10個典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問題

1、 -10 個典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問題解決幾何最值問題的通常思路兩點之間線段最短；直線外一點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊重合時取到最值是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個定理靠攏進而解決問題；直接調(diào)用根本模型也是解決幾何最值問題的高效手段幾何最值問題中的根本模型舉例BBAAP圖形AlllPMNB軸對稱最值原理特征ll， 為定點， 為定直線，l， 為定點，為定直線，為直線 上的一個動AP BP點，求| - |的最大值PlMNlAP BP個動點，求最小值+的線段，求值先平移或N重合，

2、然后作其中一個 作其中一個定點關(guān)于定轉(zhuǎn)化圖形lllA折疊最值BNCAB BCBMN MN沿 翻折，特征轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化成求二、典型題型BBAB，求 AB的最小值的最小值A(chǔ)B BN NC+PAOBM N內(nèi)一定點，點 、 分別在邊OA OB 上運動，假設(shè)AOB=45， =3 2 ，OP1如圖：點 是、則PMN的周長的最小值為OA OBPC D的對稱點 ， 連接OC OD M N CD OA OB則當(dāng) ， 是 與 ，【分析】作 關(guān)于，的交點時，PMN的周長最短，最短的值是CD 的長根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解POA OBC D的對稱點 ， 連接OC ODM N CD OA

3、OB【解答】解：作 關(guān)于時，PMN的周長最短，最短的值是PC OA，則當(dāng) ， 是與，的交點CD的長關(guān)于COP=2同理，DOP=2COD=COP+DOP=2AOP+BOP=2AOB=90， =COD是等腰直角三角形對稱，AOP OC OP， =BOP OP OD， =OC OD則CD= 2 OC= 2 3 2 =6.z. -【題后思考】此題考察了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解PMN周長最小的條件是解題的關(guān)鍵PABNa2如圖，當(dāng)四邊形的周長最小時， =AB PNPA NBPA NB的長度就行了問題就是 + 什么時候【分析】因為，的長度都是固定的，所以求出 +最短BBB*BAB*PN把 點向左平移

4、2 個單位到 點；作 關(guān)于 軸的對稱點 ，連接 ，交 軸于 ，從而確定 點PA NB位置，此時+最短y k* b a的解析式為 = + ，待定系數(shù)法求直線解析式即可求得 的值A(chǔ)B設(shè)直線【解答】解：將 點向左平移 2 單位與 重合，點 向左平移 2 單位到 2，1，NPBBB*BB作 關(guān)于 軸的對稱點 ，根據(jù)作法知點 2，1，AB y k* b設(shè)直線的解析式為 = + ， k b1 2kb則，解得 =4， =73 k b777y *y*Pa =4 7當(dāng) =0 時， = ，即 ，0， = 4447故答案填： 4*【題后思考】考察關(guān)于 軸的對稱點，兩點之間線段最短等知識A B AMABBN=1，且

5、MN=4，P3如圖， 、 兩點在直線的兩側(cè)，點 到直線的距離 =4，點 到直線的距離PA PB為直線上的動點，| |的最大值為BlBPB PBPA PBPA PBPN PM和 的值然后根據(jù)勾股定理求得A BP【分析】作點 于直線 的對稱點 ，則 = 因而| |=| |，則當(dāng) ， 、 在一PA PB條直線上時，| |的值最大根據(jù)平行線分線段定理即可求得PA PB PA PB、 的值，進而求得| |的最大值BlBABl P【解答】解：作點 于直線 的對稱點 ，連 并延長交直線 于 B N BN = =1，DB D AM過 點作 ，利用勾股定理求出A B=5PA PB| |的最大值=5【題后思考】此

6、題考察了作圖軸對稱變換，勾股定理等，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵4動手操作：在矩形紙片ABCD AB AD BCAA中， =3， =5如下圖，折疊紙片，使點 落在邊上的 處，AB、PQABC邊上移動，則點 在【分析】此題關(guān)鍵在于找到兩個極端，即 取最大或最小值時，點 或 的位置經(jīng)實驗不難發(fā)現(xiàn)，P B BA Q D BAP Q P Q折痕為AD，當(dāng)點 在邊上移動時，折痕的端點 、 也隨之移動假設(shè)限定點 、 分別在BCA邊上可移動的最大距離為BAP QA分別求出點 與 重合時， 取最大值 3 和當(dāng)點 與 重合時， 的最小值 1所以可求點 在BC邊上移動的最大距離為 2P BBA【解答】解：

