tjxhs2 差異量數(shù)和集中量數(shù)

1、第四單元 集中量數(shù)和差異量數(shù)（measures of cenral tendency)集中量數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：各種集中量數(shù)的含義、性質(zhì)和作用各種集中量數(shù)的計(jì)算方法各種集中量數(shù)的具體應(yīng)用1兩組學(xué)生某科的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)甲組：54、63、72、74、82、88、99乙組：67、71、73、76、79、82、842什么是集中量數(shù)？集中趨勢與離中趨勢：描述一組數(shù)據(jù)的全貌。集中量數(shù)：描述數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量。算術(shù)平均數(shù)中數(shù)百分位數(shù)眾數(shù)加權(quán)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)3表1 80名小學(xué)二年級學(xué)生身高的次數(shù)分布表10115-11610.012580110.01254一、 算術(shù)平均數(shù)(均數(shù), M, arithmetic av

2、erage/mean)（一）計(jì)算方法未歸表的原始數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)： 8、2、5、3、7已歸表的原始數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)5未歸表已歸表6兩組學(xué)生某科的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)甲組：54、63、72、74、82、88、99乙組：67、71、73、76、79、82、847（二）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏；嚴(yán)密確定；計(jì)算簡便；適合代數(shù)運(yùn)算；不易受抽樣變動影響。缺點(diǎn)：易受極值影響。算術(shù)平均數(shù)是總體平均數(shù)的做好估計(jì)值。8（三）計(jì)算和應(yīng)用平均數(shù)的條件和原則適用條件：所有數(shù)據(jù)同質(zhì)、準(zhǔn)確可靠且無極值影響。同質(zhì)數(shù)據(jù)：使用統(tǒng)一個觀測手段，采用相同的觀測標(biāo)準(zhǔn)，能反映某同一特質(zhì)的數(shù)據(jù)。平均數(shù)與個體數(shù)值相結(jié)合：要反映個體數(shù)據(jù)的差異

3、，包括分布形態(tài)。平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合：配對使用。 數(shù)據(jù)差異9二、中數(shù)(一)中數(shù)（ median，中點(diǎn)數(shù)、中位數(shù)、中值，Md/Mdn）位于一組按大小順序排列的數(shù)據(jù)中間位置上的數(shù)據(jù)。10（一）未歸表的原始數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)與偶數(shù)的情形3，5，7，8，9，11，1417，15，14，12，11，10，9，6數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)與偶數(shù)時有重復(fù)數(shù)據(jù)的情形11，11，11，11，13，13，13，17，1711，11，11，11，13，13，13，17，17，1811求中數(shù)：當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間個數(shù)為奇數(shù)時11、11、11、11、13、13、13、17、1712.513.512求中數(shù)：當(dāng)重復(fù)

4、數(shù)目位于數(shù)列中間個數(shù)為偶數(shù)時11、11、11、11、13、13、13、17、17、1912.513.513求中數(shù)：當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間（靠左）個數(shù)為偶數(shù)時11、11、11、13、13、13、15、17、17、1912.513.514表1 80名小學(xué)二年級學(xué)生身高的次數(shù)分布表10115-11610.012580110.0125（二）已歸表的原始數(shù)據(jù)計(jì)算中數(shù)129.5132.515內(nèi)插法 由小向大計(jì)算：16（三）中數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡便；不易受極值影響缺點(diǎn)：反應(yīng)不靈敏受抽樣變動影響比算術(shù)平均數(shù)大不適合代數(shù)運(yùn)算適用情況：一組數(shù)據(jù)有極值時一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)不清楚時資料屬于等級性質(zhì)時17三、眾

