高中數(shù)學選修2-3配北師版-課后習題word版-第一章　計數(shù)原理§4　簡單計數(shù)問題

1、4簡單計數(shù)問題課后篇鞏固提升A組1.設集合A=0,2,4,B=1,3,5,分別從A,B中任取2個元素組成無重復數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的數(shù)共有()A.24個B.48個C.64個D.116個解析:只含0不含5的有:C21C22A33=12;(2)只含5不含0的有:C22C21A33=12;(3)含有0和5的有:當0在個位時,有C21C21A33=24;當5在個位時,有C21C21A21A22=16.共有12+12+24+16=64個.答案:C2.從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60的共有()A.24對B.30對C.48對D.60對答案:C3.將A,B,C,D,E排成一

2、列,要求A,B,C在排列中順序為“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰),這樣的排列數(shù)有()A.12種B.20種C.40種D.60種解析:(排序一定用除法)五個元素沒有限制全排列數(shù)為A55,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故除以這三個元素的全排列A33再乘以2,可得A55A332=40.答案:C4.身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍色衣服的有一人,現(xiàn)將這五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法種數(shù)為()A.24B.28C.36D.48解析:穿紅色衣服的人相鄰的排法有A22A44=48(種),同理穿黃色衣服的人相鄰的排法也有48種.而紅色、黃

3、色同時相鄰的有A22A22A33=24(種).故穿相同顏色衣服的不相鄰的排法有A55-248+24=48(種).答案:D5.某校準備參加2017年高中數(shù)學聯(lián)賽,把10個選手名額分配到高三年級的8個教學班,每班至少一個名額,則不同的分配方案共有種.解析:原問題等價于把10個相同的小球放入8個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.將10個小球排成一排,從中間9個間隙中選出7個截成8段(有C97種截法),對應放到8個盒子里,有36種放法.因此,不同的分配方案共有36種.答案:366.某書店有11種雜志,2元1本的有8種,1元1本的有3種.小張用10元錢買雜志(每種至多買1本,10元錢剛好用完

4、),則不同買法的種數(shù)為.(用數(shù)字作答)解析:由已知分兩類情況:(1)買5本2元的買法種數(shù)為C85.(2)買4本2元的、2本1元的買法種數(shù)為C84C32.故不同的買法種數(shù)為C85+C84C32=266.答案:2667.某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中有15種不合格商品.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種不合格商品必須在內,不同的取法有多少種?(2)其中某一種不合格商品不能在內,不同的取法有多少種?(3)恰有2種不合格商品在內,不同的取法有多少種?(4)至少有2種不合格商品在內,不同的取法有多少種?(5)至多有2種不合格商品在內,不同的取法有多少種?解:(1)從余下的34種商品

5、中,選取2種,有C342=561(種),故某一種不合格商品必須在內的不同取法有561種.(2)從34種可選商品中,選取3種,有C343種或者C353C342=C343=5 984(種).故某一種不合格商品不能在內的不同取法有5 984種.(3)從20種合格商品中選取1件,從15種不合格商品中選取2件有C201C152=2 100(種).故恰有2種不合格商品在內的不同的取法有2 100種.(4)選取2件不合格商品有C201C152種,選取3件不合格商品有C153種,共有選取方式C201C152+C153=2 100+455=2 555(種).故至少有2種不合格商品在內的不同的取法有2 555種.

6、(5)任意選取3件的總數(shù)有C353種,因此共有選取方式C353C153=6 545-455=6 090(種).故至多有2種不合格商品在內的不同的取法有6 090種.B組1.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24解析:插空法.在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個空檔中選出3個插入3人即可.故排法種數(shù)為A43=24.故選D.答案:D2.任取三個互不相等的正整數(shù),其和小于100,則由這三個數(shù)構成的不同的等差數(shù)列共有()A.528個B.1 056個C.1 584個D.4 851個解析:先確定等差數(shù)列的中間項,再確定第一、三項.設這三個成等差數(shù)列的數(shù)分

