單純形優(yōu)化法

1、關(guān)于單純形優(yōu)化法第一張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7-1 概述單純形法是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和正交試驗(yàn)相比的特點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便不受因素?cái)?shù)的限制因素?cái)?shù)的增加不會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)次數(shù)大量增加它屬于非線性動(dòng)態(tài)調(diào)優(yōu)過(guò)程第二張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月發(fā)展簡(jiǎn)史1962年，Spendley提出基本單純形法1965年，Nelder等提出改進(jìn)單純形法之后，Routh提出加權(quán)形心法與控制加權(quán)形心法第三張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7-2 基本單純形一、雙因素基本單純形法如果我們有一個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，只選有兩個(gè)影響因素，即因素?cái)?shù)為2。分別取值a1和a2作為試驗(yàn)的初點(diǎn)。記為A(a1,a2)。對(duì)其余兩

2、個(gè)點(diǎn)分別設(shè)為B和C，再設(shè)三角形的邊長(zhǎng)為a(步長(zhǎng))。那么B、C點(diǎn)就可以計(jì)算出來(lái)第四張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月假設(shè)AB、 AC、BC間距均為，等邊三角形可以算出B點(diǎn)為： B=(a1+p, a2+q)根據(jù)對(duì)稱性可知： C=(a1+q, a2+p)可以根據(jù)等邊三角形性質(zhì)解得：第五張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月a2+pa2+qa2a1+pa1+qa1因素2因素1ABCDEo第六張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成得單純形稱為初始單純形首先在A、B、C三點(diǎn)下分別試驗(yàn)，得出三個(gè)響應(yīng)值，比較其大小，找出最壞響應(yīng)值的點(diǎn)稱為壞點(diǎn)此處設(shè)A為壞點(diǎn)，去掉A點(diǎn)并取A的

3、對(duì)稱點(diǎn)D點(diǎn)作為新試驗(yàn)點(diǎn)，比較B、C、D三點(diǎn)響應(yīng)值的好壞此處設(shè)C為壞點(diǎn)，去點(diǎn)C點(diǎn)，取其反點(diǎn)E，此時(shí)C、D、E三點(diǎn)又構(gòu)成新的單純形重復(fù)以上結(jié)果，最終達(dá)到優(yōu)化試驗(yàn)的目的第七張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、新試驗(yàn)點(diǎn)的計(jì)算方法以初始單純形A、B、C為例，設(shè)A為壞點(diǎn)，A應(yīng)該去掉，求其反射點(diǎn)D，此時(shí)A(a1,a2)、B=(a1+p, a2+q)、C=(a1+q, a2+p)D=B+C-A=(a1+p+q,a2+p+q)E=B+D-C=(a1+2p,a2+2q)即：新試驗(yàn)點(diǎn)留下各點(diǎn)之和去掉點(diǎn)(9-8)第八張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、多因素基本單純形設(shè)有n個(gè)因素n1個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的n

4、維空間單純形，設(shè)有一點(diǎn)A=(a1, a2, a3, an)，步長(zhǎng)為a則其余各點(diǎn)為： B=(a1+p,a2+q,a3+q, an+q) C=(a1+q,a2+p,a3+q, an+q) (n)=(a1+q,a2+q, an-1+p, an+q) (n+1)=(a1+q,a2+q,a3+q, an+p)第九張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月其中新點(diǎn)計(jì)算新坐標(biāo)點(diǎn)2n留下點(diǎn)的坐標(biāo)和/n 去掉點(diǎn)坐標(biāo) (9-11)第十張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四、n，p，q取值對(duì)應(yīng)表由(9-8) 我們可以算出n取不同值的p、q的取值第十一張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月n2345678p

5、qn9101112131415pq0.966 0.943 0.926 0.911 0.901 0.892 0.883 0.259 0.236 0.219 0.204 0.194 0.185 0.176 0.878 0.872 0.865 0.861 0.855 0.854 0.848 0.171 0.165 0.158 0.154 0.148 0.147 0.141 n、q、p取值對(duì)應(yīng)表第十二張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月五、小結(jié)用前面的例子，對(duì)兩因素問(wèn)題A、B、C構(gòu)成初始單純形，在此三點(diǎn)上進(jìn)行試驗(yàn)規(guī)則1：去掉最壞點(diǎn)，用其對(duì)稱反射點(diǎn)作新試點(diǎn)例A、B、C中，A為最壞點(diǎn)，去掉A點(diǎn)并取A

