22圓錐曲線中的取值范圍和最值問題 2

1、圓錐曲線中的取值、取值范圍與最值問題課前熱身例1、求離心率的值、取值范圍與最值1.設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（D）2B.A.2C.22D.212212.已知雙曲線x2y2a2b21(a0,b0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是()（A）(1,2（B）(1,2)（C）2,)（D）(2,)例2若動點P(x,y)在曲線x2y24b21(b0)上變化，則x22y的最大值為多少？方法一：化為一元函數（二次函數或三角函數）方法二：判別式法方法三：二

2、元函數線性規(guī)劃方法四：二元函數用不等式思考：將結論改為求xy和x2y的取值范圍與最值。求取值范圍和最值方法總結：方法一：化為一元函數（二次函數或三角函數）方法二：判別式法方法三：二元函數線性規(guī)劃方法四：二元函數用不等式（總結：分式函數求值域）（總結：根式函數求值域）1解得k或k.橢圓E的方程為1.直線PF1與圓C相切，5，一圓錐曲線中的取值與范圍問題求特定字母的取值（或范圍）問題是近幾年高考的熱點題型這類問題的綜合性強、涉及面廣，經常將解析幾何與平面幾何、函數、不等式、三角函數等知識聯系起來，并且還滲透著函數與方程、數形結合、轉化與化歸等一些重要數學思想方法，具有一定的難度，應加強復習，重點突

3、破(1)解決這類問題的基本思想是建立目標函數和不等關系(2)建立目標函數的關鍵是選用一個合適的變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題；建立不等關系的關鍵是運用圓錐曲線的幾何特征、判別式法或基本不等式等靈活處理（方法：求取值，列方程；求范圍或最值，列函數或不等式）x2y22例1已知點P(4,4)，圓C：(xm)2y25(mb0)有一個公共點A(3,1)，F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切(1)求m的值與橢圓E的方程；(2)設Q為橢圓E上的一個動點，求APAQ的取值范圍自主解答(1)將點A的坐標代入圓C方程，得(3m)215，mb0)的一個焦點是F(1,0)，且離心率為2.

4、(1)求橢圓C的方程；(2)設經過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P(0，y0)，求y0的取值范圍解：(1)設橢圓C的半焦距是c.依題意，得c1.12所以a2c2，b2a2c23.x2y243(2)當MNx軸時，顯然y00.當MN與x軸不垂直時，可設直線MN的方程為yk(x1)(k0)ykx1由x2y2431，消去y并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0，則x1x28k234k2.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點為Q(x3，y3)，則x3x1x224k234k2，y3k(x31)3k34k2.線段MN的垂直平分線的方程為3k14k2k3

5、4k2x.y34k2134k234k在上述方程中，令x0，得y0kk.當k0時，4k43.33kk3所以3y00或0b0)，abc，由題意知a2222c2，2b2，解得a2，b1，因此橢圓C的方程為y21.x22(2)()當A，B兩點關于x軸對稱時，設直線AB的方程為xm，由題意得2m0或將xm代入橢圓方程y21，得|y|2m2.0m0，所以t2或t.將其代入橢圓的方程y21，此時x1x2，x1x212k212k2233()當A，B兩點關于x軸不對稱時，設直線AB的方程為ykxh，x22得(12k2)x24khx2h220.設A(x1，y1)，B(x2，y2)由判別式0可得12k2h2，4kh

6、2h22，12k2y1y2k(x1x2)2h2h，4x1x2所以|AB|1k2x1x22221k2.（總結：根式函數求值域）所以eqoac(,S)AOB|AB|d221k22|h|.12k2h212k2因為點O到直線AB的距離d|h|，（總結：根式函數求值域）1k21112k2h2|h|12k2h22212k21k212k24又eqoac(,S)AOB6，12k2所以2|h|.解得n4h2或nh2，3，ht又OPtOEt(OAOB)t(x1x2，y1y2)212k2h264令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，434即12k24h2或12k2h2.112kht212k212k2，

