計劃時要考慮生產(chǎn)和儲存兩種費用。生產(chǎn)費用取決于 生產(chǎn)率（單位時間的產(chǎn)品數(shù)），生產(chǎn)率越高，費用越大；儲存費 用取決于已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品數(shù)，數(shù)量越多，費用越大。 生產(chǎn)計劃可以看作到每一時刻為止的產(chǎn)品累積量，它與每單位 時間的產(chǎn)量可以互相推算。（ 教材 p.224 - p.227 ）建模目的（優(yōu)化目標）：尋求最優(yōu)的生產(chǎn)計劃，使完成合同所需的 總費用（生產(chǎn)費用和儲存費用之和）最小。 建模假設：開始生產(chǎn)時刻記為 t = 0 ，按照合同應在 t = T 提交數(shù)量為 Q 的產(chǎn)品。

2、從開始生產(chǎn)時刻到任何時刻 t 為止的 產(chǎn)品累積數(shù)，應是這一時刻 t 的函數(shù)，記作 x ( t ) ，這個 函數(shù)即為所欲求出的生產(chǎn)計劃。時刻 t 的生產(chǎn)率（單位時間的 產(chǎn)品數(shù)）可以表示為 x( t ) 。 一般而言，單位時間的生產(chǎn)費用應是生產(chǎn)率的函數(shù)，可以記作f ( x( t ) )； 而單位時間的儲存費用是產(chǎn)品累積數(shù)的函數(shù)，可以記為 g(x(t)。 于是從 t = 0 到 t = T 的總費用是：(2) 單位時間的儲存費與這時的產(chǎn)品儲存量( 即產(chǎn)品累積量 )成正比 . 為了明確 f 和 g 的具體函數(shù)形式, 作如下 進一步簡化的建模假設： (1) 單位時間的生產(chǎn)費用與這時的生產(chǎn)率的平方成正比；

3、 建模過程： 由假設（1），可以有： f ( x( t ) ) = k1 ( x( t ) ) 2 . 由假設（2），可以有: g ( x ( t ) ) = k2 x ( t ) . 因此可以有 于是，制定最優(yōu)生產(chǎn)計劃問題歸結(jié)為在固定端點條件 x（0）= 0 和 x（T） = Q 下，確定 x ( t ) 是何種具體的非負函數(shù)、使泛函 C ( x ( t ) ) 取得極小值的問題。 J = J ( x ( t ) ) , x ( t ) S . S 稱為 J 的容許函數(shù)集。泛函的概念 設 S 為一個函數(shù)集合，若對每一個函數(shù) x ( t ) S , 根據(jù)一個確 定的對應規(guī)律，有一個實數(shù) J 與

4、之對應，則稱 J = J ( x ( t ) ) 是定義在函數(shù)集合上的泛函 , 記 設 S1 = x ( t ) x ( t ) 為全體在點 t = 0 處可導的初等函數(shù) ， J = J ( x ( t ) ) x(0) ，即算出函數(shù) x ( t ) 在 點 t = 0 處的導數(shù)值。 例如， J ( sint ) = 1 , J ( cost ) = 0 , J ( e t ) = 1 , J ( t2 - 3t + 1 ) = -3 等等。這個 J ( x ( t ) ) x(0) 就是定義在函數(shù)集合 S1 上的泛函；以前曾 “ 學過 ” 的泛函實例 這個問題已經(jīng)超出了微分學的范疇，需要用變

5、分學的知識來求解， 也就是要用變分法來建模和求解。即算出函數(shù) x ( t ) 在區(qū)間 0 ,1 上的定積分之值。等等。這個 就是定義在函數(shù)集合 S2 上的泛函；2.設 S2 = x ( t ) x ( t ) 為全體在區(qū)間 0 ,1 上可積的初等函數(shù) ，例如，3. 設 S3 = x ( t ) x ( t ) 為全體在區(qū)間 0 ，1 上連續(xù)的函數(shù) ， 定義 即算出函數(shù) x ( t ) 在區(qū)間 0 , 1 上的最大值。等等。 就是定義在函數(shù)集合 S3 上的泛函。例如 這個泛函也有何時取極值的問題，也就是說，當在一個容許函數(shù)集合 S 上定義了一個泛函 J 之后，問：這個泛函 J 在這個容許函數(shù) 集

