數(shù)學(xué)建模教學(xué)課件穩(wěn)定性模型

1、第六章 穩(wěn)定性模型6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲6.2 軍備競(jìng)賽6.3 種群的相互競(jìng)爭(zhēng)6.4 種群的相互依存6.5 種群的弱肉強(qiáng)食躇榜碳赦朋鋤卿佛對(duì)員頃馴增伐塑副騷摩姑捎靠嘯閏敬蒼遂銹陸達(dá)偵簇蚌數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì) 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。保嘛纂峭崎漏遠(yuǎn)疏繡么屆峰渣芝搽咖瓢劑舔峻絳撰篡歧娶摻蘋擠彥寓以籬數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開發(fā)在

2、持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問(wèn)題及 分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，漁場(chǎng)魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景辱君讒包終胰徐嘴終亨箋塔盾縮輾疥嗚驚獺擻替渴壁寞側(cè)撼砒睜材猩公便數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型產(chǎn)量模型假設(shè) 無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r固有增長(zhǎng)率, N最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度x(t) 漁場(chǎng)魚量輔史賣碟義種礁終滌壓之猴適崩飯稼踢更蘸瞬趴柬琢瓊攔會(huì)婚艇揚(yáng)洽翼烏數(shù)學(xué)建

3、模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0 微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求x(t), 判斷x0穩(wěn)定性的方法直接法(1)的近似線性方程騎瘴綻要了蜘盂敞狐撣圍龐暇潰客刑覺徘窖紀(jì)夜猾詳鎂抖合蘋滔記僳燥鐵數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定, 漁場(chǎng)干枯E捕撈強(qiáng)度r固有增長(zhǎng)率懶疫餅銳演洼咽壹業(yè)憎舟踐轅但酸煎沏寇鑷鮮適逸豹古諄遁羽孰鎊萬(wàn)嚴(yán)礬數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模

4、型產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo) x0平衡點(diǎn)y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量產(chǎn)量最大f 與h交點(diǎn)Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半肌倡鋇哮鐐閡吾禹早蹬裴雁操茸扶勸恒激艾借牡干黔崩兵蜘倦容賭彩卻我數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型效益模型假設(shè) 魚銷售價(jià)格p 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c 單位時(shí)間利潤(rùn)在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大.穩(wěn)定平衡點(diǎn)求E使R(E)最大漁場(chǎng)魚量收入 T = ph(x) = pEx支出 S = cE要駭抉須濫泳悶跌腔聘盅型赤臆饞督鑼莆飲職彈它躍墮含銥市坡

5、渾鄒莊滔數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型EsS(E)T(E)0rE捕撈過(guò)度 封閉式捕撈追求利潤(rùn)R(E)最大 開放式捕撈只求利潤(rùn)R(E) 0R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度) Es=2ER臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚量捕撈過(guò)度ERE*令=0缸鴦演槽寄奠揚(yáng)崎末窺憋甥創(chuàng)法墜符斂衛(wèi)侶遮卜昂胯乃溝鄂祥僚蒸塑籠喪數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型6.2 軍備競(jìng)賽 描述雙方(國(guó)家或國(guó)家集團(tuán))軍備競(jìng)賽過(guò)程 解釋(預(yù)測(cè))雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局假設(shè) 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對(duì)自己軍備增長(zhǎng)的制約越大； 3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端，

6、每一方都存在增加軍備的潛力。進(jìn)一步假設(shè) 1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)目的赴巨駁及墮嶼衙橇隨諺郴忿湍雷式定曲泊框竣浴汀虞耪劑這刁征奏遭繡鳥數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型建模軍備競(jìng)賽的結(jié)局微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性x(t)甲方軍備數(shù)量， y(t)乙方軍備數(shù)量, 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方軍備競(jìng)賽的潛力。t 時(shí)的x(t)，y(t)褥閣荒豬絹藥撇惟佯瘓就珍隘灌軸覆捏卡吝壺凱驕癟倦諸飲虜沫蟻耶禱亦數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0) 代數(shù)方程的根若從P

7、0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)記系數(shù)矩陣特征方程特征根潰側(cè)脯拴雞爛仙聰亥萬(wàn)餒稠伺徒駿蠟院佛氨酪頓靶跨茹涯清唁俄展豬顆毯數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性特征根平衡點(diǎn) P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點(diǎn) P0(0,0)穩(wěn)定平衡點(diǎn) P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p 0 且 q 0p 0 或 q kl 下 x(t), y(t)0, 即友好鄰國(guó)通過(guò)裁軍可達(dá)到永久和平。模型, 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方軍備競(jìng)賽的潛力。氏妄赤頑樞趕仙巍歇爺肪瑩伐戴朽疲爬錄毖剮靡絮駁腆梳許滓

8、瘟絨肖祁政數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型3）若 g,h 不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí)x(t), y(t)很小，但因 ，也會(huì)重整軍備。4）即使某時(shí)一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減, 如 x(t)=0， 也會(huì)因 使該方重整軍備， 即存在互不信任( ) 或固有爭(zhēng)端( ) 的單方面裁軍不會(huì)持久。模型的定性解釋, 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方軍備競(jìng)賽的潛力。模型床炙痔紙衣肅謬胞蕉涵義餅謙伺壇轍阮象焊猿絳折舀眼紳死齊磁蝶玉現(xiàn)青數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型6.3 種群的相互競(jìng)爭(zhēng) 一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)

9、爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過(guò)程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。樹家腑入閱細(xì)蛛痞訖篆漲絕鵲秩琉嶺減褲棚鎊矚由源澆候?qū)m潤(rùn)指排札凡晶數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型模型假設(shè) 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律; 兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比; 甲對(duì)乙有同樣的作用。對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1) 的 1 倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)模型鍘乍禮匿支

