對稱的概念和晶體對稱性

1、對稱的概念和晶體對稱性一 對稱的概念 不對稱圖形 不對稱圖形 對稱圖形 對稱：指物體或圖形中相同的部分之間有規(guī)律的重復(fù)。 （1）所有的晶體都是對稱的；（2）晶體的對稱是有一定的限制的；二 晶體對稱（3）晶體的對稱包含幾何意義，也包含物理意義。1 特點（1）作為晶體分類的基本依據(jù)；（2）研究晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、外部形態(tài)、物理性質(zhì)。2 應(yīng)用1 對稱操作：能夠使對稱物體中的等同部分作有規(guī)律的重復(fù)的變換動作。2 對稱元素：對稱操作所依據(jù)的輔助的幾何元素（點、線、面）3 晶體的宏觀對稱：外部形態(tài)上的對稱。三 晶體宏觀對稱元素和對稱操作4 晶體宏觀對稱操作和對稱元素的類型反軸旋轉(zhuǎn)反伸點線旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)線鏡面反映面

2、對稱中心反伸點對稱元素對稱操作映轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)反映線面5 對稱變化矩陣空間一點（x,y,z），對稱變換后（X,Y,Z）Xa11x+a12y+a13zYa21x+a22y+a23zZa31x+a32y+a33z其中對稱變換矩陣對任一對稱操作，都要唯一的對稱變換矩陣與之對應(yīng)6 對稱的表示法熊夫利斯記號國際記號習(xí)慣記號圖示記號（晶體常用）（分子常用）表示方法C 習(xí)慣記號i國際記號i i圣夫利斯對稱元素對稱操作I反伸操作和對稱心4 晶體宏觀對稱操作和對稱元素的類型若對稱圖形具有對稱中心，則對稱圖形中的任意一點，在與中心點連線的反向延長線的等距離處，必有相同的點存在。 定義。圖示記號 舉例B A C iA1C

3、1B1A1C1B1B D C iAD1iv 反伸的對稱變換矩陣以對稱心為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系變換前（x,y,z）則反伸后（x,y,z）反伸的對稱變換矩陣v 晶體的對稱心晶體中若存在對稱心，其晶面必然兩兩平行且相等。（判斷晶體有無對稱心的依據(jù)） 表示方法反映操作和鏡面P 習(xí)慣記號m國際記號圣夫利斯對稱元素對稱操作M垂直紙面圖示記號平行紙面 使圖形中的每一點都反映到該點到鏡面垂線的延長線上，在鏡面另一側(cè)等距離處有相同的點存在。A1 C1 B1 A B C P 定義 反映的對稱變換矩陣對稱面包含的坐標(biāo)軸不同，點經(jīng)對稱面的操作后，得到的點的坐標(biāo)不同xzy以包含xy軸的平面為鏡面變換前（x,y,z）則反

4、伸后（x,y,z）反映的對稱變換矩陣xzy以包含xz軸的平面為鏡面變換前（x,y,z）則反伸后（x,y, z）反映的對稱變換矩陣xzy以包含yz軸的平面為鏡面變換前（x,y,z）則反伸后（x, y, z）反映的對稱變換矩陣v 晶體的對稱面 鏡面是平分圖形的平面，在圖形中除位于鏡面上的點外，其他成對地排在鏡面兩側(cè)，它們通過反映操作可以復(fù)原。 C3C3C4 晶體中的對稱面往往垂直平分晶面或垂直晶棱并通過它的中心，或包含晶棱 旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)軸概念旋轉(zhuǎn)操作：將圖形繞通過其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度后使圖形復(fù)原的操作，旋轉(zhuǎn)軸：旋轉(zhuǎn)所依據(jù)的幾何元素?；D(zhuǎn)角：使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角（0度除外）對C n軸的基轉(zhuǎn)角

5、= 2/n。旋轉(zhuǎn)角度按逆時針方向計算。軸次：使圖形完全復(fù)原旋轉(zhuǎn)基轉(zhuǎn)角的次數(shù)n。 Ln習(xí)慣記號n國際記號Cn Cn 熊夫利斯對稱元素對稱操作表示方法圖示記號654321600720900120018003600軸次 n基轉(zhuǎn)角2/n C6C5C4C3C2C1 旋轉(zhuǎn)軸 有限圖形常見的對稱軸C ：旋轉(zhuǎn)任意的角度都能使圖形復(fù)原。CO2旋轉(zhuǎn)角度m：旋轉(zhuǎn)的次數(shù)mn為自然數(shù) Cn對稱操作備注：國際記號圣夫利斯120024003600360024001200m=1,2,3旋轉(zhuǎn)角度備注：對稱操作國際記號圣夫利斯 主軸：若一個圖形中包含多個不同的旋轉(zhuǎn)軸，則稱最高次軸為主軸，低次軸為副軸。 主軸：3 C4副軸：4 C

6、3 6C2舉例C2C3C4舉例 若一個圖形中在一個方向上有不同軸次的對稱軸，那么只取軸次最高的一個。 vi對稱軸軸次定理（晶體對稱定理）晶體中只可能出現(xiàn)1，2，3，4，6次軸，而不存在五次及高于六次的對稱軸。 對稱軸:包括旋轉(zhuǎn)軸、反軸和螺旋軸B2B12/n2/nB1B2A1A4 B1B2= ma, m=0、B1B2=B1B2=a+2A2B1cos(2/n) 即：ma=a+2a cos(2/n)(m-1)/2= cos(2/n)而cos(2/n)1，m=0、則m的取值和n的關(guān)系如下表maA4A2aaaA1A3aa(m-1)/21或m-12-1 m312/1 162/61/242/4 032/3

7、-1/222/2-13210-1n2/n cos(2/n)m即n的取值只能是1、2、3、4、6m=0、(m-1)/2= cos(2/n)思考：如圖所示的正多邊形，如果將每一個正多邊形作為一個基本單元，驗證一下哪些正多邊形能夠沒有空隙的排列并充滿整個二維平面？旋轉(zhuǎn)倒反操作和反軸 表示方法 習(xí)慣記號國際記號 In In熊夫利斯對稱元素對稱操作 圖示記號概念復(fù)合對稱操作：兩個或兩個以上的對稱操作連續(xù)進(jìn)行 對稱元素：一根假想的直線（旋轉(zhuǎn)軸）和此直線上的一個定點 對稱操作：繞直線旋轉(zhuǎn)一定的角度2/n 及對定點的反伸（先旋轉(zhuǎn)后反伸或 先倒反后旋轉(zhuǎn)伸）1122C12C1122C12C121C45633564212C3546132413241C324651324對稱元素的獨立性：指對稱圖形中的某一個對稱元素不能被其他對稱元素或?qū)ΨQ元素的的組合而代替稱為。12C3546旋轉(zhuǎn)反映操作和映轉(zhuǎn)軸 表示方法 習(xí)慣記號國際記號 熊夫利斯對稱元素對稱操作 圖示記號概念對稱元素：一根假想的直線（旋轉(zhuǎn)軸）和