多項式理論及多項式除法課件

1、高一數(shù)學拓展講座第1講：多項式理論及多項式除法一、一元多項式理論 多項式是代數(shù)學中的一個基本概念，也是代數(shù)式中的一種，對代數(shù)式的研究都要歸結于對多項式的研究。多項式的恒等變形是解析式恒等變形的基礎，它把數(shù)系的通性推廣到整式，使運算對象由具體的數(shù)抽象為一般字母并把運算法則、運算律抽象成一組形式化符號，形成嚴密的理論體系，為解代數(shù)方程奠定了理論基礎。（一）一元多項式理論 1、一元多項式的標準形式 多項式理論是方程理論、函數(shù)理論、不等式理論的基礎。2、多項式的恒等定理1：數(shù)域F上的兩個具有相同變數(shù)字母的多項式，如果對于變數(shù)字母的所有取值，這兩個多項式的值都相等，那么稱這兩個多項式是恒等的。 特別地：

2、一個一元n次多項式，如果對于變數(shù)字母的任意取值，以標準形式給出的多項式的值恒為0，那么這個多項式的系數(shù)都等于0，這個多項式稱為0多項式。 定理2：數(shù)域F上以標準形式給出的兩個多項式恒等的充要條件是這兩個多項式的對應項分別具有相同系數(shù)的同類項。定理3：數(shù)域F上以標準形式給出的兩個多項式，對于變數(shù)x的n+1個不同的值有相同的取值，那么這兩個多項式恒等。 定理2、定理3是“待定系數(shù)法”的理論依據。3、多項式的整除 因式分解的理論基礎是因式定理 4、多項式的因式分解 中學教材規(guī)定：“把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫做多項式的因式分解”。要求：“因式分解要進行到不能再分解為止。” 高等代數(shù)中規(guī)定因

3、式分解的涵義是：“所謂因式分解是把數(shù)域F上的一個多項式化成幾個既約多項式乘積的形式?！标P于因式分解理論，有兩個基本問題：（1）怎樣判斷一個多項式是否可約？（2）如果一個多項式是可約的，如何分解？ 對于（1）高等代數(shù)作出了回答：在復數(shù)域中，一次多項式是既約的，任何次數(shù)大于1的多項式都是可約的；在實數(shù)域中，次數(shù)大于等于3的多項式是可約的；在有理數(shù)域中，情況比較復雜，具體問題具體討論 。分解因式中的兩個有用的結論：多項式的長除法Polynomial Long Division 介紹兩個多項式的除法有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)中的假分式也可以通過長除法化為多項式與真分式的和。正如假分數(shù)可以通過除法化為整數(shù)與真分數(shù)之和：例如假分式真分式多項式有理函數(shù)中的假分式也可以通