6、合 S 上各個 “ 函數(shù) 點 ” 對應得出的值中，有無最大值（或最 小值）？如果泛函 J 的最大值（或最小值）是存在的，它在哪個 “ 函數(shù)元素點 ” x0 ( t ) 處取到最大值（或最小值）? 這個最大 值（或最小值）等于多少? 與一（多）元函數(shù)微分學中的極值理論類似 ，泛函取極值的問題可 以用變分法（不稱為微分法 ）來求解 。類似于函數(shù) 微分 是 函數(shù)增量的線性主部 的概念，泛函有一個它規(guī)定為 泛函增量的線性主部 。相應的 變分 的概念，具體而言，給定可微 （可導）函數(shù) y = f ( x ) 及點 x0 , 記 x = x - x0 ， y = f ( x ) - f ( x0 )， 則

7、 y dy ( 函數(shù)的微分) 這里 “ ” 表示等式兩邊的差 y - dy = o( x ) ,函數(shù) 微分 是 函數(shù)增量的線性主部 的概念，如記泛函自變量在 x0( t ) 處的增量為： x( t ) = x( t ) x0( t ) ,由它引起的泛函的增量記作 J = J ( x0( t ) + x( t ) ) J ( x0( t ) ) ,如果 J 可以表為： J = k ( x 0( t ) ) x( t ) + r ( x0 ( t ), x( t ) ) , 其中 r 是 x 的高階項 ，即 則稱 k( x0( t ) ) x( t ) 為泛函 J ( x( t ) ) 在 x0(

8、 t ) 處的變分， 記作J(x0 ( t ) . 指對一切 t , x( t ) - x0( t ) 0 或 maxx( t ) - x0( t ) 0. 如不特別指明 x0 ( t ) ，用變動的 x ( t ) 代替 x0 ( t ) ， 就有 J( x ( t ) . 類似一元函數(shù)微分學中的微分與導數(shù)的關聯(lián)，泛函變分的一個計算公式是在固定 x ( t ) 和 x( t ) 下，泛函在 “ 點 ” x ( t ) + a x( t ) 處可以視為參數(shù) a 的函數(shù)、在 a = 0 處對參數(shù) a 求導后的導數(shù)值：若 J ( x ( t ) ) 在 “點 ” x ( t ) 處達到極大 (或極

9、小 )值 , 則必有 在該 “點 ” 處的變分為零 的 結(jié)論：于是就有 這是因為對任意的小參數(shù) a ，總成立： 這是因為此時增量 J = J ( x( t ) + a x( t ) ) J ( x( t ) ) 所以= k( x( t ) ) （a x( t ) ）+ r ( x( t ) , a x( t ) ) 這個結(jié)論與 “函數(shù)在極值點上的微分為零 ” 的結(jié)論是十分類似的。 最簡單的一類可求極值的泛函，稱為 “最簡泛函 ” ，其形式為：對于上述最簡泛函，它在 x ( t ) 處達到極值 ( 極大或極小) 的必要條件 可以化為一個關于 F ( t , x ( t ) , x( t ) )

10、的具體表達形式。最簡泛函 在 x ( t ) 處達到極值的必要條件 - 函數(shù) x ( t ) 應滿足 “歐拉方程 ” 設泛函 在 x ( t ) 處取得極值, 其中 x ( t ) 滿足上述的區(qū)間端點條件 ： x ( t1 ) = x1 , x ( t2 ) = x 2 ， t1 , t2 , x1 , x2 為已知常數(shù)， F ( t , x , x ) 為已知解析式的三元連續(xù)可微函數(shù)。如記 ( t ) = x ( t ) 按照泛函在 x ( t ) 處達到極值(極大或極小) 必定有 的關系式 , 故有 它應滿足 ( t1 ) = ( t2 ) = 0 . 但是對右端第二項作分部積分并利用 (

