【數(shù)學(xué)】數(shù)學(xué) 平行四邊形的專項(xiàng) 培優(yōu)練習(xí)題附答案

1、一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.在四邊形ABCD中，ZF+ZD=180。，對角線AC平分么4）.（1）如圖1,若ZZMB=120,且Z3=90。，試探究邊ADAB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.（2）如圖2,若將（1）中的條件0=90。去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.（3）如圖3,若ZDAB=90,探究邊AD.4B與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.圏1S2【答案】（1）4C=AD+A3.證明見解析；（2）成立；（3）+=u.理由見解析.【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AUAD+AB,只要證明AD=-AC,AB=AC即可解決問題；22（2）（1）中的結(jié)論成立.以C為

2、頂點(diǎn)，AC為一邊作ZACE=60ZACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E,只要證明厶DAC雯BEC即可解決問題：（3）結(jié)論：AD+AB=忑AC.過點(diǎn)C作CE丄AC交AB的延長線于點(diǎn)E,只要證明ACE是等腰直角三角形，DAQBEC即可解決問題：試題解析：解：（1）AUAD+AB.理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD中，ZD+ZB=180,ZB=90,ZD=90,ZDAB=120,AC平分ZDAB,ZDAC=ZBAC=60%ZB=90,/.AB=-AC,同理AD=-AC.22.AC=AD+AB(2)(1)中的結(jié)論成立，理由如卞：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作ZACE=60%ZACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E,

3、ZBAC=60tAEC為等邊三角形，AC=AE=CE,ZD+ZABC=180,ZDAB=120,ZDCB=60,ZDCA=ZBCE,/ZD+ZABC=180,ZABC+ZEBC=180%ZD=ZCBE,CA=CE,DAC竺BEC,AD二BE,.AC=AD+AB(3)結(jié)論：AD+AB=近AC.理由如下：過點(diǎn)C作CE丄AC交AB的延長線于點(diǎn)E,VZD+ZB=180,ZDAB=90,DCB=90,ZACE=90,ZDCA=ZBCE,又AC平分ZDAB,ZCAB=45,ZE=45.AC=CE又ZD+ZABC=180,ZD=ZCBE,CDACBE,/.AD=BE,AD+AB=AE.在RtAACE中，ZC

4、AB=45,/.AE=ACACcos45AD+AB=/2AC-2.如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）,連接DE、點(diǎn)C關(guān)于直線DF的對稱點(diǎn)為U,連接AU并延長交直線DE于點(diǎn)P,F是AU的中點(diǎn)，連接DF.（1）求ZFDP的度數(shù)；（2）連接BP,請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接AC,若正方形的邊長為請直接寫出CC的面積最人值.【答案】（1）45；（2）BP+DP=72AP,證明詳見解析；（3）忑1.【解析】【分析】（1）證明ZCDE=ZCDE和ZADF=ZCDF,可得ZFDP=-AADC=45；2（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證

5、明BAPDAP（SAS）,得BP=DP,從而得網(wǎng)P是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（3）先作高線UG,確定CC的面枳中底邊AC為定值2,根據(jù)高的人小確定面積的人小，當(dāng)C在BD上時(shí)，CG最大，其4ACC的面積最大，并求此時(shí)的面積.【詳解】（1）由對稱得：CD=CD,ZCDE=ZCDE,在正方形ABCD中，AD=CD,ZADC=90。，/.AD=CD,F是AC的中點(diǎn)，/.DF丄AU,AADF=ACDF,:.ZFDP=ZFDC+ZEDC=丄ZADC=45。；2（2）結(jié)論：BP+DP=72AP,理由是：如圖，作AP丄AP交PD的延長線于P,zPAP=909在正方形ABCD中，DA=BA,ZBAD=90o.