6、的對(duì)稱點(diǎn)D點(diǎn)作為新試驗(yàn)點(diǎn)。D留下各點(diǎn)之和去掉點(diǎn)BCA在B、C、D三角形中繼續(xù)使用規(guī)則1，如果C為壞點(diǎn)，去點(diǎn)C點(diǎn)，取其反點(diǎn)E，此時(shí)C、D、E三點(diǎn)又構(gòu)成新的單純形。如果最壞點(diǎn)為D那么對(duì)稱點(diǎn)就會(huì)返回到與A重合，此時(shí)改用規(guī)則2第十三張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月規(guī)則2：去掉次壞點(diǎn)，用其對(duì)稱反射點(diǎn)作新試點(diǎn)對(duì)稱計(jì)算公式與前面相同經(jīng)過(guò)反復(fù)使用后，如果有一個(gè)點(diǎn)老是保留下來(lái)，必須使用規(guī)則3規(guī)則3：重復(fù)、停止和縮短步長(zhǎng)一般一個(gè)點(diǎn)勁3次單純形后仍未被淘汰，它可能是一個(gè)很好點(diǎn)，也可能是偶然性或試驗(yàn)誤差導(dǎo)致的假象。此時(shí)需要重復(fù)試驗(yàn)：結(jié)果不好，淘汰；結(jié)果已很滿意則停止試驗(yàn)反之則以它為起點(diǎn)縮短步長(zhǎng)，繼續(xù)試驗(yàn)第十

7、四張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月六、特殊方法前面介紹的單純形是正規(guī)的，任意兩點(diǎn)間的距離一樣，實(shí)際上，這個(gè)要求可以不要。尤其是由于各個(gè)因素所取的量綱不一樣（例如一個(gè)因素是溫度（），另一個(gè)因素是時(shí)間（秒）。即使量綱一樣所取的單位也可以不一樣。第十五張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（一）直角單純形法我們考慮雙因素模型，開始不從正三角形出發(fā)，而是從一個(gè)直角三角形出發(fā)，其頂點(diǎn)取值如下： =(a1,a2) =(a1+p1,a2) =(a1,a2+p2)用圖表示如下第十六張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月a2+p2a2a1+2p1a1+p1a1因素2因素1第十七張，PPT共五十

8、五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月同樣比較三個(gè)頂點(diǎn)響應(yīng)值的結(jié)果，若最壞，則新點(diǎn)就用對(duì)稱公式 =+-=(a1+p1,a2+p2)在得到點(diǎn)后，再用、三點(diǎn)試驗(yàn)，比較其結(jié)果，若最壞，則取其對(duì)稱點(diǎn)做新試驗(yàn)點(diǎn) =+-=(a1+2p1,a2)、構(gòu)成一個(gè)新單純形，比較其結(jié)果，若最壞，則用規(guī)則2去掉次壞點(diǎn)，若次壞點(diǎn)為，則新點(diǎn) =+-=(a1+2p1,a2-p2)如此等等，有時(shí)還會(huì)使用規(guī)則3，直至結(jié)果滿意為止。第十八張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一般在任意n個(gè)因素時(shí) =(a1, a2, a3, an) =(a1+p1,a2,a3, an) =(a1,a2+p2,a3, an) (n)=(a1,a2, an-1

9、+pn-1, an) (n+1)=(a1,a2,a3, an+pn)第十九張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（二）、雙水平單純形法第二十張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7-3 改進(jìn)單純形法為了解決優(yōu)化結(jié)果精度和優(yōu)化速度的矛盾，可以采用可變步長(zhǎng)推移單純形，此即改進(jìn)單純形法，既能加快優(yōu)化速度，又能獲得較好的優(yōu)化精度。改進(jìn)單純形法是1965年JANelder等提出來(lái)的，它是在基本單純形法的基礎(chǔ)上引入了反射、擴(kuò)大、收縮與整體收縮規(guī)則，變固定步長(zhǎng)為可變步長(zhǎng)，較好地解決了優(yōu)化速度與優(yōu)化精度之間的矛盾，是各種單純形優(yōu)化法中應(yīng)用最廣泛的一種單純形優(yōu)化方法。第二十一張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于