11、t1) = (t2) = 0 , 得:于是就有: 因為(t) 是任意的 , 所以可以推得： 上式 (#) 稱為歐拉方程 , 它是泛函 J ( x ( t ) ) 在 x ( t ) 處取得極值 的必要條件，即 “ 極值點 ” 函數(shù) x( t ) 應滿足 歐拉方程 (#) 。通常這是一個關于 x ( t ) 的二階微分方程，為了確定出一個解函數(shù)， 在方程不退化的情況下，需要兩個定解條件，這兩個定解條件即 x ( t ) 所滿足的區(qū)間端點條件 ： .上面 “ 極值點 ” 函數(shù) x ( t ) 應滿足的 歐拉方程 (#) 也可改寫為：例. 求變分問題： 解： 這里 F ( t , x , x ) =

12、 ( x ) 2 + t x , 它的 歐拉方程 為： 可以解得： x ( t ) = t ( t2 + 11 ) / 12 . 例. 最小旋轉(zhuǎn)曲面問題 求一條定義在區(qū)間 0 ，1 上的光滑曲線 由于在區(qū)間 0 ，1 上的微元段 x ，x + dx 上, 曲線 y ( x ) 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面微元 ds 有近似式：使它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面面積 S 為最小。所以，這個問題可以表為： 變分問題： 這里 F ( x , y , y ) = 它的歐拉方程為： 同時 y ( x ) 還滿足:可以解得：這條曲線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面面積值 S0 比所有其它曲線 y(x) Y 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而

13、成的曲面面積值都要小。在 x ( t ) 應滿足的區(qū)間端點條件下, 上面微分方程的解為這就是使總費用 C ( x ( t ) ) 達到最小的生產(chǎn)計劃函數(shù)，此時 現(xiàn)在回到生產(chǎn)計劃制定的實際問題中. 這里 F( t, x ( t ) , x( t ) = k1 (x ( t )2 + k2 x( t ) Fx ( t, x( t ), x ( t ) ) = 2 k1x( t ) , 故該泛函的歐拉方程是: k2 2 k1x( t ) = 0 . Fx( t, x( t ), x ( t ) = k2 , 這個問題的泛函及區(qū)間端點條件是 : 如果生產(chǎn)計劃函數(shù)為直線，即生產(chǎn)安排是均勻的，每天生產(chǎn)數(shù)量

14、 是一樣的： 這時總費用為 ：模型分析: 可以畫出最優(yōu)生產(chǎn)函數(shù) x ( t ) 的圖像: 才是最優(yōu)生產(chǎn)計劃函數(shù).隨著參數(shù) k1 , k2 , T , Q 的不同 , 曲線可能有 S1 和 S2 兩種形狀 . 對于生產(chǎn)計劃函數(shù)應該有限制條件 x ( t ) 0 , 也就是只有當 x ( t ) 是 S1 型曲線時才有實際意義. 這個限制條件等價于說拋物線于是僅當上式成立時, 拋物線的對稱軸應位于縱軸的左側(cè)，即： 模型解釋: 對最優(yōu)生產(chǎn)計劃函數(shù)可以作一個直觀解釋. 根據(jù)它應 滿足的歐拉方程 ,上式右端括號內(nèi)的項是單位時間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個單位所需的生產(chǎn) 費用, 也就是邊際成本, 而 k2 是單位時間

15、單位數(shù)量產(chǎn)品的儲存費, 也 就是邊際儲存. 于是上式表明, 使得邊際成本的變化率等于邊際儲存 值的生產(chǎn)計劃函數(shù)是最優(yōu)的.可以推出:建模目的（優(yōu)化目標）：確定最優(yōu)的價格函數(shù) p ( t ) , 使工廠在時 段 T 中獲利最大。實際問題：最優(yōu)動態(tài)價格制定問題 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品。設工廠有權在不同的時刻 t 制定該產(chǎn)品變 動的價格 p ( t ) . 問如何制定價格函數(shù) p ( t ) ，使工廠在該時段 T 中獲利最大？模型（一）總銷售量無限制 ，在某時段 T 中完成調(diào)價至規(guī)定價格 的數(shù)學模型。C ( x ) = 0.5x2 + 2x + 40 ;(3) 開始銷售價為：p ( 0 ) = 70 ,

