數(shù)學的美教學課件

1、欣賞數(shù)學的真善美世上萬物，以真善美為最高境界?！敖逃螒B(tài)的數(shù)學”與“學術形態(tài)的數(shù)學”之間的一個重大區(qū)別， 就在于是否具有“數(shù)學欣賞”的內(nèi)涵。冰冷美麗下的火熱思考 二者都要欣賞。 被淹沒在形式演繹的海洋里的真善美，需要大力挖掘、用心體察才能發(fā)現(xiàn)， 感受、體驗和欣賞。語文教學與數(shù)學教學欣賞， 是教育的一部分。 語文教育重在欣賞， 比如語文課教學生欣賞古文，欣賞唐詩，卻基本上不會作古詩，寫古文。但是，從小學到大學，數(shù)學教育的重點是 “做題目”， 幾乎不談“欣賞”二字。 數(shù)學欣賞需要“教”嗎？ 需要， 非常需要數(shù)學學好了， 題目會做了， 思維自然就嚴密了。 數(shù)學的“真”， 也就在其中了， 用不到什么特

2、別的“數(shù)學欣賞”。形式化表達的數(shù)學，猶如曲折表達的詩詞，其背后掩蔽著的思想方法和文化底蘊，需要教師有意識地啟發(fā)、點撥、解釋，才能使學生有所領悟。數(shù)學教學之貧困 數(shù)學各章小結就是一幅 邏輯框圖。 數(shù)學思想呢？數(shù)學價值呢？ 把數(shù)學等同與邏輯， 就把美麗的數(shù)學女王， 描寫成一幅X光片里的一付骨架欣賞需要指導、培育 提出問題， 揭示冰冷形式后面的 數(shù)學本質(zhì)；對比分析， 體察古今中外的數(shù)學 理性精神；梳理思想， 領略抽象數(shù)學模型的 智慧結晶；構作意境， 溝通數(shù)學思考背后的 人文情景。欣賞就是講道理 既要講推理， 更要講道理。 蕭樹鐵等高等數(shù)學改革研究報告（非數(shù)學類）。 高等教育出版社 2000一、欣賞數(shù)

3、學之真愛因斯坦說過 “為什么數(shù)學比其他一切學科受到特殊的尊重? 理由之一是數(shù)學命題的絕對可靠性和無可爭辯性。 至于其他各個學科的命題則在某種程度上都是可爭辯的，經(jīng)常處于會被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中”。 例1. “對頂角相等”的教學。欣賞點：這樣明顯的命題為什么要證明？（提出問題）幾何原本。 命題15：對頂角相等。用公理3：等量減等量， 其差相等。定理本身非常直觀， 無人質(zhì)疑。如果就事論事地解說一番， 或者時髦地讓學生“量一量”、“拼一拼”那樣地活動一下， 都不能使學生獲得數(shù)學之“真”的欣賞。數(shù)學與民主古希臘城邦實行奴隸主的民主政治。 民主要求說服、說服需要證明、公理化方法得到應用。中國古代數(shù)

4、學是國家管理數(shù)學。向理性的飛躍關鍵點是要問：“這樣明顯的命題要不要證明？” 中國古代數(shù)學沒有這樣的命題。 古希臘數(shù)學家提出這樣的定理， 認為需要證明， 而且使用“等量減等量其差相等”的公理加以證明。兩相對照， 才知道自己的淺薄，古希臘理性精神的偉大。從“顯然正確因而不必證明”， 到“崇尚理性需要證明”， 是一次思想上的飛躍， 可以說震撼了許多孩子們的“靈魂” 例2. “飛矢不動”與“瞬時速度”。欣賞點：“辯證精密思維的典范， 微積分思維的人文意境”。微分學的精髓在于認識函數(shù)的局部。如何透過微積分教材的形式化陳述，真正領略微積分的思考本質(zhì)， 是微積分教學的一項重要任務。飛矢不動靜止的運動觀 函數(shù)

5、描寫運動的局限性古希臘哲學家芝諾問他的學生：“一支射出的箭是動的還是不動的？” “那還用說，當然是動的。” “那么，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？” “不動的，老師。” “這一瞬間是不動的，那么其他瞬間呢？” “也是不動的，老師” “所以，射出去的箭是不動的”惠施（約前370約前310）提出“飛鳥之景，未嘗動也”， 把直覺的瞬時速度， 化為可以言傳的瞬時速度， 需要克服 “飛矢不動“的芝諾悖論。 考察函數(shù)不能孤立地一點一點考察， 而要聯(lián)系其周圍環(huán)境。 這是微積分的核心思想之一： 考察“局部”。 微積分的 “真”， 通過局部的精密分析顯示出來，使人覺得“妙不可言”。整體是由局部構成的常