5、數(shù)(mode，范數(shù)、密集數(shù)、通常數(shù)，M0)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。（一）計(jì)算方法：用觀察法尋找粗略眾數(shù)未歸表：2、4、3、6、4、5、4、6已歸表：頻數(shù)最多那組的組中值18用公式計(jì)算眾數(shù)的近似值（數(shù)理眾數(shù)）皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法：W.I.King插補(bǔ)法：b 適用于偏態(tài)分布 L 為眾數(shù)所在組的下限 fa 為上一組的次數(shù) fb 為下一組的次數(shù)19Mo=Lb+fa /(fa + fb).i當(dāng)fa =fb時， fa /(fa +fb) =1/2當(dāng)fa fb時， fa /(fa +fb) 1/2當(dāng)fafb時， fa /(fa+ fb)fb時， fb/(fa +fb)1/2當(dāng)fa1/2金氏插補(bǔ)法求眾數(shù)：20

6、（二）眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡明易懂；不易受極值影響缺點(diǎn)：反應(yīng)不靈敏受抽樣變動影響較大不適合代數(shù)運(yùn)算適用情況：需要快速而又粗略尋找一組數(shù)據(jù)的代表值時當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)時當(dāng)一組數(shù)據(jù)有極值時分析一組數(shù)據(jù)的分布是否偏態(tài)及程度21平均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)三者間的關(guān)系 M0 Md M M Md M0 正偏態(tài) 負(fù)偏態(tài)1、正偏態(tài)： MMdM0；2、負(fù)偏態(tài)： MMd M03、三者關(guān)系：M0 = 3Md - 2M22四、其他集中量數(shù)1、加權(quán)平均數(shù)(weighted mean):不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)。232、幾何平均數(shù)(geometric mean)：當(dāng)一個數(shù)列的后一個數(shù)據(jù)是以前一個數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)成比率增長

7、時，可用集合平均數(shù)求平均增長速度。243 、調(diào)和平均數(shù)(harmonic mean)：也稱倒數(shù)平均數(shù)，是一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。主要用于求學(xué)習(xí)速度。1.單位時間的工作量2.單位工作量所用時間3.平均單位工作量所用時間4.平均單位時間的工作量25兩組學(xué)生某科的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)甲組：54、63、72、74、82、88、99乙組：67、71、73、76、79、82、8426差異量數(shù)(measures of variation)理解差異量數(shù)的含義認(rèn)識標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)、作用掌握標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法熟悉運(yùn)用各種差異量數(shù)描述一組數(shù)據(jù)的特征及若干組數(shù)據(jù)的比較掌握標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)及其運(yùn)用27主要的差異量數(shù)一、全距(Range)

8、二、百分位距(Percent Rank)三、四分位差(Quartile)四、平均差(AD)五、方差( Variance) 六、標(biāo)準(zhǔn)差(SD)28一、全距(range，兩極差，R )全距計(jì)算：R=Xmax Xmin優(yōu)點(diǎn)：概念清楚，意義明確。缺點(diǎn)： 易受極值影響； 不考慮中間數(shù)值，反應(yīng)不靈敏 是差異量的粗略指標(biāo)，主要在統(tǒng)計(jì)分組時使用29二、百分位差（百分位距）（percentile deviation)(一)百分位數(shù)的計(jì)算百分位數(shù)：是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。Pp計(jì)算方法：與歸組表中數(shù)的計(jì)算方法類似。30百分位差：指兩個百分位數(shù)之差。常用的百分位差：P90 - P10P93

9、 - P7百分位差的優(yōu)點(diǎn)： 簡明易懂，計(jì)算方便 較少受極值影響 缺點(diǎn)： 忽略部分?jǐn)?shù)據(jù) 不適合代數(shù)運(yùn)算31(二)百分等級的計(jì)算百分等級：某一分?jǐn)?shù)所在的百分位置。計(jì)算方法:根據(jù)累加次數(shù)分布圖進(jìn)行估計(jì)百分位數(shù)的逆運(yùn)算32三、四分位差(quartile deviation)是在依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中間50%的次數(shù)的距離的一半。Q =（Q3 - Q1）/ 2333原始數(shù)據(jù)計(jì)算法例：將16個原始數(shù)據(jù)從小到大排列好：12、14、15、17、19、20、22、25、29、30、31、33、35、37、39、40Q1=18Q3=34 主要在有極值或個別數(shù)值不清楚、不確切時使用。34四、平均差(ADavera