7、因為P為橢圓C上一點，所以t2h22212k12k21，122kh12k2即h2t21.將代入得t24或t2.435又t0，t2或t，經檢驗符合題意綜上可知，t2或t.軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.233233x2y233例4(2013天津高考)設橢圓a2b21(ab0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x433(1)求橢圓的方程；(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點若ACDBADCB8，求k的值解：(1)設F(c,0)，由ca33，知a3c.過點F且與x軸垂直的直線的方程為xc，代入橢圓方程有ca22y2b21，解得y3于是，解得b2.所以橢圓

8、的方程為1.6b.26b4333又a2c2b2，從而a3，c1，x2y232(2)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)ykx1由方程組x2y2321，消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根與系數的關系可得x1x2，x1x223k223k223k26k23k26.因為A(3，0)，B(3，0)，所以ACDBADCB(x13，y1)(3x2，y2)(x23，y2)(3x1，y1)（總結：向量的坐標表示）62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k22k2126.623k22k

9、212由已知，得68，解得k2.1的兩個焦點F1、F2的距離之和為定值，且cosF1PF2例5已知動點P與雙曲線x2y2231的最小值為9（）求動點P的軌跡方程；（）若已知D(0,3)，M、N在動點P的軌跡上且DMDN，求實數的取值范圍講解()由題意c2=5設|PF1|+|PF2|=2a（a5），由余弦定理,得2|PF|PF|PF|PF|PF|2|PF|2|FF|22a2101212cosFPF1121212又|PF|PF|(12|PF|PF|122)2a2，當且僅當|PF1|=|PF2|時，|PF1|PF2|取最大值，此時cosF1PF2取最小值2a210a21，令2a21011，a29解得

10、a2=9，c5，b2=4，故所求P的軌跡方程為x2y21.94（）設N(s,t)，M(x,y)，則由DMDN，可得(x，y-3)=(s，t-3)，故x=s，y=3+(t-3).M、N在動點P的軌跡上，s2t2(s)2(t33)21且1，9494(t33)22t213512，解得t消去s可得，（函數法）46又|t|2，|1351|2，解得5，651故實數的取值范圍是,5（用幾何法-DM，DN最大為5，最小為1）5例5【2012高考新課標理20】設拋物線C:x22py(p0)的焦點為F，準線為l，AC，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B,D兩點；（1）若BFD900，ABD的面積為42；求p

11、的值及圓F的方程；（2）若A,B,F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m,n距離的比值.【答案】（1）由對稱性知：BFD是等腰直角，斜邊BD2p7點A到準線l的距離dFAFB2pSABD4212BDd42p2圓F的方程為x2(y1)282p2（2）由對稱性設A(x,0 x2p0)(x0)，則F(0,)0點A,B關于點F對稱得：B(x,p0 x2x2p0)p02p2p2x23p202xpx3y3p03p3pp得：A(3p,)，直線m:y223p22直線n:ypx2x33x22pyyyxp切點P(2pp3333p3(x)x3yp063363pp,)36坐標原點

12、到m,n距離的比值為3p3p.:3（法二;26yM*例7【2012高考四川理21】如圖，動點M到兩定點A(1,0)、B(2,0)構成MAB，Bx設m斜率為k，則d1/d2=1/k2）AO且MBA2MAB，設動點M的軌跡為C。（）求軌跡C的方程；（）設直線y2xm與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|PR|，求|PR|PQ|的取值范圍。|y|x12tanMAB有tanMBA=,即x21()2解析（1）設M的坐標為（x,y），顯然有x0,y0.當MBA=90時，點M的坐標為（2，,3）當MBA90時；x2.由MBA=2MAB,|y|2|y|1tan2MABx1化簡得：3x2-y2-3=

13、0,而又經過（2，,3）綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x1）8(II)由方程y2xm3x2y230消去y，可得x24mxm230。（*）21(4m)24(m23)0由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內，設f(x)x24mxm234m(因為斜率-2知直線與曲線交于同側)所以f(1)124mm230解得，m1,且m2設Q、R的坐標分別為(x,y),(x,y)，由PQPR有00RRx2m3(m21),x2m3(m21)R0PRx2m3(m21)23(1)m21所以RPQx2m3(m21)11Q23(1)23(1142mm2)由m1，且m2，有11423(11)m2743,且14

