高考第一輪復(fù)習(xí)課件函數(shù)及其表示+5.5數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、任意唯一確定數(shù)集定義域 值域 定義域 值域 對應(yīng)關(guān)系 定義域 對應(yīng)關(guān)系 解析法 圖象法 列表法 都有唯一一個映射 函數(shù) 非空數(shù)集 D 答案 D A函數(shù)及其表示(二)陽東一中高二文科數(shù)學(xué)備課組復(fù)合函數(shù)及抽象函數(shù)定義域的求法:函數(shù)及其表示(三)陽東一中高二文科數(shù)學(xué)備課組B解求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列的實際應(yīng)用(1)解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟.審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.求解求出該問題的數(shù)學(xué)解.還原將所求結(jié)果還原到原實際問題中.具體解題步驟用框圖表示如下：（2）數(shù)列應(yīng)用題常見模型.等差模型：

2、如果增加（或減少）的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化時，應(yīng)考慮是an與an+1的遞推關(guān)系，還是前n項和Sn與前n+1項和Sn+1之間的遞推關(guān)系.判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“”或“”）.（1）在等差數(shù)列an中，首項a1、公差d、前n項和Sn、通項an、項數(shù)n，這五個元素中只要已知其中的三個，就一定能夠求出另外兩個( )（2）在等比數(shù)列an中，首項a1、公比q、前n項和Sn、通項an、項數(shù)n，這

3、五個元素中只要已知其中的三個，就一定能夠求出另外兩個( )（3）數(shù)列與不等式問題中經(jīng)常使用放縮的方法，則對nN+有 ( )（4）數(shù)列與函數(shù)問題中有時會使用導(dǎo)數(shù)的方法，證明不等式2nn時，可以構(gòu)造函數(shù)f(n)=2n-n（nN+），然后對這個函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的性質(zhì)得出所證不等式( )【解析】(1)正確根據(jù)等差數(shù)列各個元素之間的關(guān)系知正確（2）正確根據(jù)等比數(shù)列各個元素之間的關(guān)系知正確（3）錯誤 對n2才有意義（4）錯誤函數(shù)在自變量離散的地方不存在導(dǎo)數(shù)，必須先把函數(shù)的定義域拓展到連續(xù)的實數(shù)區(qū)間上才能求導(dǎo)答案：（1） （2） （3） （4）1設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2且a1,a3,a6成等

4、比數(shù)列，則an的前n項和Sn=( )(A) (B) (C) (D)n2+n【解析】選A.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則根據(jù)題意得(2+2d)2=2(2+5d)，解得 或d=0（舍去），所以數(shù)列an的前n項和2.設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為0,a1=9d.若ak是a1與a2k的等比中項，則k=( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】選B.由等差數(shù)列an且a1=9d，得ak=a1+(k-1)d=(k+8)d，a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d.又ak是a1與a2k的等比中項，則有即(k+8)d2=9d(2k+8)d得k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2（舍去）3已知x0，y0

5、，x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則 的最小值是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4【解析】選D.a+b=x+y,cd=xy,4.等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則an的公比為_【解析】設(shè)公比為q,則an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3，即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，解得答案：考向1 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【典例1】（1）已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和，且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則 =( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)10（2）（2012湖北高考）已知等差數(shù)列an前三項的

6、和為-3，前三項的積為8.求等差數(shù)列an的通項公式；若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項和. 【思路點撥】（1）由等比中項的性質(zhì)列出S22=S1S4,再代入等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，用a1和公差d表示出來，求出a1和d的關(guān)系，進(jìn)而求出式子的比值.(2)根據(jù)已知條件，列出方程求出首項和公差，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可得結(jié)果根據(jù)a2，a3，a1成等比數(shù)列確定等差數(shù)列的公差，按照項的符號分段求解數(shù)列|an|的前n項和.【規(guī)范解答】（1）選C.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d0，S1,S2,S4成等比數(shù)列，S22=S1S4,d2=2a1d,解得d=2a1或d=0（舍去）,故選C.（2

