高中數(shù)學(xué)選修2-3配北師版-課后習(xí)題word版-第一章　計數(shù)原理習(xí)題課-二項式定理的應(yīng)用

1、習(xí)題課二項式定理的應(yīng)用課后篇鞏固提升A組1.(a+b)n二項展開式中與第r-1項系數(shù)相等的項是()A.第(n-r)項B.第(n-r+1)項C.第(n-r+2)項D.第(n-r+3)項解析:因為第(r-1)項的系數(shù)為Cnr-2=Cnn-r+2,所以第(n-r+3)項與第(r-1)項的系數(shù)相等.答案:D2.使3x+1xxn(nN+)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A.4B.5C.6D.7解析:由二項式的通項公式得Tr+1=Cnr3n-rxn-52r,若展開式中含有常數(shù)項,則n-52r=0,即n=52r,所以n最小值為5.答案:B3.設(shè)函數(shù)f(x)=x-1x6,x0時,ff(x)表達式的展開式中

2、常數(shù)項為()A.-20B.20C.-15D.15解析:當x0時,f(x)=-x0,則ff(x)=-x+1x6=x-1x6.Tr+1=C6r(x)6-r-1xr=(-1)rC6rx6-r2x-r2=(-1)rC6rx3-r.令3-r=0,得r=3,此時T4=(-1)3C63=-20.答案:A4.已知21010+a(0a11)能被11整除,則實數(shù)a的值為.解析:根據(jù)題意,由于21010+a=2(11-1)10+a,由于21010+a(0aC20r+1319-r2r+1,C20r320-r2rC20r-1321-r2r-1,所以3(r+1)2(20-r),2(21-r)3r,即375r(n+2)2n

3、-1(nN+,n2).證明因為nN+,且n2,所以3n=(2+1)n展開后至少有4項.(2+1)n=2n+Cn12n-1+Cnn-12+12n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n(n+2)2n-1(nN+,n2).9.求證:1+2+22+25n-1(nN+)能被31整除.證明1+2+22+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=Cn031n+Cn131n-1+Cnn-131+Cnn-1=31(Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1),顯然Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1為整數(shù),原式能被31整除.B組1.若(x

4、+y)9按x的降冪排列的展開式中,第二項不大于第三項,且x+y=1,xy0,則x的取值范圍是()A.-,15B.45,+C.-,-45D.(1,+)解析:二項式(x+y)9的展開式的通項是Tr+1=C9rx9-ryr.依題意,有C91x9-1yC92x9-2y2,x+y=1,xy0,由此得x8(1-x)-4x7(1-x)20,x(1-x)1,即x的取值范圍為(1,+).答案:D2.2 0152 015除以8的余數(shù)為()A.1B.3C.5D.7解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+C2 01512 0162 014(-1)1+C2 0152 015(-1

5、)2 015,倒數(shù)兩項和為2 0152 016-1,其除以8的余數(shù)為7,因此2 0152 015除以8的余數(shù)是7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+a8(x-1)8,則a7=.解析:x8=1+(x-1)8=C80+C81(x-1)+C87(x-1)7+C88(x-1)8,a7=C87=8.答案:84.(2x-1)10展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和為.解析:因為(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,令x=1,得a0+a1+a2+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+a10,兩式相減,可得a1+a3+a9=1-3102.答案:1-31025.設(shè)1x+

6、x23的展開式的常數(shù)項為a,則直線y=ax與曲線y=x2圍成圖形的面積為.解析:Tr+1=C3rxr-3x2r=C3rx3r-3,令r=1,得a=3,直線y=3x與曲線y=x2的交點坐標為(0,0)和(3,9),直線y=ax與曲線y=x2圍成圖形的面積S=03 (3x-x2)dx=32x2-13x303=92.答案:926.若(2x+3)4=a0+a1x+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為.解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+3)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2

7、+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=1.答案:17.求證:32n+3-24n+37能被64整除.證明32n+3-24n+37=39n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n8+1)-24n+37=364(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+24Cn+1n-24n+40=643(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+64.顯然上式是64的倍數(shù),故原式可被64整除.8.已知在二項式(axm+bxn)12中,a0,b0,mn0且2m+n=0.(1)如果在它的展開式中,系數(shù)最大的項是常數(shù)項,則它是第幾項?(2)在(1)的條件下,求ab的取值范圍.解:(1)設(shè)Tk+1=C12k(axm)12-k(bxn)k=C12ka12-kbkxm(12-k)+nk為常