14、32（11m27.）所以PR的取值范圍是1,7(7,743)PQ例8如圖，拋物線y2=4x的一段與橢圓x2y21的一段圍成封閉圖形，點N（1，0）在43x軸上，又A、B兩點分別在拋物線及橢圓上，且AB/x軸，求NAB的周長l的取值范圍。(幾何法)的準線l：x=-1，分別過點A、B作AAl于A，BBl于B，由橢圓的第二定義可得|BN|=e|BB|=2xB，29.B如圖所示，分別作出橢圓準線l：x=4與拋物線1212111111由拋物線定義可得|AN|=|AA1|=xA+1，NAB的周長l=|AN|+|AB|+|BN|yAONBx=xA+1+（xB-xA）+（2x）=3+x，又由4y24x,x2y

15、21132B2B1,可圖9，xB（，2），3+xB（，4），即NAB得兩曲線交點的橫坐標為x=221102333的周長l的取值范圍為（103，4），故應選B.解：易知N為拋物線y2=4x的焦點，又為橢圓的右焦點，拋物線的準線l1：x=-1，橢圓的右準線l2：x=4，過A作ACl1于C，過B作BDl2于D，則C、A、B、D在同一條與x軸平行的直線上。由x2y2，得拋物線與橢圓的交點M的橫坐標xy24x1431而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|2NAB的周長l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|23=|BC|+11|BD|=|BC|+|BD|-|BD|22l4，即l

16、的取值范圍為（，4）所求方程為：1（x0）代入雙曲線方程1中，得：(1k2)x22kbxb22011=|CD|-|BD|=5-|BD|2221542|BD|4，即1|BD|323101033二圓錐曲線中的最值問題(圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數方法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個些)參數的函數，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解例1已知點M(-2，0)，N(2,0)，動點P滿足條件|PM|PN|22.記動點P的軌跡為W.（）求W的方程；（）若A，B

17、是W上的不同兩點，O是坐標原點，求OAOB的最小值.解：（）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，x2y222（）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為xx0，22此時A（x0，x02），B（x0，x02），OAOB2當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為ykxb，x2y22210 x1x21k2122k21k21依題意可知方程1有兩個不相等的正數根，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則4k2b24(1k2)(b22)02kb0可得|k|1？b22xx0k21又OAOBx1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）2k224（1k2）xxkb（xx）b221212綜

18、上可知OAOB的最小值為2.例2（2013年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷）已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F0,cc0到直線l:xy20的距離為設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.()求拋物線C的方程;()當點Px,y為直線l上的定點時,求直線AB的方程;00()當點P在直線l上移動時,求AFBF的最小值.322.【答案】()依題意,設拋物線C的方程為x24cy,由0c2解得c1.所以拋物線C的方程為x24y.()拋物線C的方程為x24y,即y211x2,求導得yx42322結合c0,144設Ax,y,Bx,y112211x,x,2122(

19、其中yx2x21,y2),則切線PA,PB的斜率分別為2222所以切線PA的方程為yy111x1xx,即yx1xx12y,即xx2y2y0（證明A、B坐標滿足某個方程）11同理可得切線PB的方程為xx2y2y022因為切線PA,PB均過點Px,y00,所以xx102y2y0,xx2y2y0012002所以x,y,x,y1122為方程xx2y002y0的兩組解.11所以直線AB的方程為xx2y2y0.（兩點確定一直線）00()由拋物線定義可知AFy1,BFy1,12所以AFBFy1y1yyyy1212121聯立方程0 xx2y2y00 x24y,消去x整理得y22yx2yy20000由一元二次方

20、程根與系數的關系可得yyx22y,yyy12001202所以AFBFyyyy12121y2x22y0001又點Px,y00在直線l上,所以x0y2,0所以y2x22y12y22y52y22022|OF|FQ|sin()264arcta4n.1290000019所以當y時,AFBF取得最小值,且最小值為.0例eqoac(,3)已知OFQ的面積為26，OFFQm（1）設6m46，求OFQ正切值的取值范圍；FQ|（2）設以O為中心，為焦點的雙曲線經過點（如圖），OF|c,m(取得最小值時，求此雙曲線的方程。12|OF|FQ|cosmtan46,6m461tan4.m641)c2當|OQ|（2）設所求