7、）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)a1+a2+a3=-3可得a2=-1，進(jìn)而得a1a3=-8，即(a2-d)(a2+d)=-8，所以1-d2=-8，解得d=3當(dāng)d=3時，a1+3=-1，得a1=-4，此時an=-4+(n-1)3=3n-7；當(dāng)d=-3時，a1-3=-1，得a1=2，此時an=2+(n-1)(-3)=-3n+5an的通項公式為an=3n-7或an=-3n+5.d=3時，a2=-1，a3=2,a1=-4,此時a2,a3,a1成等比數(shù)列；當(dāng)d=-3時，a2=-1,a3=-4,a1=2，此時a2,a3,a1不是等比數(shù)列，故an=3n-7，這個數(shù)列的第一、二兩項為負(fù)值，從第三項開始為正值方法一

8、：當(dāng)n2時，|an|=7-3n，這是一個首項為4，公差為-3的等差數(shù)列，故當(dāng)n2時，|an|=an=3n-7，此時這個數(shù)列從第三項起是一個公差為3的等差數(shù)列，故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an=(4+1)+2+5+(3n-7)所以 這個式子中n=2時兩段函數(shù)值相等，故可以寫為方法二：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Tn，則由于n2時，|an|=-an，所以此時當(dāng)n2時，Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an)所以 這個式子中n=2時兩段函數(shù)值相等，故可以寫為【互動探究】本例題（1）中將條件“S1,S2,S4成等比數(shù)列”改為“a1,a2,a4成等比數(shù)列”,結(jié)論“ ”改為“ ”，則結(jié)果如何？【

9、解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d0,a1,a2,a4成等比數(shù)列,a22=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d)a1=d,an=nd.故【拓展提升】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略（1）分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題，如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差（公比）等，確定解題的邏輯次序（2）細(xì)心運算，確定基本量的求解準(zhǔn)確無誤等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題往往要先求出數(shù)列中的基本量，才能進(jìn)行下面的計算或者推理，基本量的求解錯誤對解答這類試題是致命的失誤(3)注意細(xì)節(jié)在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否

10、有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的【提醒】在不能使用同一公式進(jìn)行計算的情況下要注意分類討論，分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合【變式備選】已知an是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和.（1）求通項an及Sn.（2）設(shè)bn-an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式及其前n項和Tn.【解析】（1）因為an是首項為a1=19，公差d=-2的等差數(shù)列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21,Sn=-n2+20n.（2）由題意知bn-an=3n-1,所以bn=an+3n-1,即bn=-2n+21+

11、3n-1.Tn=Sn+(1+3+3n-1)考向2 數(shù)列的實際應(yīng)用【典例2】（2012湖南高考）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.（1）用d表示a1，a2，并寫出an+1與an的關(guān)系式.（2）若公司希望經(jīng)過m（m3）年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.【思路點撥】（1）只要根據(jù)增長率求出當(dāng)年年底的資金總

12、額，再減去上繳的資金，就是下年度年初的資金，即可求出a1,a2，以及建立an+1與an間的遞推關(guān)系式（2）使用逐次迭代的方法或者構(gòu)造等比數(shù)列的方法均可求出數(shù)列an的通項公式an，令am=4 000即可求出d【規(guī)范解答】（1）由題意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d，（2）方法一：由（1）得整理得由題意，am=4 000,解得故該企業(yè)每年上繳資金d的值為 時，經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元.方法二：由于設(shè) 化為 與 比較可得=-2d，故 這說明數(shù)列an-2d是以a1-2d=3 000-3d為首項, 為公比的等比數(shù)列，所以即（下同方法一）【拓展提升】解答數(shù)列實際應(yīng)

13、用問題的步驟（1）確定模型類型：理解題意，看是哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模型基本特征見下表：數(shù)列模型基 本 特 征等差數(shù)列均勻增加或者減少等比數(shù)列指數(shù)增長，常見的是增長率問題、存款復(fù)利問題簡單的遞推數(shù)列指數(shù)增長的同時又均勻減少如年收入增長率為20%，每年年底要拿出a（常數(shù)）作為下年度的開銷，即數(shù)列an滿足an+1=1.2an-a （2）準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識，求數(shù)列的通項、數(shù)列的和、解方程或者不等式等，在解模時要注意運算準(zhǔn)確（3）給出問題的回答：實際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實際問題的答案，在解題中不要忽視了這點【變式訓(xùn)練】某企業(yè)去年

