數學建模講座

1、數學建模講座本本講座主要目的:通過對一些簡單的數學建模過程的分析,使隊員了解數學建模的基本過程,掌握數學建模的基本知識和一些簡單常用的數學基礎知識.近期主要任務:熟悉計算機學會查閱資料,積累相應的數學與數學建模知識.數值計算的基本方法一數值微分差商代替微商利用差商代替微商的求導公式通常有向前差商公式(丄f(x+h)_f(x)fh向后差商公式f)f(x)-f(x-h)fh中心差商公式rQ)f(x+h)-f(x-h)f2h由泰勒公式很容易得到它們的余項分別為O(h)，O(h)，O(h2)，h越小近似程度越高，但是又會因有效數字損失而導致誤差增大。插值型數值微分公式(1)兩點公式n=l,過兩節(jié)點,的

2、拉格朗日插值多項式為x-xL(x)=Jy1x-x0y-y10 x-x-y-x110ff(x)uL,(x)二010h).L心)=TyiiihR,(x)=-hf電)io2oR：)=f)截斷誤差為(2)三點公式n=2拉格朗日插值多項式為x=x+ih,f(x)=yi=o,i,2，ioii()=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)xyi2yo2y02h21-h22-x)(x-x)012h2L2兩端求導得()2x-x-x2x-x-x2x-x-xLVx丿二14yo鼻y+o1y22h20h2i2h221-2h23，分別代入,(i=0,1,2)得三點公xifr(x)q(-3y+4y-y)TOC o 1-5

3、h zo2ho12fr(x)qCy+y)y0+yii2ho丿ifr(x)q(y-4y+3y)22h012截斷誤差為R,(x)=竺f(3)(g)2030ge(a,b)iRf(x)=-竺f(3)匕)2161R,(x)=竺f(3)(g)2232i=0，1，2求二階導數的三點公式為f心LLL丄(y-2y+y)匸0，1，2i2ih2012利用樣條函數求數值微分由于三次樣條函數具有很好的性質，因此用三次樣條插值函數sC)的導數近似函數的導數不僅可靠性好而且可計算非節(jié)點處導數的近似值。f(k)(X)uS(k)(X)其截斷誤差為k=1，2，f(k)(x)S()(x)=oCz4-k)如以二階導數為參數的三次樣條

4、插值函數可得數值微分公式其中i=1，2()(xx)2(xxSx丿二Mi+Mi-1ii12hi2hiifff(x)qS(x)=S(x)=-Me(x,x)i1i，ny.-y.hii1ih6i(MM)ii1xxi+Mi1hi叫1=s(x)i1xxi-1ihiMi=s心)i二數值積分在積分區(qū)間a,b取一系列點xx（k=0丄,n），設b用被積函數axxx.xbf（x）在這些點的函數值1f（丿的線性組合作為k積分近似值Jbf（x）dxiLAf（x）kkak=0稱為數值求積公式，其中n+1個點xx（k=0丄,n）成為節(jié)點，A（k=0丄,n）稱為求積系數。Rf=f(x)dxLAf(x)kkk=0稱Rf為求積公

5、式（5.1）的截斷誤差。構造數值求積公式的方法很多，常用的一個方法就是利用插值多項式p（x）來構造求積公式nJbf(xdxJbPx(=)Afx()(5.2)nkkaak=0稱為插值型求積公式。梯形公式Jbf(x)dx沁b2af(a)+f(b)a2R1f=-氣尹f)(xab,)辛浦生公式Jbf(x)dxab-a6f(a)+4f(字)+f(b)吵=-嚅f(4)01)(“ab，3復化梯形公式Jbf(x沁-f(a)+2藝f(x)+f(b)2復化梯形公式的截斷誤差為即）fL-?2凡）（E（a，b）4復化辛12浦生公式Jbf(xIfx沁f(a)+4迓f(x6二2k+1k1)+2藝f(x)+f()2kk1一