6、ZDAP=ZBAP.由(1)可知:ZFDP=45ZDFP=90/.Z4PD=45,ZP=45,AP=AP在厶BAP和厶DAP中，BA=DA/2)=2即AC為足值當(dāng)UG最大值，的而積最人，連接BD,交AC于O,當(dāng)C在BD上時(shí)，UG最大，此時(shí)G與O重合,CD=CD=忑,OD=-AC=1.CG=-1，【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.3如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,過對角線中點(diǎn)0的直線分別交AB,CD邊于點(diǎn)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，

7、求EF的長.【答案】證明見解析：予.【解析】分析：(1)根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定BOE妥DOF(ASA),得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；(2)在RtAADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出OB,再由勾股定理求出EO,即可得出EF的長.詳解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，ZA=90,AD=BC=4,ABIIDC,OB=OD,ZOBE=ZODF,在厶BOE和厶DOF中，AOBE=ZODFOB=0DZBOE=ZDOFBOE雯DOF(ASA),EO=FO,四邊形BEDF是平行四邊形：(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD丄

8、EF,設(shè)BE=x,則DE=x,AE=6-x,在RtAADE中，DE2=AD2+AE2,/.x2=42+(6-x)2,解得：X=y,BD=Je+岔=2伍,BDEF,EO=J陽一OF4/i73點(diǎn)睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵4如圖，ZABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AEIIBC,過點(diǎn)D作DEIIAB,DE與AC、AE分別交于點(diǎn)0、點(diǎn)E,連接EC.(1)求證：AD=EC；(2)當(dāng)ZBAC=RtZ時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形.【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】先證四邊形A

9、BDE是平行四邊形，再證四邊形&DCE是平行四邊形即可:由ZBAC=90,AD是邊BC的中線，得AD=BD=CD,即可證明.【詳解】證明：AEIIBC,DEWAB,四邊形ABDE是平行四邊形，AD是邊BC上的中線，BD=DC,AE=DC,又AEIIBC,四邊形ADCE是平行四邊形.證明：TZB4U90。，AD是邊BC上的中線.AD=CD四邊形ADCE是平行四邊形，四邊形ADCE是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、直角三角形斜邊中線定理根據(jù)圖形與已知條件靈活應(yīng)用平行四邊形的判定方法是證明的關(guān)鍵.5.如圖，正方形ABCD的邊長為&E為BC上一定點(diǎn)，BE=6,F為AB一動點(diǎn)，把B

10、EF沿EF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，當(dāng)AFB恰好為直角三角形時(shí)，BD的長為？【答案】右局或2/7【解析】【分析】分兩種情況分析:如圖2,當(dāng)ZAB&90。時(shí)，此時(shí)A、B、E三點(diǎn)共線,過點(diǎn)B作BM丄AB,BN丄AD,由三角形的面積法則可求得BfM=2.4,再由勾股定理可求得BN=3.2,在RtACBZN中，由勾股定理得，B,D=/V2+DN2=a/3.22+5.62:如圖2,當(dāng)ZAFB=90時(shí)，由題意可知此時(shí)四邊形EBFB是正方形，AF=2,過點(diǎn)B作BN丄AD,則四邊形AFBN為矩形，在RtACBZN中，由勾股定理得，BfD=+:【詳解】如圖1,當(dāng)ZABzF=90時(shí),此時(shí)A、B、E三點(diǎn)共線,ZB=90,

11、AE=Jab+血+610，BE=BE=6,ABM,BF=BF,AF+BF=AB=8,在RtAABT中，ZABT=90,由勾股定理得,AF2=FB，2+AB，2,AF=5,BF=3,過點(diǎn)B作BM丄AB,BN丄AD,由三角形的面積法則可求得BZM=2.4,再由勾股定理可求得BN=3.2,/.AN=BZM=2.4,/.DN=AD-AN=8-2.4=5.6,在RtACBZN中，由勾股定理得，BZD=W2+DN2=/3.22+5.62；BC）,使AB與DC重合，得到折痕EF,把紙片展平；沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處，再折出PB、PC,最后用筆畫出圖1）.（1）求證：圖1中的Apbc是正三

12、角形：（2）如圖2,小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個(gè)正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.求證：IH=IJ請求出NJ的長；（3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm,當(dāng)另一邊的長度a變化時(shí)，在矩形紙片上總能畫出最人的正三角形，但位置會有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖（作圖工具不限，能說明問題即可），并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析；12-6的（3）33a【解析】分析：（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可；（2）利用HL證RtAIHM妥RtAUN即可得；IJ上取一點(diǎn)Q,使Q