7、別為a,b,c.由題意得a+b+c100,即3b100,得b可以取2,3,33,共32個數(shù).第一類,b=2時,a,c的取值共有2個(a=1,c=3和a=3,c=1,對應的是兩個數(shù)列);第二類,b=3時,a,c的取值共有4個;第三十二類,b=33時,a,c的取值共有64個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,可得滿足題意的數(shù)列共有2+4+64=1 056個.答案:B3.將6名報名參加運動會的同學分別安排到跳繩、接力、投籃三項比賽中(假設這些比賽都不設人數(shù)上限),每人只參加一項,則共有x種不同的方案,若每項比賽至少要安排一人時,則共有y種不同的方案,其中x+y的值為()A.1 269B.1 206C.1 719

8、D.756解析:依題意得x=36=729,當每項比賽至少要安排一人時,先分組,有C61C51C44A22+C61C52C33+C62C42C22A33=90(種),再排列,有A33=6(種),所以y=906=540,因此x+y=1 269,故選A.答案:A4.在如圖所示的四棱錐中,頂點為P,從其他的頂點和各棱中點中取3個,使它們和點P在同一平面內,則不同的取法種數(shù)為.(用數(shù)字作答)解析:滿足要求的點的取法可分為三類:第一類,在四棱錐的每個側面上除點P外任取3點,有4C53種取法;第二類,在兩個對角面上除點P外任取3點,有2C43種取法;第三類,過點P的側棱中,每一條上的三點和與這條棱異面的兩條

9、棱的中點也共面,有4C21種取法.因此,滿足題意的不同取法共有4C53+2C43+4C21=56(種).答案:565.對一個各邊長不相等的凸五邊形的各邊染色,每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊染相同的顏色,則不同的染色方法共有種.解析:不妨假設AB邊染黃色,BC邊染紅色,若CD邊染黃色,則DE邊染藍色,AE邊染紅色,或DE邊染紅色,AE邊染藍色,共2種情況;若CD邊染藍色,則DE邊染紅色,AE邊染藍色,或DE邊染黃色,AE邊染紅色或DE邊染黃色,AE邊染藍色,共3種情況,根據(jù)對稱性,不同的染色方案共有(2+3)32=30種.答案:306.一只電子螞蟻在如圖所示的網(wǎng)格線上

10、由原點O(0,0)出發(fā),沿向上或向右方向爬至點(m,n)(m,nN+),記可能的爬行方法總數(shù)為f(m,n),則f(m,n)=.解析:從原點O出發(fā),只能向上或向右方向爬行,記向上為1,向右為0,則爬到點(m,n)需m個0和n個1.這樣爬行方法總數(shù)f(m,n)是m個0和n個1的不同排列方法數(shù).m個0和n個1共占(m+n)個位置,只要從中選取m個放0即可.故f(m,n)=Cm+nm.答案:Cm+nm7.把7個完全相同的小球放置在三個盒子中,允許有的盒子一個也不放.(1)如果三個盒子完全相同,有多少種放置方法?(2)如果三個盒子各不相同,有多少種放置方法?解:(1)因為小球完全相同,三個盒子也完全相同

11、,所以把7個小球分成三份,比如分成3個、2個、2個這樣三份放入三個盒子中,無論哪一份小球放入哪一個盒子,均是同一種放置方法,因此,只需將7個小球分成如下三份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可.所以共有8種不同的放置方法.(2)設三個盒子中小球的個數(shù)分別為x1,x2,x3,顯然有x1+x2+x3=7,于是,問題就轉化為求這個不定方程的非負整數(shù)解的組數(shù)問題,令yi=xi+1(i=1,2,3),得y1+y2+y3=10,問題又成為求不定方程y1+y2+y3=10的正整數(shù)解的組數(shù)的問題,把10個小球排成一排,在10個小球中間的9個空中,任取兩個空插入“隔板”,即可將10個球分成三組,故不定方程的解有C92=36(組).故有36種放置方法.8.已知平面,在內有4個點,在內有6個點.(1)過這10個點中的3點作一平面,最多可作多少個不同平面?(2)以這些點為頂點,最多可作多少個三棱錐?解:(1)所作出的平面有三類:內1點,內2點確定的平面,有C4