6、復化辛浦生公式的截斷誤差bR（n）f二一h4f們）耳丘（a,b）228806逐次2分880半求積法X+k-1+f(b)二k1h守(T+乞fa+n2=(k1其中hb-ah二N沁T+-(TT)=T+-(TT)TOC o 1-5 h z2N32NN2N412NN5龍貝格求積公式R=C+(CC)=43C2N一CNN2N632NN431C=S+(SS)=42S2N一SNN2N152NN421k區(qū)間等分數n=2k梯形序列T2k辛浦生序列Sk-12柯特斯序列Ck-22龍貝格序列Rk-3202o=1T1121=2TS21222=4TSC421323=8TSCR8421424=16TSCR16842525=32

7、TSCR321684三非線性方程求根1二分法2迭代法首先需要將此方程轉化為等價的方程x二g(x)將f()0轉化為等價方程(21)的方法是f(x)二0很多的定義：(迭代法)設方程為。X二g(X)選取方程根的一個初始近似，且按X下述逐次代入法，構造一近似解序列0：X=g(X)10X=g(X)21:Xk+1=g(Xk)這種方法稱為迭代法(或稱為單點迭代法)。()稱為迭代函數。g(x)如果由迭代法產生的序列和有極限k存在，即l.，則稱門為收斂或稱迭代過limx=x*)xJkT8kk程收斂。否則稱I不收斂。kpg(x)/plimx二x*/rx*=g(x*)，ksk即為方程的解(稱為函數()的不動點)。X

8、*X*g(X)設為連續(xù)函數，且，則有(2)(2)事實上，由迭代過程兩邊取極限，則有x*二limx二limg(x)=g(limx)=g(x*)k+1kk顯然，在由方程f(0轉化為等價的方f(x)=0程()時，選擇不同的迭代函數()，就會二g(x)g(x)產生不同的序列(即使初始值選擇一lxJX樣)，且這些序列的收斂情況也不會相同。定理設有方程(123則(12)x二g(x)設()于b一階導數存在;g(x)a,b當當a,b時，有；a,bg(x)ga,bb時，八滿足條件：八L.。a,bg(x)g(x)|L1x*(、在b上有唯一解；二g(x)a,b對任意選取初始值b，迭代過程xga,b0()(0,1,)

9、收斂，即lim；二g(x)(k二0,1,)limx二x*k+1kkT8k1x-x1Lk+1k4)誤差估計Lkx1-L1-xo!(k=1,2,)(3)x二g(x)(1)定理(迭代法的局部收斂性)設給定方設x為方程的解；x*設()在的鄰近連續(xù)可微且有p()1g(x)x*|g(x*)100則對任意取初值S，迭代過程()xeSx二g(x)(k012)收斂于(稱迭代過程具有局部k=0,1,2,x*收斂性)。牛頓迭代法設有非線性方程f(x)二0其中，假設f()在b上一階連續(xù)可微，且f(x)ab0；又設是的一個零點的近f(a)-f(b)0 xf(x)x*e(a,b)似值(設f,)0)?，F考慮用過曲線f()上

10、f(x)豐0y=f(x)點P(f()的0切線近似代替函數f()，即用線TOC o 1-5 h zP(x,f(x)f(x)性函數00y=f(x0)+廣(x0)(x-x0)代替f()。且用切線的零點，作為方程根的f(x)x1x*近似值，即1x*Ux1一般，若已求得過程，即得求方程算公式=x0f(x)0f(x)0，將換為，重復上述xxxkf(x)=0根的牛頓方法的計f(x)k-f，(x)k(k=0,1,2,)Ix=xIk+1k弦割法kT8如果函數f()比較復雜，求導可能有困難，f(x)這時可將牛頓公式中f7)近似用差商來代f(x)替，即)f(x)f(x)f(x)沁kk-x-xkk-1于是得到計算公式

