山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件30數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣，分支較多. 社會(huì)的發(fā)展不斷向統(tǒng)計(jì)提出新的問(wèn)題. 計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢(shì). 由于學(xué)時(shí)有限，課程的的這部分內(nèi)容重點(diǎn)在于介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些重要概念和典型的統(tǒng)計(jì)方法，它們是實(shí)際中最常用的知識(shí). 學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)無(wú)須把過(guò)多時(shí)間化在計(jì)算上，可以更有效地把時(shí)間用在基本概念、方法原理的正確理解上. 國(guó)內(nèi)外著名的統(tǒng)計(jì)軟件包： SAS，SPSS，STAT等，都可以讓你快速、簡(jiǎn)便地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析. 配合教學(xué)編制的教學(xué)軟件“數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)系統(tǒng)”，可使你根據(jù)自己的進(jìn)度，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行學(xué)習(xí). 從歷史的

2、典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說(shuō)明人們很早就開(kāi)始了統(tǒng)計(jì)的工作 . 但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對(duì)有關(guān)事實(shí)的簡(jiǎn)單記錄和整理，而沒(méi)有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷. 到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科. 它是研究怎樣以有效的方式收集、 整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷和預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析. 由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它

3、的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來(lái).只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，也就是說(shuō), 我們獲得的只是局部觀察資料.但客觀上 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對(duì)所研究的問(wèn)題, 盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論. 由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對(duì)象的全部信息. 因而由此獲得的結(jié)論必然包含不肯定性. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷.下面我們以一例進(jìn)行說(shuō)明： 某種子公司A

4、，栽種了幾種類別的 鮮花，收獲了大量的花籽，并把每25?；ㄗ言梢恍“鍪? 一個(gè)零售商批發(fā)了若干包，并向顧客保證：在每包25?；ㄗ阎兄辽儆?2粒將能發(fā)芽，否則的話可免費(fèi)調(diào)換另一包.每包要是有3粒不發(fā)芽，馬上免費(fèi)退換！每包25粒每包25粒中至少有22粒將發(fā)芽所有的包都如此嗎？ 這種類型的不肯定性，即不知道種子公司出售的小包中可接受的比例，它是由于對(duì)總體的真實(shí)狀態(tài)（天然狀態(tài)）無(wú)知所引起的不肯定性.零售商面臨如下兩種類型的不肯定性：(1) 他對(duì)種子公司出售的小包中可接受（即至少有22?；ㄗ褜l(fā)芽）的包數(shù)所占比例 是不清楚的. 這是第一類不肯定性.(2)由于種子公司出售的花籽的貨單上，這類花籽共有一

5、百萬(wàn)包，而零售商只購(gòu)買了200包，那些包是可接受的呢？這就是盡管他知道了一百萬(wàn)包可接受的比例 ，但對(duì)他所購(gòu)買的200包，其中可接受的比例仍舊沒(méi)有“把握”.從中購(gòu)買200包共100萬(wàn)包因此他又面臨著另一類不肯定性；零售商購(gòu)買的200包仍有可能“碰巧”是從不可接受的一萬(wàn)包中選取的.那些包是可接受的呢？即使 是0.99，即種子公司出售的一百萬(wàn)包中有99萬(wàn)包是可接受的，這樣他就要損失一筆資金.從中購(gòu)買200包共100萬(wàn)包 這一類不肯定性是由于“隨機(jī)性”所引起的. 在已知 的條件下，這種不肯定性的程度已在概率論部分作過(guò)討論.下面我們回到第一類不肯定性： 零售商對(duì)種子公司出售的小包中可接受（即至少有22粒