7、當(dāng)點 與 重合時， 取最大值是 3，Q D A C當(dāng)點 與 重合時如圖，由勾股定理得 =4，此時BCBA取最小值為 1A則點 在故答案為：2邊上移動的最大距離為 31=2【題后思考】此題考察了學(xué)生的動手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識，難度稍大，學(xué)生主要缺乏動手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯誤ABCD AD AB AB AB AD 上，將AEF， ， =8， = =4，點 、 分別在線段 、AD CDE F5如圖，直角梯形紙片EFAPPABCD內(nèi)部時，PD沿翻折，點 的落點記為 當(dāng) 落在直角梯形的最小值等于【分析】如圖，經(jīng)分析、探究，只有當(dāng)直徑EF最大，且點 落在ABD 上時，PD最小；根據(jù)勾

8、股定理求出BD的長度，問題即可解決【解答】解：如圖，PPA當(dāng)點 落在梯形的內(nèi)部時， = =90，四邊形PFAE是以 EF為直徑的圓內(nèi)接四邊形，.z. -AEB此時 與點 重合；由題意得： = =8，【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法，以考察全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運動過程中的*一瞬間，動中求靜，以靜制動ABCDA B，BDO上運動，矩形 =2， =1，運動過程中，點 到點 的最大距ABCD的形狀保持不變，其中 AB離為ABEOD OE DE OE AB、 、 ，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 = ，【分析】取EABE、

9、=90， =2AB1A B=1，2OD OE DE根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，+，ODE當(dāng)故答案為： 2 +1【題后思考】此題考察了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)OD AB2過AB 的同側(cè)作等腰直角ACD7如圖，線段、DE22AC * BC*C D=*4 ，根據(jù)勾【分析】設(shè)= ， =4 ，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出22*【解答】解：設(shè)22* CD， =*4 ，2211DE CD CE* * * * *2+ 4 2= 24 +8= 22+4，2=2+2=22根據(jù)二次函數(shù)的最值，DE*當(dāng) 取 2 時，故答案為：2取最小值，最小值為：4【題后思考】此題考察了二次函

10、數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值.z. -ABCDAB BC CD BDAP Q K8如圖，菱形中， =2， =120，點 ， ， 分別為線段 ， ， 上的任意一點，則PK QK+的最小值為PBDPP Q BD【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點 關(guān)于的對稱點 ，連接 與的交點即為所P Q CD PK QK的最K求的點 ，然后根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知 時+小值，然后求解即可ABA【解答】解：如圖， =2， =120，3PCD的距離為 2點 到= 3 ，2PK QK +的最小值為 3 故答案為：3【題后思考】此題考察了菱形的性質(zhì)

11、，軸對稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵ABCDP BC的邊長為 1，點 為邊B C B C D上的任意一點可與 、 重合，分別過 、 、9如下圖，正方形APBCDBBCCD D的取值范圍是作射線【分析】首先連接的垂線，垂足分別為 、 、 ，則 + +11AC DP， 由正方形ABCD的邊長為 1，即可得：SSADP= ，正方形 ABCD221211SSSSAP BBCCDDAPABP+ ACP= ABC= ，繼而可得 + +=1，又由 1 ，即2正方形 ABCD22可求得答案AC DP， 【解答】解：連接ABCD是正方形，正方形 ABCD的邊長為

12、 1，四邊形AB CD S = ， 正方形 ABCD=1，11121SADP=S= ， ABP+ ACP= ABC=SSSS= ，正方形 ABCD正方形 ABCD222SADP+ ABP+ ACP=1，SS111212AP BB +AP CC +AP DD=AP BB D D=1， + +CC222BB DD=+ +CC則，APAP1 2 ，P B當(dāng) 與 重合時，有最大值 2；P C當(dāng) 與 重合時，有最小值 2 2 + +DD2BBCCBB D D2故答案為： 2 + +CCAC【題后思考】此題考察了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接 ，2DP，根據(jù)題意得到SADP+ ABP+ ACP=1，繼而得到 + +SSBBCCD D=APABCDAABABP E FCD、10如圖，菱形中， =60， =3， 、 的半徑分別為 2 和 1， 、 、 分別是邊PE PFAB 和 上的動點，則 + 的最小值是【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出 與 重合時 + 的最小值，進而求出即可【解答】解：由題意可得出：當(dāng) 與 重合時， 點在P