11、：給定初值x,x01x=x-f(xk)(x-x)kH1kf(x)-f(x)kk-1kk-1四解方程組的數值方法1高斯消去法(k二1,2,)ax+axHFax1111221naxHaxHHa2112222naxHaxHHan11n22化為a(1)11a(1)12a(2)22a1na(2)2nx1x2=b1b2rna(n)nnxnbn=bnxnnnk=1,2,.n-.1,a(k)m=ik-ika(k)kka(k+1)二a(k)ma(k),(i,j二k+1,，n)ijijikkjb(k+1)二b(k)mb(k),(i二k+1,n)iiikk回代計算b(n)x=nna(n)(i=n-1,n-2,.,1

12、)nnTOC o 1-5 h zb(i)-Ya(i)xiijjx=j=ia(i)2矩陣的三角分解LUA=L-1L-1L-1A(n)12n-1L=l21l31l32ln2lnn-1U=A(n)=LA(n-1)n-1a11a(1)12a(2)22、a(1)1na(2)2nVa(n)丿3解線性方程組的迭代法設有方程組Ab，其中A為非奇異陣。解方程組的迭代法，首先需要將Ab轉化為Ax=b一個等價方程組x=Bx+f任取初始值x(0)按下述逐次代入方法構x(0)造向量序列加：xCt+1)=BxCt)+f(k=0,1,)其中B與無關，稱此迭代法為一階定常迭k代法，如果liG)，則稱此迭代法收斂且為limxQ

13、丿=x*x*解。雅可比迭代法x(0)(初始向量)x(k+1)=JxG)+f其中J=D-1(L+U),f=D-ibJ稱為Jacobi迭代法的迭代矩陣。Jacobi迭代公式的分量形式：引進記號：)為第次近似，xa)=(x(k),x(k),x(k)T/yk可寫為12nax(k+1)=bax(k)iiiiijjj=1j知x(o)=(x(0),x(0)，x(0)T112nx(k+i)=(bax(k)iaiijjiij=1、(i=1,2,.,n;k=0,1,)高斯塞德爾迭代法x(0)(初始向量)xd+1)=Gx(k)+f其中G=(DL)-1U,f=(DL)-1bG稱為GS迭代法的迭代矩陣，可寫成GS迭代法

14、的分量形式：x(k)=(x(k),x(k),x(k)T12n(DL)x(k+1)=Ux(k)+bax(k+1)=遲ax(k+1)iiiijjj=1工ax(k)+bijjij=i+1x(o)=(x(o),x(o)，x(0)Tx(k+i)=一(b-Zax(k+i)一乙ax(k)Iiaiijjijj(i=1,2,n;k=0,1,2,3解線性方程組的超松弛迭代法設已知第k次近似及第次近似的分量x(k)k+1x(k+1)(j=1,2,i-1)，輔助量：先用GS迭代法計算一個x(k+1)i(k+1)=(b一藝ax(k+1)一工ax(k)iaiijjijjiij=1j=i+1再由x()的第個分量x()與x(

15、+1)加權平均，定義x(k)ix(k)x(k+1)iix(k+1)iTOC o 1-5 h zx(k+1)=(1-W)x(k)+Wx(k+1)=x(k)+W(x(k+1)x(k)iiiiii得到解Ab的SOR方法：Ax=bx(o)=C(o),x(o)I1nx(k+1)=x(k)+(b一乙ax(+1)乙ax()iiaijjjjiij=1j=i(i=1,2，,n)其中x(k)=(x(k),x(k)T,W稱為松弛因子18.13a)或寫成x(k+1)=x(k)+Axx(k+1)=x(k)+AxiiiAx=(b-Zax(k+1)一乙ax(k)iaijjjiij=1j=i(i=12上,n),(k=0,1)

16、在SOR方法中取1，則SOR方法就是GS迭代法，當松弛因子滿足0時，0o1迭代法稱為低松弛方法。當2時迭代法稱11九I11j九=0,li)k+1ax九ii1J=2,3,4,n)得ks所以n尢lima)k+1x=02九ik充分大，就有kgj=2只要v=尢k+i(ak+111九（弋）1因此可以將尢k+1ax111作為與.相應的特征向量入vu九kax，k111(i=1,2,3,n)，其中(v)表示v的kikvu九k+iaxk+1iii所以九(v)1(v)ki的近似。由于第.個分量。用這種方法計算矩陣A的按模最大的特征值與相應的特征向量的方法就是乘冪法。另外，由于入，如果r當k趨于vu九kaxI九I1