10、ge deviation, or MDmedian deviation)是每一個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)離差的絕對值的平均數(shù)。計(jì)算方法未歸表數(shù)據(jù)求平均差：已歸表數(shù)據(jù)求平均差：35平均差的優(yōu)點(diǎn)： 意義明確 計(jì)算容易 反應(yīng)靈敏 缺點(diǎn)： 不適合作進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算236五、方差和標(biāo)準(zhǔn)差(variance and standard deviation)方差：是離差平方的算術(shù)平均數(shù)。s2 ; 2標(biāo)準(zhǔn)差：是方差的平方根。s ; 計(jì)算方法未歸表數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差37已歸表數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差匯合標(biāo)準(zhǔn)差或總體標(biāo)準(zhǔn)差38方差和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：嚴(yán)密確定計(jì)算簡單反應(yīng)靈敏適合代數(shù)運(yùn)算缺點(diǎn)：較費(fèi)解個別數(shù)值不清時，無

11、法計(jì)算39第五單元 標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用一、差異系數(shù)(coefficient of variation，變異系數(shù)/相對標(biāo)準(zhǔn)差)用于差異量的比較單位不同的資料平均數(shù)相差較大資料計(jì)算方法40二、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standard score，Z）：以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，標(biāo)志某一分?jǐn)?shù)離開團(tuán)體均數(shù)的距離。計(jì)算方法：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：=0 Sz =1為正值，則 xi x；為負(fù)值，則 xi x41標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的優(yōu)點(diǎn)及其應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，因此具有很強(qiáng)的可比性。應(yīng)用：通過計(jì)算Z分?jǐn)?shù)，判斷和比較數(shù)值在團(tuán)體中相對位置的高低通過計(jì)算Z分?jǐn)?shù)和查表，判斷和比較數(shù)值在團(tuán)體中的百分位置通過計(jì)算不同質(zhì)數(shù)值Z分?jǐn)?shù)的總和，比

12、較數(shù)值在團(tuán)體中的位置表示標(biāo)準(zhǔn)的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)：Z = aZ + b42ZYP.00.39894.00000.50.35207.191461.00.24197.341341.50.12952.433191.96.05844.475002.00.05399.477252.50.01753.493792.58.01431.495063.00.00443.498653.50.00087.499773.99.00014.49997附：正 態(tài) 分 布 表 YP0 Z43三、異常值的取舍如果原始分?jǐn)?shù)屬于正態(tài)分布或接近正態(tài)分布，則Z分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的范圍大致在-3.00到+3.00之間（約占全體的99.73%）。99.73

13、-3s+3s44四、差異量數(shù)的選用(一) 優(yōu)良差異量數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)1、根據(jù)客觀數(shù)據(jù)獲得的；2、根據(jù)全部觀測值計(jì)算得到的；3、意義明確、易理解；4、計(jì)算方便、迅速；5、較少受抽樣變動的影響；6、適合代數(shù)運(yùn)算。45(二) 各種差異量數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)比較差異量靈敏性極值影響抽樣變動影響是否適合代數(shù)運(yùn)算全距 四分位距和百分位距平均差 方差和標(biāo)準(zhǔn)差差較差好好大小較小較小大較小小小不適合不適合不適合適合46(三) 各種差異量數(shù)的關(guān)系1、當(dāng)樣本數(shù)量相當(dāng)大（N500）時： R 6s；小樣本， R與s的比率要小一些。2、當(dāng)N值相當(dāng)大時，且分布呈正態(tài)時：s 1.2533AD 1.4826QAD 0.7979s 1.1829QQ 0.6745s0.4853AD47(四) 如何選用差異量數(shù)1、當(dāng)樣本是隨機(jī)取樣時，s、Q、R