10、2022年6月兩因素單純形的推移過(guò)程因素1因素2BACDEONA改進(jìn)單純形ND第二十二張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月單純形的整體收縮因素1因素2ABCCA第二十三張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月在單純形的推移過(guò)程中，新實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在空間的位置坐標(biāo)按以下方法計(jì)算：第二十四張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月討論：a1，此時(shí)(9-19)式變差基本單純形中新點(diǎn)的計(jì)算公式，此時(shí)新試驗(yàn)點(diǎn)為去掉點(diǎn)的等距離反射點(diǎn)，這時(shí)改進(jìn)單純形又變成了基本單純形a1，按基本單純形法（a1）計(jì)算出新點(diǎn)后，對(duì)新試驗(yàn)點(diǎn)做試驗(yàn)得出新試驗(yàn)點(diǎn)的響應(yīng)值。如果新點(diǎn)的響應(yīng)值好，說(shuō)明我們搜索方向正確，可以進(jìn)一步沿AD搜索

11、。因此取a1，稱為擴(kuò)大。如果擴(kuò)大點(diǎn)E不如反射點(diǎn)D好，則“擴(kuò)大”失敗，仍采用D，由反射點(diǎn)何留下點(diǎn)構(gòu)成的單純形BCD繼續(xù)優(yōu)化第二十五張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-1a0，按（a1）計(jì)算出來(lái)的反射點(diǎn)D的響應(yīng)值最壞，此時(shí)采用-1a0（稱為內(nèi)收縮）計(jì)算新試驗(yàn)點(diǎn)，此時(shí)形成新的單純形BNAC0a1，按基本單純形法（a1）計(jì)算除反射點(diǎn)D響應(yīng)值最壞。但比去掉點(diǎn)A響應(yīng)值好。此時(shí)采用0a1，稱為收縮，新試點(diǎn)仍按(9-19)式計(jì)算，此時(shí)形成新的單純形BCND第二十六張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如果去掉點(diǎn)與其反射點(diǎn)連線AD方向上所有點(diǎn)的響應(yīng)值都比去掉點(diǎn)A壞，則不能沿此方向搜索。這時(shí)應(yīng)以單純形

12、中最好點(diǎn)為初點(diǎn)，到其它各點(diǎn)的一半為新點(diǎn)，構(gòu)成新的單純形BAC進(jìn)行優(yōu)化。此時(shí)步長(zhǎng)減半，稱為“整體收縮”第二十七張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7-4 加權(quán)形心法基本單純形和改進(jìn)單純形都是采用去掉點(diǎn)的反射方向?yàn)樾略囼?yàn)點(diǎn)的搜索方向，這就意味著，去掉點(diǎn)的反射方向作為近似的優(yōu)化方向，就是梯度變化最大的方向?qū)嶋H上，這個(gè)方向是一個(gè)近似的梯度最大方向，這樣的搜索結(jié)果可能導(dǎo)致搜索次數(shù)的增加和搜索結(jié)果精度的降低為了解決這個(gè)問(wèn)題，提出了加權(quán)形心法，加權(quán)形心法利用加權(quán)形心代替單純的反射形心，使新點(diǎn)的搜索方向更接近實(shí)際的最優(yōu)方向第二十八張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月因素1因素2BCOEEO形心點(diǎn)O

13、和加權(quán)形心點(diǎn)O第二十九張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如圖，使W、B、C三個(gè)頂點(diǎn)組成的一個(gè)二因素的優(yōu)化過(guò)程的一個(gè)單純形，并知W點(diǎn)的響應(yīng)最壞，B的響應(yīng)最好。如果搜索優(yōu)化過(guò)程中函數(shù)不出現(xiàn)異常，那么搜索最優(yōu)點(diǎn)的方向明顯應(yīng)當(dāng)更靠近WB的方向，而不是靠近WC的方向。因此可以通過(guò)加權(quán)的辦法來(lái)使搜索的方向由原來(lái)的WE（反射方向）變?yōu)閃E方向（加權(quán)方向），此時(shí)用加權(quán)形心點(diǎn)O代替反射形心點(diǎn)O第三十張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7-5 單純形優(yōu)化的參數(shù)選擇在試驗(yàn)中，我們只研究?jī)?yōu)化條件，可用基本