17、無窮大時，v的分量會無限增大；知1，當k趨于無窮大時，的分量會無限趨于乙。從而V會使計算機出現上溢或下溢的現象。為了控制計算機出現的溢出現象，在實際計算時每次迭代所求得的向量都要歸一化。所以在實際的應用時采用如下公式：u，l(v)1=max(v),(k=0,1,2,)k(v)kr1jnkjkrv=Auk+1k九u(v)1k+1r2反冪法3雅可比Jacobi)方法4QR方法常微分方程數值解Idy二f(x,y)化(a)從理論上講只要方程中的f(x,y)連續(xù)且關于滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常y數L，使f(X，yi)f(X，y2)Lyi-y2I則常微分方程存在唯一解()。y二y(x

18、)微分方程數值解：就是求微分方程的解y(x)在一系列離散節(jié)點a二xxxy(v)()(i=l,2,，n)1+11uyx丿二fx,yVx丿丿hiiiy(xi+1)uy(x)+hf(x,y(x)即IJ)二y+hfx,yi+1iii數值積分法利用數值積分法左矩形公式y(x)-y(x)Jxi+if(x,y(xIdx=hf(x,y)i+lixiii可得同樣算法()y二y+hfx,y丿用泰勒(Taylor)公式y(x)=y(x+h)uy(x)+hy,(x)=y(x)+hf(x,y(x)l歐拉方法等分區(qū)間爲為份，a,bn則i+1得離散化訐算公式肝c)y二y+hfx,y丿i+liiia=xxxx二b，01n-1

19、nx=a+ihh=_i=1,2，in無論用一階向前差商，還是用數值積分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前兩項都可得到同樣的離散化計算公式y=y+hf(x,y)i+1iii代入初值則得到數值算法：fy=y+hf(x,y)G=l,2,n1)i+1i/iy0=y(a)稱其為歐拉方法。幾何上歐拉方法就是用一條折線近似表示曲線()。y=yx歐拉方法的誤差估計定義1局部截斷誤差：假設()為準y二y(x)，稱為該數值算法的局部截R二)-y斷誤差。確值，用某數值算法計算產生的誤差定義2整體截斷誤差：準確解(、與數y(x)值解的誤差，()。e二yvx丿設心有二階導數，由泰勒公式有：y(x)=y(x+h)y(x)+

20、hyr(x)+h2y)i+1i2iy+hf(x,y)+h2y)iii2i所以Ri+1=皿+i)-yi+11h2y(g)2ixgxTOC o 1-5 h ziii+12改進的歐拉方法如果用梯形公式計算積分Ixi+1f(x,y(xldx沁f(x,y(x)+f(x,y(x)xi2iii+1i+1iy=y+hf(x,y)+f(x,y)由一般i+1i2iii+1i+1R=yC)-y丄h3y)i1i1i112于此方程為y的隱式方程，不易求解。將其與歐拉方法聯合使用?？傻盟惴▂(k1)i1y(0)=_i+1h齊+2y(kJi1(k=0,1,2,；i=1,2,，n1)實際計算中,當比較小時,常取一次迭-代后的近似值(1)為,于是有改進的歐拉方y.(+11)y.+1TOC o 1-5 h z法.+1了.=yi+-f(x.,y.)I+1IIIhii卜+1=+2f(x，)+f(+1,+1)(i=o,i,2,7n龍格庫塔法。常用的四階(經典)龍格庫塔法y=y+-(K+2K+2K+K).+1.61234K=f(x,y)h1h一、i2i21丿K=fIx+-,y+hk3Li2丿i22JK=f(x+h,y+hK)4一階方程組的數值解法設初值問題yr=fG,y,z)y(x)