6、花籽將發(fā)芽）的包數(shù)所占比例 是多少?zèng)]有把握.零售商能夠根據(jù)試驗(yàn)的方法（請(qǐng)公司進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)）來(lái)改善他的處境.根據(jù)試驗(yàn)他能作出天然狀況 是多少的決策.這就是抽取部分種籽進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，通過(guò)這部分中發(fā)芽數(shù)所占比例（頻率)來(lái)對(duì) 的真值進(jìn)行推斷.(1)怎樣設(shè)計(jì)試驗(yàn)，決定觀察的數(shù)目；(2)怎樣利用試驗(yàn)觀察的結(jié)果作出一個(gè)“好”的推斷等.這都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要研究的問(wèn)題. 雖然他不能精確地和肯定地確定 ， 但可以期望獲得一個(gè)（在某種意義下）比較好的推斷. 這就涉及到 第一個(gè)問(wèn)題是怎樣進(jìn)行抽樣，使抽得的樣本更合理,并有更好的代表性？這是抽樣方法和試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題：最簡(jiǎn)單易行的是進(jìn)行隨機(jī)抽樣. 第二個(gè)問(wèn)題是怎樣從取得的樣本

7、去推斷總體？這種推斷具有多大的可靠性？這是統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.本課程著重討論第二個(gè)問(wèn)題, 即最常用統(tǒng)計(jì)推斷方法. 概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用. 但它們是并列的兩個(gè)學(xué)科，并無(wú)從屬關(guān)系 . 可見(jiàn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中必然要用到概率論的理論和方法. 因?yàn)殡S機(jī)抽樣的結(jié)果帶有隨機(jī)性，不能不把它當(dāng)作隨機(jī)現(xiàn)象來(lái)處理 .由此也可以說(shuō)，統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征 .在結(jié)束本節(jié)之前，我們需要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明一點(diǎn)：因?yàn)槲覀兪菑囊恍〔糠謽颖居^察值去推斷該全體對(duì)象（總體）情況，即由部分推斷全體. 這里使用的推理方法是“歸納推理”.這種歸納推理不同于數(shù)學(xué)中的“演繹推理”， 它在作出結(jié)論時(shí)，是根據(jù)所觀察到的大量

8、個(gè)別情況，“歸納”起來(lái)所得，而不是從一些假設(shè)、命題、已知的事實(shí)等出發(fā)，按一定的邏輯推理去得出來(lái)的. 例如，在幾何學(xué)中要證明“等腰三角形底角相等”只須從“等腰”這個(gè)前提出發(fā)，運(yùn)用幾何公理，一步一步推出這個(gè)結(jié)論. 而一個(gè)習(xí)慣于統(tǒng)計(jì)思想的人，就可能想出這樣的方法：做很多大小形狀不一的等腰三角形，實(shí)地測(cè)量其底角，看差距如何，根據(jù)所得資料看看可否作出“底角相等”的結(jié)論. 這樣做就是歸納式的方法. 現(xiàn)在要問(wèn)：從局部觀察要對(duì)總體下結(jié)論有沒(méi)有片面性呢？結(jié)論是否可靠？ 顯然這里不僅依賴于進(jìn)行局部觀察的“樣本”是否具有總體的代表性，也依賴于對(duì)從這些樣本得到數(shù)據(jù)的合理加工、分析并得出論斷. 我們說(shuō)，如果這一切都建立在可靠的科學(xué)基礎(chǔ)上，則對(duì)總體下結(jié)論是可能的也是可靠的. 因?yàn)檫@里存在著樣品（隨機(jī)抽取的一個(gè)個(gè)體）個(gè)性 (特殊性) 和總體共性(普遍性)之間的一種內(nèi)在的、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系 . “每一事物內(nèi)部不但包括了矛盾的特殊性，而且包含了矛盾的普遍性，普遍性即存在于特殊性之中. ”矛盾論毛澤東 我們對(duì)每個(gè)經(jīng)過(guò)合理手續(xù)選取的一個(gè)樣品也應(yīng)看到它所具有的兩重性： 一方面它具有特殊性，因?yàn)樗吘故莻€(gè)別觀察值，不能反映總體的全面性質(zhì)，有片面性. 因而統(tǒng)計(jì)上往往不采用由一次抽取的樣品來(lái)下結(jié)論. 在這個(gè)基礎(chǔ)上再加上科學(xué)的推斷方法，對(duì)總體下的結(jié)論同樣也是可靠的. 另一方面也要看到“普遍性即存在于特殊性之中”，即每個(gè)樣品