16、一年后預計調(diào)價為：p ( 52 ) = 100 .(2) 每周生產(chǎn)成本 C = C ( x ) 與銷售量 x 有二次函數(shù)關系：銷售量 x ( t ) 與價格 p ( t ) 及其變化率 p( t ) 有密切關系，假定根據(jù)歷年統(tǒng)計資料，可擬合為二元線性函數(shù)： x ( p , p ) = p + 100 p + 100 ;建模假設:建模過程: 因為任何時刻，利潤 L = 銷售額 R 成本 C = x p - C ，所以在時段 T = 52 ( 周 ) 中總利潤為：其中 p ( t ) 滿足邊界條件：p ( 0 ) = 70 , p ( 52 ) = 100 。 所求解的最優(yōu)問題可表示為使下列泛函達

17、到最大值的變分問題： 這個變分問題的歐拉方程為：由 p ( t ) 滿足的邊界條件：p ( 0 ) = 70 和 p ( 52 ) = 100 ，可得隨時間演變的最佳調(diào)整價格計劃函數(shù)：盡管在實際操作中不可能時時刻刻進行調(diào)價，但此模型對實際有很 大的指導意義。例如，根據(jù)以上所得結(jié)果，公司擬在一年中進行 5 次調(diào)價，時間點分別為第 10 周、第 20 周、第 30 周、第 40 周和 第 52 周，于是為了確保這一年中總利潤達到最大，各時間點上的 最佳價格分別為：p (10 ) = 74.93、p ( 20 ) = 80.08、p ( 30 ) = 85.62、 p ( 40 ) = 91.71

18、和 p ( 52 ) = 100 。 ）.（Mathematica操作指令:模型（二）在某時段 T中總銷售量有限制，調(diào)整價格無預期目標的 數(shù)學模型。建模假設: (1) 銷量 x 是價格 p 的線性函數(shù)：x = a bp , ( a , b 0) (2) 在銷售過程中，由于損耗原因，設每個產(chǎn)品的成本函數(shù) q ( t ) 的相對增長率為常數(shù) k ，開始時的成本單價為常數(shù) q 0 .建模過程: 因為任何時刻，利潤 L = 銷售額 R 成本 C = x ( p - q ) ，所求解的最優(yōu)問題可表示為在上述約束條件下，下列泛函達到最大值的變分問題： 所以在時段 T 中總利潤為：其中 p ( t ) 滿足

19、約束條件：微分學中求解條件極值問題時，需引入拉格朗日乘子 ，構造一個拉格朗日函數(shù)，對拉格朗日函數(shù)求解無條件極值問題即可。在變分學中求解條件極值問題時，也需類似引入拉格朗日乘子函數(shù) ，并構造一個哈密爾頓函數(shù)，對哈密爾頓函數(shù)求解無條件極值問題即可。本題的具體的做法是：令 這個變分問題可以化為下面的無條件變分問題：這里 F( t , p ( t ) , p( t ) = Fp( t , p( t ) , p ( t ) = Fp( t, p( t ), p ( t ) ) = 0 , 故該泛函的歐拉方程是 : 將 p ( t ) 代入約束條件積分等式 , 先解出常數(shù) :由假設，成本函數(shù) q ( t ) 的相對增長率為常數(shù) k ，得：然后就可求出最優(yōu)價格函數(shù)：實際問題：生產(chǎn)與儲存的控制問題 公司希望生產(chǎn)率和儲存量都盡量穩(wěn)定在預先設定的水平上. 如果銷售量可以準確地預測, 如何找到一個生產(chǎn)率和儲存量的最佳控制策 略? ( 教材 p.228 p.230 )。建模目的（優(yōu)化目標）： 假定單位時間銷售量