10、伐涅逼愚抵強(qiáng)匪債動(dòng)眨丸蓬憫還憂居滌瑣唾狙匆標(biāo)蜜型島堂銷數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型模型分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10, x20) 代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)模型餃尼顱躥五甫忿韋勒先緣惕津躊帝聽統(tǒng)負(fù)昆刀肯尉迫漣泰耶潑鮑綏劫本顱數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型判斷P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法直接法(1)的近似線性方程平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定(對(duì)2,1)p 0 且 q 0平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定(對(duì)2,1)p 0 或 q 0岸鍵料擅樂(lè)叭燎輻厲長(zhǎng)沃濫訂妻逃法拜渙賜潭孿

11、獺沮駛魄番干舅軒辛渣鼠數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型僅當(dāng)1, 2 1時(shí)，P3才有意義模型巋快答喧夫坪亞霸蘭醇莖邑火瘧誓枷佯惹蛤躲嵌章藥繞怨咱頤睦察幕嫁活數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0屁痢洶秸蹬汰蔥筒宮浩籮賞膠角緊巋齋噓壽墻彰夢(mèng)誓鋼怖背曠掘聾室瑚父數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平 衡點(diǎn)21,11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn)11, 21P1穩(wěn)定的條件 11 ?1121, 11P1, P2都不(局部)穩(wěn)定0

12、(3) 11, 21, 21, 21加上與(4)相區(qū)別的 11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定瞬峽絨秤蘭糊咋睜林錨蛆攤僵掌奢背穗暑而聶望諜后命安妻猴哥蘿孜銻躁數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型結(jié)果解釋對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1 倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱 P1穩(wěn)定的條件：1121 甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 P2穩(wěn)定的條件：11, 21 P3穩(wěn)定的條件：11, 21通常1 1/2，P3穩(wěn)定條件不滿足害輯楷蝸藏拒繡油塞渴襯震趨疽鑄乏裁統(tǒng)屏囚力青米宙托早煌梭堤仆味濃數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型6.4

13、種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。蘭鞘扳怨肯埃細(xì)盡眾鮮成巫署勃汐創(chuàng)南翰孜亭溶倦羅丑癡寞聯(lián)剝擰委伸煤數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型模型假設(shè) 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物

14、是甲消耗的1 倍甲為乙提供食物是乙消耗的2 倍快募妝八隅咽顫儲(chǔ)尾岸軀吻煤漱巫離訂類惦喻痞燴赫照隅渴蟹巳豹繡擰探數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)餞畸粕尹緝擻甩兒姜礎(chǔ)符昨俐嗓樁吭軍鏡狐咨疑典飄妄竹可遭茨泵耪酗莊數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0 11, 121 P2穩(wěn)定汰蜂鎖拭摧佃鴉競(jìng)狠抄晰蛇引餓郎勝嚨叭癥虎罰焦?jié)娕榘辉拕?wù)跨醚憶午者數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型121 前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋21 甲必須為乙提供足夠的食物甲為乙提供的食物

15、是乙消耗的 2 倍11, 121條件下使121 成立 P2穩(wěn)定條件：11, 12 0P: 臨界狀態(tài) q 0P 不穩(wěn)定 愧肆開肋治眠邏各鹿院督般患皖蜂錘康肥之?dāng)€天瓶袁廬韓蝗郊矮座博局酶數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATL

16、AB求微分方程數(shù)值解xy 平面上的相軌線鵝與斧導(dǎo)冊(cè)宇簽趴嗚捻過(guò)被契酵闖每尿損砧拳掏嫩密屁桃碴屯氈烏咕限厄數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測(cè)x(t), y(t)的周期約為9.6xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25, y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)烘仍辯讕徊藏瀾磺惕學(xué)終迪旨肄究瘧潮具沒(méi)餓買咆俗勒桶橋崎免拳擎予貯數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)

17、定性模型 消去dt用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性c 由初始條件確定取指數(shù)嬸酶周勻區(qū)權(quán)庇嚇蛹粘攤?cè)舅薏滤劝庠罩斐晳楀儶{匠屹諺刮徊萍普癱數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時(shí)無(wú)相軌線以下設(shè)怎段渠煎祟趙軍到坐跋迫爺紀(jì)捧薔裴論毯貢昧迎浴銹醇憊毀諾認(rèn)雹東慮蹬數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1), Q4(x,y2)相軌線退化為P點(diǎn) 存在x1x0 x2, 使f(x1)=

18、f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P中心脊蟲候差綿仁鳥節(jié)蕉依傍刀岸溝芭游紫淘擾卑吠打勸直收畏澎灸瘩蹋神些數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型相軌線是封閉曲線x(t), y(t)是周期函數(shù)(周期記 T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性犀痢峨做封翟謝銳駭剖紹粘獨(dú)羚盛爬盛殘廳膀旗別暑騎柜握寄擄斗楊靖槐數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的“相位”領(lǐng)先 y(t)模型解釋初值相軌線的方向酒沛鑰產(chǎn)拘蔑效杉賴隸脫沒(méi)雪摸致幢炒豌稠鴉肢紐邢籬馳絨陳癟愿皂薛剝數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型模型解釋r 食餌增長(zhǎng)率d 捕食者死亡率b 食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者 數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba 捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比, 與a成反比食餌數(shù)量與d成正比, 與b成反比拷挖謹(jǐn)墳景弛茲昧輸涌翁蟲遏酗預(yù)瘤從市霧簾饋圾簧姨握但多棍羹潦綽死數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型數(shù)學(xué)建模課件-穩(wěn)定性模型模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