6、言道， “聚沙成塔，集腋成裘”， 那是簡單的堆砌。 其實， 科學地看待事物， 其單元并非一個個的孤立的點， 而是一個有內(nèi)涵的局部。人體由細胞構成， 物體由分子構成。 社會由鄉(xiāng)鎮(zhèn)構成， 所以費孝通的“江村調(diào)查”， 解剖一個鄉(xiāng)村以觀察整體， 竟成為中國社會學的經(jīng)典之作。 同樣， 社會由更小的局部 家庭構成。 所以， 我們的戶口以家庭為單位?！敖煺叱?， 近墨者黑”。 看人，要問他/她的身世、家庭、社會關系，孤立地考察一個人是不行的。函數(shù)也是一樣， 孤立地只看一點的數(shù)值不行， 還要和周圍個點上的函數(shù)值聯(lián)系起來看。微積分就是突破了初等數(shù)學“就事論事”、孤立地考察一點、不及周圍的靜態(tài)思考， 轉而用動態(tài)地

7、考察“局部”的思考方法， 終于創(chuàng)造了科學的黃金時代。微分學告訴我們： 怎樣處理“變量”的局部和整體局部是一個模糊的名詞。沒有說多大。就象一個人的成長， 大的局部可以是社會變動、鄉(xiāng)土文化、學校影響， 小的可以是某老師、某熟人， 再小些僅限父母家庭。 各人的環(huán)境是不同的。 最后我們把環(huán)境中的各種影響匯集起來研究某人的特征。 同樣， 微積分方法， 就是考察函數(shù)在一點的周圍，然后用極限方法， 確定函數(shù)在該點的性態(tài)。微積分闡述的“局部”思維，是精密的思維過程， 體現(xiàn)了數(shù)學的“真”。 震撼于數(shù)學模型之深刻二、欣賞數(shù)學的 “善”數(shù)學知識推動社會科技與文明的發(fā)展，以其獨特的方式為人類文明的發(fā)展服務，這是 數(shù)學

8、“善”的 表現(xiàn)。例3 勾股定理的教學設計： 從數(shù)學文化的高度欣賞當前時髦的勾股定理的教學設計：發(fā)現(xiàn)， 探究， 摸索1、探究、發(fā)現(xiàn)勾股定理，工作單有6張之多。2、各種各樣的證明， 古希臘證明， 趙爽的證明。幾百種之多。 換個思路： 欣賞勾股定理未嘗不可最后的晚餐， 達 . 芬奇 像欣賞一幅名畫那樣 欣賞勾股定理之價值用歷史的發(fā)展介紹各種數(shù)學文化： 陳子定理， 勾三股四弦五； 古希臘證明； 巴比侖泥板中的勾股數(shù)； 中國趙爽的代數(shù)證明。 2019年北京國際數(shù)學家大會的會標 ； 費馬定理的解決， 與外星人通訊使用的圖形。例4 坐標的價值。欣賞點：用坐標確定位置， 那是地理學的目標。坐標系的數(shù)學價值遠超

9、出“確定位置”。近年來，平面直角坐標系的引進， 成為中學數(shù)學公開課的熱門課題。 大量的教學案例， 都只是讓學生用一對有序的數(shù)來確定位置。用縱橫交錯的方法確定位置，用經(jīng)緯度表示一個地點的位置， 乃是地理學常識。數(shù)學使用坐標系，則遠超于此，其實質(zhì)是要用坐標表示數(shù)學對象。 上海長寧區(qū)的老師把教室的課桌椅并攏，用塑料繩擺成直角坐標系 “兩個坐標都是負數(shù)的 同學站起來（第三象限） “兩個坐標都相同的同學站起來（直線y=x） “第一個坐標為0 的 同學站起來（y軸） 這樣“玩坐標”， 用坐標表示“數(shù)學對象”， 才是坐標系的數(shù)學價值所在。不欣賞坐標系的 “數(shù)學本質(zhì)”， 膚淺地停留在“東大街、北大街”的 交匯