14、單純形法時(shí)，首先必須確定研究的因素由于單純形法不受因素的限制，考察的因素可以相對(duì)的多些因素確定后，據(jù)分析儀器和試驗(yàn)要求，規(guī)定因素變化的上下限，據(jù)上下限的范圍確定步長(zhǎng)的大小。步長(zhǎng)較大，優(yōu)化速度加快，精度較差；步長(zhǎng)太小試驗(yàn)次數(shù)增多，優(yōu)化速度變慢第三十三張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、試驗(yàn)指標(biāo)試驗(yàn)指標(biāo)是用于衡量和考核試驗(yàn)響應(yīng)的各種數(shù)值在分析測(cè)試中可將儀器響應(yīng)值作為試驗(yàn)指標(biāo)，但有時(shí)須轉(zhuǎn)換稱其它的數(shù)量，試驗(yàn)指標(biāo)是數(shù)量化的，以便直接比較結(jié)果的大小第三十四張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、初始單純形的構(gòu)成本章第一節(jié)介紹的方法是根據(jù)初始點(diǎn)和步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算初始單純形的各個(gè)頂點(diǎn)，各因素的步長(zhǎng)

15、是相同的實(shí)際過(guò)程中，各因素步長(zhǎng)和單位并不相同，利用這種方法會(huì)變得很麻煩，在實(shí)際應(yīng)用中問(wèn)題較多我們介紹下述兩個(gè)構(gòu)成初始單純形的方法第三十五張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（一）long系數(shù)表法D.E.Long提出一種用系數(shù)表構(gòu)成初始單純形各頂點(diǎn)的方法，可以解決試驗(yàn)設(shè)計(jì)中初始單純形的構(gòu)成問(wèn)題使用時(shí)把表中的對(duì)應(yīng)值乘上該因素的步長(zhǎng)后，再加到初始點(diǎn)坐標(biāo)上第三十六張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1234567891010A B C D E F G H I J01.000.500.500.500.500.500.500.500.500.50000.8660.2890.2890.2890.

16、2890.2890.2890.2890.2890000.8170.2040.1580.2040.2040.2040.2040.20400000.7910.1580.1580.1580.1580.1580.158000000.7750.1290.1290.1290.1290.1290000000.7640.1090.1090.1090.10900000000.7560.0940.0940.094000000000.7500.0830.0830000000000.7450.07500000000000.742因素頂點(diǎn)Long系數(shù)表第三十七張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例：有一個(gè)二因素的

17、設(shè)計(jì)過(guò)程，其初始點(diǎn)為(10.0,2.0)；步長(zhǎng)為1.0和0.5，據(jù)Long系數(shù)表來(lái)計(jì)算其余兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)頂點(diǎn)1： （10.0,2.0）頂點(diǎn)2： （10.0+1.001.0，1.0+00.5） =（11.0,2.0）頂點(diǎn)3： （10.0+0.51.0，2.0+0.8660.5） =（10.5，2.433）第三十八張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（二）均勻設(shè)計(jì)表法利用Long系數(shù)表法所構(gòu)成的初始單純形各頂點(diǎn)在空間的分布是不均勻的，因此進(jìn)行的是不均勻優(yōu)化均勻設(shè)計(jì)表改變了這個(gè)缺點(diǎn)，使各頂點(diǎn)在空間均勻分布，這樣進(jìn)行的優(yōu)化就是整體的均勻優(yōu)化據(jù)所選因素的因素?cái)?shù)，確定一個(gè)比較合適的均勻表，使用時(shí)把表

18、中的對(duì)應(yīng)數(shù)值乘以響應(yīng)因素的步長(zhǎng)，加到初始點(diǎn)坐標(biāo)上即可第三十九張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例：我們有一個(gè)四因素的優(yōu)化過(guò)程，因此可以選用四因素的均勻設(shè)計(jì)表。設(shè)初點(diǎn)為(1.0,1.0,1,0,1.0);步長(zhǎng)為0.5,1.0,1.5,2.0。要求計(jì)算初始單純形的各頂點(diǎn)第四十張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四因素均勻設(shè)表U5(54)第四十一張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月頂點(diǎn)1：（1.0+1 0.5,1.0+2 1.0, 1.0+3 0.5,1.0+4 2.0）=（1.5,3.0,5.5,9.0）頂點(diǎn)2：（1.0+2 0.5,1.0+4 1.0, 1.0+1 0.5,1.0+32.0）=（2.0,5.0,2.5,7.0）頂點(diǎn)3：（1.0+3 0.5,1.0+11.0, 1.0+4 0.5,1.0+2 2.0）=（2.5,2.0,7.0,5.0）第四十二張，PPT共五十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月頂點(diǎn)4：（1.0+4 0.5,1.0+3 1.0, 1.0+2 0.5,1.0+1 2.0）=（3.0,4