13、I=QN,由RtAIHM婁RtAUN知ZHIM=ZJIN=15繼而可得ZNQJ=30,設(shè)NJ=x,貝ljIQ=QN=2x.QJ=V3x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得：（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫出圖形即可.（1）證明：（!）對折矩形紙片ABCD（ABBC）,使AB與DC重合，得到折痕EFPB=PC沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處PB=BCPB=PC=BCPBC是正三角形：（2）證明：如圖矩形AHIJZH=ZJ=90MNJ是等邊三角形MI=NI在RtAMHI和RtAJNI中MH=NJRtAMH僅RtAJNI(HL)HI=IJ在線段IJ上取點(diǎn)Cb

14、使IQ二NQRtAIHMRtAIJN,ZHIM=ZJIN,ZHIJ=90ZMIN=60,ZHIM=ZJIN=15,由QI二QN知ZJIN=ZQNI=15,ZNQJ=30設(shè)NJ=x,貝ljIQ=QN=2x,2jQNNJ=，TJ=6cm,2x+-/3x=6,x=126JJ,即N(cm)(3)分三種情況:如圖:設(shè)等邊三角形的邊長為b,則0Vbs6,如圖6cm當(dāng)DF與DC重合時(shí),DF=DE=6,a=sin60 xDE=色返=3J3,2亠呂=4羽當(dāng)DE與DA重合時(shí)，a=S111600JI3*a4/3點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方

15、形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識：本題綜合性強(qiáng)，難度較大.310.已知一次函數(shù)尸fx+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第二象限內(nèi)左等腰直角三角形ABC,ZBAC=90如圖1所示.當(dāng)AC與x軸平行時(shí)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，得到ABDE,如圖2所示，求過B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式.在的條件下，旋轉(zhuǎn)過程中AC掃過的圖形的面積是多少？(3)將厶ABC向右平移到A，BC的位置，點(diǎn)U為直線AB上的一點(diǎn)，請直接寫出ABC掃過的圖形的面積.【答案】：5；5jj；(2)(0,-2)；直線BD的解析式為y=-x+3；37S27SS=n；(3)ABC掃過的面積為.46【

16、解析】試題分析：(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；因?yàn)锽(0,3),所以O(shè)B=3,所以AB=5,所以AO=AB-BO=5-3=2,所以A(0,-2)；過點(diǎn)C作CF丄OA與點(diǎn)F,證明AAOB竺ACFA,得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線AC解析式，根據(jù)ACIIBD,所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析式，即可解答.利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出A,B,C對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案，再利用以BC為半徑90圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90。圓心角的扇形面積求出答案；利用平移的性質(zhì)進(jìn)而得出ABC打過的圖形是平行四邊形的面枳.3試題

17、解析：(1)一次函數(shù)尸耳x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，A(-4,0),B(0,3),/.AO=4,BO=3,在RtAAOB中，ABV。十B(=僻+32=5,等腰直角三角形ABC,ZBAC=90,.bC血+加=J5/+5/=5護(hù).(2)如圖1,當(dāng)在x軸上方時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）,如圖2,過點(diǎn)C作CF丄OA與點(diǎn)F,ABC為等腰直角三角形,/.ZBAC=90AB二AC,ZBAO+ZCAF=90%ZOBA+ZBAO=90,ZCAF=ZOBA,在厶AOB和厶CFA中，LCFA=LAOB=90。aCAF=Z.OBAAC=ABAOB仝aCFA(AAS):.OA=CF=4,OB=AF=3,.OF=7,CF=4,C(-7,4)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標(biāo)代入得:(-4/C+l-7/c+4k=316解得：，416則直線AC解析式為y=_x_3,將AABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí),得到ABDE,ZABD=90,ZCAB=90,ZABD=ZCAB=90%/.ACIIBD,4設(shè)直線BD的解析式為y=_3x+bi,把B（0,3）代入