復(fù)變函數(shù)和積分變換第二版本41復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)課件

1、第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.3 泰勒級(jí)數(shù)4.4 洛朗級(jí)數(shù)4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)序列二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)序列1. 基本概念定義設(shè) 為復(fù)數(shù)，稱 為復(fù)數(shù)序列。極限如果對(duì)任意給定的 e 0，相應(yīng)地存在自然數(shù) N，設(shè) 為一復(fù)數(shù)序列，又設(shè) 為一確定的復(fù)數(shù)，當(dāng) n N 時(shí)，總有 | zn - a | e 成立，或或稱 a 為復(fù)數(shù)序列 的極限，收斂于復(fù)數(shù) a，則稱復(fù)數(shù)序列記作使得一、復(fù)數(shù)序列2. 復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件則 的充要條件是定理設(shè)證明必要性 “ ”若則當(dāng) 時(shí)， P78定理 4.1 則 的充要條件是一、復(fù)數(shù)序列2. 復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件定理設(shè)

2、證明充分性 “ ”則當(dāng) 時(shí)，若解由 或 發(fā)散，即得 也發(fā)散。已知故序列 收斂。附考察實(shí)序列 的收斂性。(其中 見(jiàn)上例)根據(jù)復(fù)數(shù)模的三角不等式有注(1) 序列 收斂序列 收斂；(2)例設(shè)討論序列 的收斂性。解即序列 收斂。二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 基本概念定義設(shè) 為一復(fù)數(shù)序列，(1) 稱 為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，(2) 稱 為級(jí)數(shù)的部分和；并且極限值 s 稱為級(jí)數(shù)的和；(3) 如果序列 收斂，即則稱級(jí)數(shù)收斂，(4) 如果序列 不收斂，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。簡(jiǎn)記為二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件級(jí)數(shù) 和 都收斂。則級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是定理設(shè)證明令 和 分別為級(jí)數(shù)和 的部分和，則級(jí)數(shù) 的部分和即得級(jí)數(shù) 收

3、斂的充要條件是 和 都收斂。由于序列 收斂的充要條件是 和 都收斂， P80定理 4.1 二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件則 收斂的必要條件是定理設(shè)等價(jià)于因此 收斂的必要條件是證明由于級(jí)數(shù) 收斂的充要條件是 和 都收斂，而實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 和 收斂的必要條件是：P80 定理4.3 級(jí)數(shù) 收斂，解但級(jí)數(shù) 發(fā)散，因此級(jí)數(shù) 發(fā)散。(幾何級(jí)數(shù) 時(shí)收斂)( p 級(jí)數(shù) 時(shí)發(fā)散)P81 例4.2 部分 解由于級(jí)數(shù) 和 均為收斂，(絕對(duì)收斂)故有級(jí)數(shù) 和 均收斂，即得級(jí)數(shù) 收斂。記為 在復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中是否也能引入絕對(duì)收斂的概念呢？P81 例4.2 部分 4. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義(1) 若 收斂，則稱 絕對(duì)收斂。(2) 若 發(fā)散， 收斂，則稱 條件收斂。由 收斂，證明收斂，定理若 收斂，則 必收斂。又根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法可得，和 均收斂，和 均收斂，收斂。P81 P80 定理4.4 解由于即 絕對(duì)收斂，故 收斂。分析由于 發(fā)散，( p 級(jí)