21、的雙曲線方程為x2y2a2b21(a0,b0),Q(x,y),則FQ(xc,y)1111OFQ12cS46|OF|y|26,y又由OFFQ(c,0)(xc,y)11111c,|OQ|x44c2866963c2(xc)c(1)c2,x2y212.111當且僅當c=4時，|OQ|最小，此時Q的坐標為(6,6)或(6,6)1266ab122a2b216a24b212x2y2所求方程為4121.例4【2012高考浙江理21】1(ab0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為10不如圖，橢圓C：x2y2+a2b212【解析】()由題：ec；(1)所求橢圓C的方程為：+1()易得直線OP的方程：yx

22、，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0 x0過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；()求ABP的面積取最大時直線l的方程1a2左焦點(c，0)到點P(2，1)的距離為：d(2c)21210(2)由(1)(2)可解得：a24，b23，c21x2y2431122A，B在橢圓上，4x2y2A+A13xB2+yB2143kAByyxxABABAB04yy42y2AB03xx32x3設直線AB的方程為l：yxm(m0)，3243x2y2+1代入橢圓：y-3xm23x23mxm230由上又有：xxm，yy3顯然(3m)243(m23)3

23、(12m2)012m12且m0m23ABAB|AB|1kAB|xx|1kABAB(xx)24xx1kABABAB4m2313點P(2，1)到直線l的距離表示為：d31m1kABm21kABSABPd|AB|m2|4（用導數求最值）當|m2|4，即m3或m0(舍去)時，(SABP)max。錯誤！11m2223m2132此時直線l的方程y3x212(3x+2y+2根號7-2=0)AB=(1+k)(x+x)-4xx=(13/4)b-4(b-3)/3=(1/2)13(12-b)/3故SABP=(1/2)ABh=(1/4)8-2b(12-b)/3=(1/2)(1/3)(12-b)(4-b)=1/(23)

24、(-b+8b-4b-96b+192)設u=-b+8b-4b-96b+192令du/db=-4b+24b-8b-96=-4(b-6b+2b+24)=0得b-6b+2b+24=b(b-4)-2b(b-4)-6(b-4)=(b-4)(b-2b-6)=0得駐點b=1-7，b=1+7；b=4(舍去，此時L與橢圓不相交。)；其中b是極大點，b是極小點；故當SABP最大時直線L的方程為y=-(3/2)x+1-7例5（2013年高考新課標1（理）已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動圓P與M外切并且與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線C.()求C的方程;()l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線

25、C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.【答案】由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r=1,圓N的圓心為N(1,0),半徑r=3.12設動圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.()圓P與圓M外切且與圓N內切,|PM|+|PN|=(Rr)(rR)=rr=4,1212由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點,場半軸長為2,短半軸長為3的橢圓(左頂點除外),其方程為x2y21(x2).()對于曲線C上任意一點P(x,y),由于43|PM|-|PN|=2R22,R2,14當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2.當圓P的半徑最長時,其方程為(x2)2y24,當l的傾斜角為900時,則l

26、與y軸重合,可得|AB|=23.當l的傾斜角不為900時,由rR知l不平行x軸,設l與x軸的交點為Q,則1|QP|R=,可|QM|r11k21,解得k求得Q(-4,0),設l:yk(x4),由l于圓M相切得|3k|24.22x2y2當k=時,將yx2代入44431(x2)并整理得7x28x80,解得7x1,2=462718,|AB|=1k2|xx|=.12當k=-218時,由圖形的對稱性可知|AB|=,(用幾何法求公切線長)！47綜上,|AB|=187或|AB|=23.例6【2012高考廣東理20】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：x2y2a2b21(ab0)的離心率e23，且橢圓C上的

27、點到Q（0，2）的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的OAB的面積；若不存在，請說明理由【解析】（1）設ca2b2由ec221c2a2，所以b2a2c2a2a333設P(x,y)是橢圓C上任意一點，則x2y2y21，所以x2a2(1a2b2b2)a23y2|PQ|x2(y2)2a23y2(y2)22(y1)2a26當b1時，當y1時，|PQ|有最大值a263，可得a3，所以b1,c2當b1時，PQa263b263不合題意15故橢圓C的方程為：x23y