福建省長泰一中高考數學一輪復習學案《空間向量的坐標運算》

1、鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生.鑼第2課時空間向量的坐標運算基礎設a=(玄1，曰2，日3),b=(bi,b2,b3)ab=a=-ab=.aIIb=；a_b：二設A=(xi,yi,Zi),B=(X2,y2,Z2)AB=AB的中點M的坐標為典型例1.若=b(23:5(1)若dwdD，求實數k的值;若左D丄心一3d求實頻;:的值；若|玄-耳取得最小值，求實數;:的值+a變式訓練1.已知O為康點，向g0A=(3i：0.11.OB=(-14*2)tOCOABCffOA,求ACTOC o 1-5 h z解：設OC=：x,y,z,BC=：x1,y-1,z-2,I)，即3x+z=0,x+1=3兀,y-1=0,

2、z-2=.OC_OA,BCIIOA，二OCOA=0,BCOAR,3xz=0,x1,y-1,z-23,0,17211解此方程組，得x=_,y=1,z=，扎=一101010例2.如圖，直三棱柱ABCABC，底面-ABC中,CACB=1,BCA-90，棱AAi=2,MN分別AB、AlA是的中點.求BM的長；求cosBA1,CB1的值;求證:解：以C為原點建立空間直角坐標系O_xyz.依題意得B(0,1,0),M(1,0,1).BM(10)2(01)2(10)2二3.依題意得A(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B(0,1,2).BA1=(1,1,2),CB；=(0,1,2),BA1C

3、B1=3,|bA1=%：6,CB=弱cos叮BA1,CB1BA1CB1730證明：依題意得C(0,0,2),汕舄,2),二心(71,73=坍,0).11.A|BGN0=0”A1B_C1N22變式訓練2.在四棱錐p-ABCD中，底面ABCD為矩形,処猿尹丄底面ABC)A3=忑,BC=bPA-2.E為PD的中點.卩11-在側面PAB內找一點X,便XE丄面PAG；并求出V點到AB和衛(wèi)的距禹求中飾點丫到平面PC的距離心解=H；建立空間直角坐標系A-3D?,則扣BsC、DsPsE的坐標分別是心屯如B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、P(o,0,2)、E(0,1,1)，依題設N(x,0,

4、z)，則ne=(x,2,1z)，由于NEL平面PACNEAP=0-NEAC=0z1=0用昌91(A,2,1J)(0,0,2)71廠=(A,2,1J)(、3,1,0)即點N的坐標為(；，0,1)從而N到ABAP的距離分別為1，63.設N到平面PAC的距離為d,則d=|NANE|NE|I.31,0J)6,2,0)I1(-二,0)1例3.如圖，在底面是棱形的四棱錐P-ABCD中,.ZABC=60,PA=AC=a,PB=PD=2a，點E在PD上，且PE:ED=證明PA_平面ABCD；求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角1的大?。辉诶釶C上是否存在一點F,使BF/平面AEC?證明你的結論.(1)證明

5、略；易解得V-30；解(1)解:PEDBC以A為坐標原點，直線ad,ap分別為y軸、z軸，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系(如圖)由題設條件，相關各點的坐標為3i3iA(0,0,0),B(2a,-2a,0),C(2a,2a,0)D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,2a,1a)-3所以AE.(0,2a,1a),33“.31AC=(2a,2a,0)，AP=(O,O,a),P=3a,la,-a)22BP=（-日冷日占），設點F是棱PC上的點，PF，=XfC=（f翩舟加，“），其中0龍九d，31112貝廿BF=BP+PF=(a(k_1),_a(1+力,a(1勸.令BF=A

6、C+AE得Ja(1十爪=-a+_a扭F是PC的中點時,解得.叮2；，即=2時，bf一2ac2ae.亦即BF,AC,AE共面，又BF二平面AEC，所以當F是PC的中點時，BF/平面AEC.pAB=4,BC例4.如圖，多面體是由底面為ABCD勺長方體被截面AEF（所截而得，其中1,BE=3,CF=4.求EF和點G的坐標；求GE與平面ABCD所成的角；求點C到截面AEFG勺距離.解：(1)由圖可知：A(1,0,0),B(1,4,0),E(1,4,3),F(0,4,4)二EF=(_1,0,1)又AG=EF，設G(0,0,z)，則(1,0,z)=(1,0,1)z=1G(0,0,1)平面ABCD勺法向量D

7、G=（0,0,1）.GE=（1,4,2），設GE與平面ABCD成角為R則DGGE|DG|GE|_221-21v-arcsin22121設n0丄面AEFGn0=（X。，y。，Z）Tn丄AG,n丄AE，而AG=(1,0,1),AE=(0,4,3)0七0=04y址0=0X0=Z03yZ0、4-n=(z.4Z0z)取Z0=4,則no=(4,-3,4)CF.(0,0,4).dJCFn0|1641Ino|41164141變式訓練4.如圖四棱錐PABCDb,底面ABC是平行四邊形，PGL平面ABCD垂1足為G,G在AD上,且P*4,AGGD,BG丄GCGB=GC=2,E是BC的中點.3求異面直線GE與PC所

8、成的角的余弦值；求點D到平面PBG的距離；即點C到截面AEFG的距離為PF若F點是棱PC上一點，且DF丄GC求-的值.解：(1)以G點為原點，GB、GC、GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(2,0,0),Q0,2,0),R0,0,4),故E(1,1,0),GE=(1,1,0),PC=(0,2,4)ocos:：:GE,PC=GE2=10,|GE|PC|塔2%2010GE與PC所成的余弦值為(2)平面PBG的單位法向量-33GDADBC=(-441010.n=(0,1,0)3,3,0),22點D到平面PBG的距離為|GDn|=2.33設F(0,y,z)，則DFW,y，卄(-2，2,y-3,z)oDF_GC，二DFGC=0,33即(3,y-3,z)(0,2,0)=2y-3=0,223-3-y,又PF二，PC,即(0,z4)=入(0,2,4),z=1,22331故F(0,1),PF=(0,-3),FC=(0,-1)222小結歸對于以下幾類立體幾何問題：（1）共線與共面問題；（2）平行與垂直問題；（3）夾角問題；（4）距離問題；（5）探索性問題.運用向量來解決它們有時會體現出一定的優(yōu)勢用空間向量解題的關鍵步