必修二立體幾何初步知識點(diǎn)整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)必修二立體幾何初步知識點(diǎn)整理一、基礎(chǔ)知識（理解去記）（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體由若干個平面多邊形圍成的幾何體. 圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。 旋轉(zhuǎn)體把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（2）柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征 1.棱柱 1.1棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何

2、體叫做棱柱。1.2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系： = 1 * GB3 = 2 * GB3 四棱柱 底面為平行四邊形 平行六面體 側(cè)棱垂直于底面 直平行六面體 底面為矩形 長方體 底面為正方形 正四棱柱 側(cè)棱與底面邊長相等 正方體1.3棱柱的性質(zhì)： = 1 * GB3 側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形； = 2 * GB3 兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形； = 3 * GB3 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形； = 4 * GB3 直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對角面是矩形。補(bǔ)充知識點(diǎn) 長方體的性質(zhì)： = 1 * GB3 長方體一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)

3、上三條棱的平方和；【如圖】 = 2 * GB3 （了解）長方體的一條對角線與過頂點(diǎn)A的三條棱所成的角分別是，那么，； = 3 * GB3 （了解）長方體的一條對角線與過頂點(diǎn)A的相鄰三個面所成的角分別是，則，.1.4側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱長為鄰邊的矩形.1.5面積、體積公式：（其中c為底面周長，h為棱柱的高）2.圓柱2.1圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱. 2.2圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.2.3側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰

4、邊的矩形.2.4面積、體積公式：S圓柱側(cè)=；S圓柱全=，V圓柱=S底h=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）3.棱錐3.1棱錐有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。 正棱錐如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質(zhì)： = 1 * GB3 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比； = 2 * GB3 正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形； = 3 * GB3 正棱錐中六個元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊

5、長一半，構(gòu)成四個直角三角形。）（如上圖：為直角三角形）3.3側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。3.4面積、體積公式：S正棱錐側(cè)=，S正棱錐全=，V棱錐=.（其中c為底面周長，側(cè)面斜高，h棱錐的高）4.圓錐4.1圓錐以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。4.2圓錐的性質(zhì)： = 1 * GB3 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比； = 2 * GB3 軸截面是等腰三角形；如右圖： = 3 * GB3 如右圖：.4.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心，

6、以母線長為半徑的扇形。4.4面積、體積公式：S圓錐側(cè)=，S圓錐全=，V圓錐=（其中r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長）5.棱臺5.1棱臺用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.5.2正棱臺的性質(zhì)： = 1 * GB3 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形； = 2 * GB3 正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是正多邊形； = 3 * GB3 如右圖：四邊形都是直角梯形 = 4 * GB3 棱臺經(jīng)常補(bǔ)成棱錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.5.3棱臺的表面積、體積公式：側(cè)，（其中是上，下底面面積，h為棱臺的高）6.圓臺6.1圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底

7、面與截面之間的部分叫做圓臺. 6.2圓臺的性質(zhì)： = 1 * GB3 圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓； = 2 * GB3 圓臺的軸截面是等腰梯形； = 3 * GB3 圓臺經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來研究。如右圖：，注意相似比的應(yīng)用.6.3圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)；6.4圓臺的表面積、體積公式：，V圓臺，（其中r，R為上下底面半徑，h為高）7.球7.1球以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.或空間中，與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；7.2球的性質(zhì)： = 1 * GB3 球心與截面圓心的連線垂直于截面； = 2 * GB3

8、 （其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.7.4球面積、體積公式：（其中R為球的半徑）（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖根據(jù)最近幾年高考形式上看，三視圖的考察已經(jīng)淡化，所以同學(xué)只需了解即可1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2.三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；正視圖光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影

9、圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長，俯、側(cè)一樣寬”. （2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。3.直觀圖： 3.1直觀圖是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。 3.2斜二測法：step1：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，（即取 ）；step2：畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；step3：在坐標(biāo)系中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x

10、軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的倍.解決兩種常見的題型時應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”.（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實(shí)線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。二 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)1.平面無限延展，無邊界1.1三個定理與三個推論公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。用途：常用于證明直線在平面內(nèi).圖形語言： 符號語言：公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個平面. 圖形語言：推論1：直線與直線外的一點(diǎn)確定一個平面.

