新高考2021屆高考數(shù)學(xué)小題必練17新定義類創(chuàng)新題(含答案)

1、 高考數(shù)學(xué)小題必練高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持以能力為立意，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和數(shù)學(xué)思想以“新定義”為背景的創(chuàng)新試題，通過(guò)在試題中給出新的定義，考查學(xué)生的現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)能力(即自學(xué)能力)、閱讀理解能力、探究與猜想等創(chuàng)新能力，并考查類比遷移、數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法1【2020全國(guó)II卷】0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用,若序列aia2a滿足ae0,1(7=1,2,),12ni且存在正整數(shù)m，使得a二a(i二l，2，)成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足a二a(i二l，2，)的i+mii+mi最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期，對(duì)于周期為m的0-1序列a1a2a，12n1nC(k)=工aa(k

2、=1,2，,m-1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足m1i+ki=1C(k)5(k=1，2,3,4)的序列是()A11010B11011C10001D11001【答案】c【解析】由a=a知，序列a的周期為m，由已知，m=5，C(k)=工aa,k=1，2,3,4,TOC o 1-5 h zi+mii5ii+ki=1對(duì)于選項(xiàng)A,C(1)=工aa=(aa+aa+aa+aa+aa)=x(1+0+0+0+0)=,5ii+151223344556555i=115112C(2)=乙aa=(aa+aa+aa+aa+aa)=x(0+1+0+1+0)=，不滿足;5ii+2513243546

3、5755i=1對(duì)于選項(xiàng)B,15113C(1)=乙aa=(aa+aa+aa+aa+aa)=x(1+0+0+1+1)=，不滿足;5ii+15122334455655i=1對(duì)于選項(xiàng)D,15112C(1)=faa二(aa+aa+aa+aa+aa)=x(1+0+0+0+1)，不滿足，5ii+15122334455655i1故選c.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，涉及到周期數(shù)列，根據(jù)定義將各選項(xiàng)一一代入，然后分別判斷即可2.【2020山東卷】信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2，,n,且P(X=i)=p0i=1,2,n)，工p1，定義X的信息熵H(X)工plogP，()ii

4、i2ii=1i=1若n1，則H(X)=0若n2，則H(X)隨著p的增大而增大i若P-(i1,2,n)，則H(X)隨著n的增大而增大in若n2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,m,且P(Y=j)=p+p(j=1,2,m)，/2m+1j則H(X)%ii2m+1i11由于p0(i=1,2,2m)，所以一ipp+pii2m+1i11所以p.-log2p：”log2-，所以H(X)H(Y)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤，i2pi2p+pii2m+1i故選AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義“信息熵”的理解和應(yīng)用，需要結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式性質(zhì)進(jìn)行求解考島槨橄一、單選題.1設(shè)向量a=(a1，b1)，b=(行b2

5、)，定義一種運(yùn)算“”向量ab=(a1，b1)叫b2)=(咕吐2)，TOC o 1-5 h z1n已知m=(2,2)，n=(-,0)，點(diǎn)P(x，y)在y=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)且滿足OQ=mOP+n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則y=f(x)的最小值為()1A.1B.2C.2D.-2【答案】B【解析】由題意知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,sinx)，n1n則OQ=mOP+n=(-x,2sinx)+(,0)=(x+,2sinx)，323又因?yàn)辄c(diǎn)Q在y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足y=f(x)的解析式,方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為廣(x),

6、廣(x)在(a,b)的導(dǎo)函數(shù)為廣(x),即f(2x+3)=2sinxnf(x)=2sin(2x3)，所以函數(shù)y=f(x)的最小值為-2, 故應(yīng)選B2.數(shù)列a滿足：對(duì)任意的neN*且n3，總存在i,jgN*，使得a二a+a(i豐j,in,j3)，所以數(shù)列2n是“T數(shù)列”；nnin-i令a二n2，則a二1，a二4，a二9，所以a豐a+a，所以數(shù)列n2不是“T數(shù)列”；ni233i2令a二3，則a二3，a二9，a二27，所以a豐a+a，所以數(shù)列3“不是“T數(shù)列”；n-1=(15)n-2+n-1，則a=nn123312n-3=a+a(n3)，n-1n-2所以數(shù)列(-)n-1是“T數(shù)列”，2綜上，“T數(shù)列

7、”的個(gè)數(shù)為2.ab3.在R上定義運(yùn)算：廣ad-becdx-1若不等式a+1、多選題.a31對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列實(shí)數(shù)a的x描述中正確的有()A.a有最大值2Da有最小值一，2-THC.a有最小值2【答案】BC【解析】原不等式等價(jià)于x(x1)-(a3)(a+1)1，即x2-x-1(a+1)(a-3)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,又x2-x-1=(x-卜-4-4，:-4a2-2a-3，解得弓ab45定義運(yùn)算ab=|則關(guān)于正實(shí)數(shù)x的不等式4(x+)V5(2x)的解集為.b,aVbx【答案】(Z)44.4(x+)=x+，xxfa,ab40Vx2【解析】,ab=|b,vb，+匚45,同理可得5(2x)=2x,

8、4不等式4(x+)V5(2x)的解集為(1,+x).x6設(shè)全集U=1,2,3,4,5,6，用U的子集可表示由0，1組成的6位字符串，如：2,4表示的是第2個(gè)字符為1，第4個(gè)字符為1，其余均為0的6位字符串010100，并規(guī)定空集表示的字符串為000000.(1)若M=2,3,6，則M表示6位字符串為(2)若A=1,3，集合AB表示的字符串為101001，U則滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)為個(gè).U【答案】100110，4【解析】M表示的6位字符串是011001，則M表示的6位字符串為100110；U若A=1,3，集合AB表示的字符串為101001，集合B可能是6，#6，3,6，1,3,6，故滿足條件的集

9、合B有4個(gè).7丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式若在(a,b)上f(x)0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凸函數(shù)”已知f(x)=弋-x3+-x2在(1,4)432上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)-的取值范圍是51【答案】,+8)8【解析】f(x)=x3-tx2+3x，f(x)=3x2-2tx+3，函數(shù)f(x)=乂-x3+-x2在(1,4)上是“凸函數(shù)”，.在(a,b)上,f(x)0恒成立，432313x22tx+3(x+)，2x31令g(x)=(x+)，顯然g(x)在(1,4)上單調(diào)遞增，2x5151g(x)xf(x)+xf(x)，1211221221則稱f(x)為“H函數(shù)”.給出下列函數(shù)：y=x3+x+1:y=3x2(sinxcosx)y=ex+1；廠InIxI,x豐0f(x)=L“，其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)是.0,x=0【答案】【解析】對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x，x，不等式xf(x)+xf(x)xf(x)+xf(x)恒成立，1211221221不等式等價(jià)為(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，即函數(shù)f(x)是定義在R上的不減函數(shù)(即無(wú)遞減區(qū)間).函數(shù)y=x3+x+1，則y=2x2+1，在一“，”函數(shù)為減函數(shù)，不