14、的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為萬元（n為正整數(shù)）（1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元（需要扣除技術(shù)改造資金），求An,Bn的表達(dá)式.（2）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？【解析】（1）依題意知，數(shù)列An是一個以480為首項，-20為公差的等差數(shù)列

15、，所以（2）依題意得，BnAn，即可化簡得設(shè)又nN+，f(n)是減函數(shù)，g(n)是增函數(shù)，又n4,nN+，所以至少經(jīng)過4年進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤考向3 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用【典例3】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，數(shù)列an滿足：（1）求證：ln(1+x)x.（2）證明數(shù)列 為等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式.（3）求證不等式：a1+a2+ann+ln 2-ln(n+2). 【思路點撥】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明.（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系把數(shù)列的遞推關(guān)系找出來，利用變換的方法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的關(guān)系解決.（3）根據(jù)（1）（2）

16、的結(jié)果分析探究【規(guī)范解答】（1）當(dāng)-1x0，即y=f(x)是增加的；當(dāng)x0時，f(x)0時，有xln(1+x),令則【拓展提升】數(shù)列中不等式的處理方法(1)函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式(2)放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到(3)比較方法：作差或者作商比較(4)數(shù)學(xué)歸納法：使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明【變式訓(xùn)練】（1）已知an=2n-1，求使不等式 對一切nN+均成立的最大實數(shù)p.【解析】由題意得 對nN+恒成立，記則F(n)0,F(n+1)F(n),即F(n)隨n的增大而增大,F

17、(n)的最小值為 即（2）已知an=(n+1)(2n+1)，求證：【證明】當(dāng)n=1時不等式顯然成立；當(dāng)n2時，an=(n+1)(2n+1)=2n2+3n+12(n+1)n=bn,故綜上可知，所證不等式成立 【創(chuàng)新體驗】數(shù)列與函數(shù)的珠聯(lián)璧合【典例】（2012四川高考）設(shè)函數(shù)f(x)=2x-cos x，an是公差為 的等差數(shù)列，f(a1)+f(a2)+f(a5)=5，則f(a3)2-a1a5=( )(A)0 (B) (C) (D)【思路點撥】找準(zhǔn)創(chuàng)新點給出以等差數(shù)列前5項為自變量的函數(shù)值之和尋找突破口(1)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)把f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的

18、結(jié)構(gòu)使用a3表達(dá)(2)構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定a3的值(3)將求解結(jié)果用a3表示、化簡 【規(guī)范解答】選D.f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cos a1+cos a2+cos a3+cos a4+cos a5)構(gòu)造函數(shù)函數(shù)g(x)在(-,+)上是增函數(shù)，由所以方程 有唯一解所以所以【思考點評】1.方法感悟：本題充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)化簡f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)為關(guān)于a3的表達(dá)式，通過構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，求出a3的值.這種“構(gòu)造函數(shù)”的思想，是解決

19、數(shù)學(xué)問題的重要思想.2.技巧提升：在數(shù)列與函數(shù)的綜合問題中，通過觀察分析，找出問題的特征，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)解決問題，是處理數(shù)列與函數(shù)綜合問題的基本手段之一 1.（2013太原模擬）已知數(shù)列an,bn滿足a1=b1=1,an+1-an= nN+，則數(shù)列 的前10項和為( )(A) (B)(C) (D) 【解析】選A根據(jù)已知an=2n-1，bn=2n-1，所以 所以數(shù)列 的前10項和等于2.（2012湖北高考）定義在（-，0）（0，+）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f（an）仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在（-，0）（0，+）上的如下函數(shù)：f

20、（x）=x3；f（x）=2x；f（x）=ln|x|則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的序號為( )(A) (B) (C) (D)【解析】選C. 則對于: 可知符合題意;對于: 結(jié)果不能保證是定值;對于: 可知也符合題意.對于，由于在|q|1時，不能保證 為常數(shù)，故不能保證中的函數(shù)是“保等比數(shù)列函數(shù)”.3.（2013南昌模擬）已知an是公比為q的等比數(shù)列，若a7=1，且a4，a5+1，a6成等差數(shù)列，則實數(shù)q=_.【解析】由2(a5+1)=a4+a6以及a7=1，得 解得答案：4.（2013重慶模擬）某同學(xué)利用暑假時間到一家商場勤工儉學(xué)，該商場向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；第二種，第一天付4