2022-2023學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 第四章 4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念 學(xué)案

1、第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2指數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念素養(yǎng)導(dǎo)引1.通過(guò)具體實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義(數(shù)學(xué)抽象)2.理解指數(shù)函數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)一、指數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)yax(a0，且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R【批注】關(guān)于指數(shù)函數(shù)底數(shù)的概念：(1)指數(shù)函數(shù)解析式的特征：a0，且a1；ax的系數(shù)為1；自變量x的系數(shù)為1的函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)規(guī)定a0，且a1的原因：如果a0，當(dāng)x0時(shí)，ax恒等于0，沒(méi)有研究的必要；當(dāng)x0時(shí)，ax無(wú)意義如果a0，例如y(4)x，這時(shí)對(duì)于x eq f(1,2) ， eq f(1,4) ，該函數(shù)無(wú)意義如果a1，則y1x是一個(gè)常量

2、，沒(méi)有研究的價(jià)值為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a0，且a1.診斷辨析記憶(對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”).1函數(shù)yx4是指數(shù)函數(shù). ()提示：函數(shù)yx4是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；2函數(shù)yax是指數(shù)函數(shù)()提示：當(dāng)?shù)讛?shù)a0，且a1時(shí)才是指數(shù)函數(shù)；3函數(shù)y10是刻畫(huà)的指數(shù)增長(zhǎng)變化規(guī)律()提示：.刻畫(huà)的是指數(shù)衰減的變化規(guī)律二、指數(shù)增長(zhǎng)模型設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)率為p，經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則yN(1+p)x(xN).【批注】1.如果每次的衰減率為p，其他條件不變，則yN(1p)x；2形如ykax(kR，k0；a0，且a1)的函數(shù)是刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型診斷1(教材P114例1改編)

3、若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，8)，則f(x)的解析式為()Af(x)x3Bf(x)2xCf(x) Df(x)【解析】選B.設(shè)f(x)ax eq blc(rc)(avs4alco1(a0，且a1) ，則a38，a2，所以f(x)2x.2(教材P115練習(xí)T1改編)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，則f(2)_【解析】設(shè)f(x)ax(a0，且a1)，因?yàn)閒(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，所以a24，a eq f(1,2) ，即f(x)，所以f(2) eq f(1,4) .答案： eq f(1,4) 學(xué)習(xí)任務(wù)一指數(shù)函數(shù)的概念及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)1(多選題)下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的

4、是()Ay(4)xByxCy( eq r(3) 1)xDyax2(a0，且a1)【解析】選BC.由指數(shù)函數(shù)的定義，A中底數(shù)為負(fù)，D中指數(shù)不是x，故B，C正確2若函數(shù)y(2a1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是()Aa0且a1Ba0且a1Ca eq f(1,2) 且a1 Da eq f(1,2) 【解析】選C.函數(shù)y(2a1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則 eq blc(avs4alco1(2a10，,2a11) ，解得a eq f(1,2) 且a1；3若函數(shù)y(k2)ax2b(a0，且a1)是指數(shù)函數(shù)，則k_，b_【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，得 eq blc(avs4alco1(k

5、21，,2b0，) 解得 eq blc(avs4alco1(k1，,b2.) 答案：12判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法(1)判斷的依據(jù)是指數(shù)函數(shù)的定義，即函數(shù)解析式的三個(gè)結(jié)構(gòu)特征；(2)有些函數(shù)需要對(duì)解析式變形后判斷，如y eq f(1,2x) 是指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)二指數(shù)函數(shù)的解析式及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(r(3),9) ，求f(2)的值【解題思維】觀察指數(shù)函數(shù)；f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(r(3),9) ；求值聯(lián)想f(x)ax；代入得方程；指數(shù)運(yùn)算法則

6、轉(zhuǎn)化設(shè)出方程；解出a值；指數(shù)運(yùn)算求值【解析】設(shè)f(x)ax(a0，且a1)，由f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(r(3),9) 得 eq f(r(3),9) ，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32 eq f(1,9) .求指數(shù)函數(shù)解析式的步驟(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)ax(a0且a1).(2)利用已知條件求底數(shù)a.(3)寫(xiě)出指數(shù)函數(shù)的解析式已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)( eq f(1,2) ， eq f(r(2),2) )，則f(x)_，f(2)2的值為_(kāi)【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)，把點(diǎn) eq blc(rc)(avs4al

7、co1(f(1,2)，f(r(2),2) 代入可得 eq f(r(2),2) ，解得a eq f(1,2) ，所以f(x)，所以f(2)2 eq f(1,16) .答案： eq f(1,16) 學(xué)習(xí)任務(wù)三函數(shù)模型ykax的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】(2022深圳高一檢測(cè))在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，已知經(jīng)過(guò)30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量大約為原來(lái)的6倍，那么經(jīng)過(guò)60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量大約為原來(lái)的多少倍？【解析】設(shè)湖泊中原來(lái)藍(lán)藻數(shù)量為a，則a(16.25%)306a，所以經(jīng)過(guò)60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為ya(16.25%)60a(16.25%)30236a.所以經(jīng)過(guò)60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量大約為原來(lái)的36倍關(guān)于函數(shù)ykax在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用(1)函數(shù)ykax是用來(lái)刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型，一般當(dāng)k0時(shí)，若a1，則刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)變化規(guī)律，若0a1，則刻畫(huà)指數(shù)衰減變化規(guī)律(2)解決此類(lèi)問(wèn)題可利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件確定出解析式中的系數(shù)后，利用指數(shù)運(yùn)算解題(2022昆明高一檢測(cè))某林場(chǎng)計(jì)劃第一年造林1 000公頃，以后每年比前一年多造林20%，則第四年該林場(chǎng)造林多少公頃？【解析