10、處那樣的淺薄常識，就談不上什么數(shù)學欣賞了。例5 微分方程 y = ay ，表達的數(shù)學模型。 e 的價值欣賞點：人口增長、碳14的衰減， 連續(xù)復利，它們有一個共同數(shù)學模型。常數(shù)e 和他們密切相關， 一付和諧的數(shù)學情景。復利公式 A （1+ /n）n （一年分為n 期的復利）。 然后令n , 就進一步看出 常數(shù)e 的“自然”特性了。數(shù)學的“善”在這里體現(xiàn)為“和諧”、“合理”、“自然”， 而不是天上掉下來的林妹妹“。例6 代數(shù)模型： 三根導線的例子。欣賞點：“在看不見數(shù)學的地方，構建數(shù)學模型。感受數(shù)學思維之深刻。代數(shù)建模的核心思想是“文字參與運算”。也就是說，代數(shù)的實質(zhì)是用文字代表未知數(shù)，而且由文字

11、代表的“未知數(shù)”和已知數(shù)可以進行運算，即進行“式”的運算。 “代數(shù)就是用文字代表數(shù)”？自然數(shù)的交換律， 就寫了AB =BA, 這里， 用文字A,B代表任意的自然數(shù)， 可是這和代數(shù)無關。如何測三根導線的電阻？電阻分別是x,y,z. 于是， 他列出以下的三元一次聯(lián)立方程： x+y =a y+z =b z+x =c x y z上海51中學陳振宣老師提供袁枚曾說：“學如箭鏃， 才如弓弩， 識以領之， 方能中鵠（gu)”。 看不見數(shù)學的領域運用數(shù)學 1948年的數(shù)學地圖1948： 美國仙農(nóng)發(fā)表信息的數(shù)學理論1948：維納發(fā)表控制論。信息、控制是數(shù)學嗎？1948： 馮諾依曼：計算機方案形成 中國缺乏這樣的

12、數(shù)學偶像 ！“三根導線”問題的啟發(fā)在看起來“沒有數(shù)學問題”的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題， 那往往是“大”的數(shù)學創(chuàng)造。只會把“別人已經(jīng)做過的問題重做一遍” 是遠遠不夠的。國際數(shù)學奧林匹克競賽金牌難拿，但是，三根導線的作者所具有的創(chuàng)新性，則更加難能可貴。這樣的優(yōu)秀案例為什么進不了數(shù)學教材？ 三、欣賞數(shù)學的美 震撼于數(shù)學思維內(nèi)在之和諧意境 數(shù)學美， 不要老是拿“黃金分割”說事；數(shù)學美， 不能只是重復數(shù)學家已經(jīng)說過的“統(tǒng)一美，和諧美，簡單美，奇異美。 要開發(fā)更多的 數(shù)學美學價值；數(shù)學的意境之美， 為大眾容易理解。 實無限和潛無限： 杜甫：“無邊落木蕭蕭下， 不盡長江滾滾來”。例7“無界變量”的意境之美。欣賞點：

13、 用“滿園春色關不住， 一枝紅杏出墻來”，加以描慕，人文意境和數(shù)學意境相互交融， 渾然一體。對任意的正數(shù)M， 總存在一個下標 n， 使得 xn M （ 六盤水師院楊光老師提供）例8 對稱與對聯(lián)。不變量之美欣賞點：“數(shù)學美和文學美是相通的，變化中的不變量是數(shù)學美的共同根源”。只說變化， 化歸是不夠的，在變化中尋求不變性質(zhì)和不變量，是人類文明發(fā)展的正道。 對稱和對仗 對稱是幾何變換。 變換之后有不變的量。軸對稱、中心對稱后圖形不變、長度角度都不變。 中國的對仗：“明月松間照，清泉石上流”（王維詩句）。 “明月” 對“清泉”， 變中有不變。形容詞對形容詞， 名詞對名詞， 自然景物仍然是自然景物。 文

14、化上看， 二者異曲同工。只是數(shù)學更加準確、比較抽象而已。清泉石上流明月松間照守恒之科學美 民族要發(fā)展， 但是傳統(tǒng)不變； 物理上能量守恒； 解方程： 移項、變形但是保持“根”不變； 拓撲學：七橋問題；不變性質(zhì)和不變量， 是一篇大學問?；瘹w， 是一種將未知轉化為已知的方法， 化歸是和不變性質(zhì)聯(lián)系在一起的。方程變形，最后化為已知可解的情形， 但是“變形”的“化歸”， 必須保持原方程的根不變。不等式證明， 也通過不斷地放大和縮小化為已知情形， 但是不等號的方向不能變。一切化歸必須以某個“不變”為前提。流傳很廣的“關系-映射-反演（RMI）原理， 是 一種特殊的化歸。 但是， 這里的映射， 必須保持一種不變性。 例如，這個映射是 “同構”和“同態(tài)”等等， 然后才能解決問題。例9 拉格朗日微