11、圖形語言：推論2：兩條相交直線確定一個平面. 圖形語言：推論3：兩條平行直線確定一個平面. 圖形語言：用途：用于確定平面。公理3：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線（兩個平面的交線）.用途：常用于證明線在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線上.圖形語言： 符號語言：圖形語言，文字語言，符號語言的轉(zhuǎn)化：（二）空間圖形的位置關(guān)系1.空間直線的位置關(guān)系：平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)。異面直線：（1）定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線異面直線； （2）判定定理：連平面內(nèi)的一

12、點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個平面內(nèi)不過此點(diǎn)的直線是異面直線。圖形語言： 符號語言：異面直線所成的角：（1）范圍：；（2）作異面直線所成的角：平移法.如右圖，在空間任取一點(diǎn)O，過O作，則所成的角為異面直線所成的角。特別地，找異面直線所成的角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(diǎn)（如線段中點(diǎn)，端點(diǎn)等）上，形成異面直線所成的角.2.直線與平面的位置關(guān)系： 圖形語言： 3.平面與平面的位置關(guān)系：（三）平行關(guān)系（包括線面平行，面面平行）1.線面平行： = 1 * GB3 定義：直線與平面無公共點(diǎn). = 2 * GB3 判定定理：（線線平行線面平行）【如圖】 = 3 * GB3 性質(zhì)定理：（線面

13、平行線線平行）【如圖】 = 4 * GB3 判定或證明線面平行的依據(jù)：（ = 1 * roman i）定義法（反證）：（用于判斷）；（ = 2 * roman ii）判定定理：“線線平行面面平行”（用于證明）；（ = 3 * roman iii）“面面平行線面平行”（用于證明）；（4）（用于判斷）；2.線面斜交： = 1 * GB3 直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角?！救鐖D】 于O，則AO是PA在平面內(nèi)的射影， 則就是直線PA與平面所成的角。范圍：，注：若，則直線與平面所成的角為；若，則直線與平面所成的角為。3.面面平行： = 1 *

14、GB3 定義：； = 2 * GB3 判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行；符號表述： 【如下圖 = 1 * GB3 】 圖 = 1 * GB3 圖 = 2 * GB3 推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行符號表述： 【如上圖 = 2 * GB3 】判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：.【如右圖】 = 3 * GB3 判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2 = 4 * GB3 面面平行的性質(zhì)：（1）（面面平行線面平行）；（2）；（面面平行線線平行

15、）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。【如圖】（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）1.線面垂直 = 1 * GB3 定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。 符號表述：若任意都有，且，則. = 2 * GB3 判定定理：（線線垂直線面垂直） = 3 * GB3 性質(zhì)：（1）（線面垂直線線垂直）；（2）； = 4 * GB3 證明或判定線面垂直的依據(jù)：（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；（3）（較常用）；（4）；（5）（面面垂直線面垂直）常用； = 5 * GB3 三垂線定理及逆定理：（ = 1 * ROMAN I）斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的

16、垂線段與斜線段中，（1）斜線相等射影相等；（2）斜線越長射影越長；（3）垂線段最短?！救鐖D】；（ = 2 * ROMAN II）三垂線定理及逆定理：已知，斜線PA在平面內(nèi)的射影為OA， = 1 * GB3 若，則垂直射影垂直斜線，此為三垂線定理； = 2 * GB3 若，則垂直斜線垂直射影，此為三垂線定理的逆定理； 三垂線定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點(diǎn)到線的垂線段；【如圖】3.2面面斜交 = 1 * GB3 二面角：（1）定義：【如圖】范圍： = 2 * GB3 作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常用）；（3）垂面法.3.3面面垂直（1）定義：若二面角的平面角為，則；（2）判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.（線面垂直面面垂直）（3）性質(zhì)： = 1 * GB3 若，二面角的一個平面角為，則； = 2 * GB3 （面面垂直線面垂直）； = 3 * GB3 . = 4 * GB3 二、基礎(chǔ)題型（必懂）1、概念辨析題：（1）此題型一般出現(xiàn)在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。（2）對于判斷線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問題，必須在熟練掌握有關(guān)的定理和性質(zhì)的前提下，利用長方體，正方體，實(shí)物等為模型來進(jìn)行判斷。你認(rèn)為正確的命題需要證明它，你