《線性代數(shù)》第一章行列式習(xí)題及解答

1、第一章行列式1.1目的要求會求n元排列的逆序數(shù)；會用対角線法則計(jì)算2階和3階行列式；深入領(lǐng)會行列式的定義：掌握行列式的性質(zhì)，并且會正確使用行列式的有關(guān)性質(zhì)化簡、計(jì)算行列式：靈活掌握行列式按（列）展開；理解代數(shù)余字式的定義及性質(zhì)；會用克拉默法則判定線性方程組解的存在性、唯一性及求出方程組的解.1.2重要公式和結(jié)論1.2.111階行列式的定義工（T）嘰（円肥Hr）尙1211階行列式D=-1-aitlan2其中PEP,是n個(gè)數(shù)12.11的一個(gè)排列,t是此排列的逆序數(shù)，E表示對所有n元排列求和，故共有n!項(xiàng).12.2行列式的性質(zhì)行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等；行列式的兩行（列）互換，行列式改變符號；行列式

2、中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一個(gè)數(shù)乘行列式等用該數(shù)乘此行列式的任意一行（列）；行列式中若有兩行（列）成比例，則該行列式為零；若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)Z和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和，%】ai2+bi2%+binailai2仏監(jiān)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）対應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.1.2.3行列式按行（列）展開Di=j0ijDi=j0ij設(shè)D為n階行列式，則有X譏Ajk=aHAJi+ClJ2+a沏人加=l2x2+-+allxll=bn的系數(shù)行列式DHO,則方程組有唯一解“=紐（尸1,2,，n）,其中。是D中第1D列尤素（即兀

3、的系數(shù)）換成方程中右端常數(shù)項(xiàng)所構(gòu)成的行列式.如果線性齊次方程組&內(nèi)+d才q+”=021x1+22x2+-+a2nxn=0厲內(nèi)+a心耳+%=0的系數(shù)行列式DHO,則方程組只有唯一零解.若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式D=0.1-2.5一些常用的行列式%.幾，D)=,則%虬.bmt3范德蒙行列式_/r-laiCl.an上、卜三角形行列式等J：主對角線上的元素的積.%0akk55k%瓦55bnlbnn511Ch11.2.6計(jì)算行列式的常用方法1.利用對角線法則計(jì)算行列式,它只適用于2、3階行列式;利用n階行列式定義計(jì)算行列式;利用行列式的性質(zhì)化三角形法計(jì)算行列式;利用行列式按某一行(列)展開

4、定理計(jì)算行列式;利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算行列式；利用遞推公式計(jì)算行列式；利用范德蒙行列式的結(jié)論計(jì)算特殊的行列式;8利用加邊法計(jì)算行列式；9.綜合運(yùn)用上述方法計(jì)算行列式.13例題分析例1.1排列14536287的逆序數(shù)為()(A)8(B)7(C)10(D)9解在排列14536287中，1排在首位,逆序數(shù)為0；4、5、6、8各數(shù)的前面沒有比它們自身人的數(shù)，故這四個(gè)數(shù)的逆序數(shù)為0；3的前面比它人的數(shù)有2個(gè)(4、5),故逆序數(shù)為厶2的前而比它人的數(shù)有4個(gè)(4、5、3、6),故逆序數(shù)為4；7的前面比它大的數(shù)有1個(gè)(8),故逆序數(shù)為1:丁是這個(gè)排列的逆序數(shù)為t=0+0+2+4+l=7,故正確答案為(B).例12

5、下列排列中()是偶排列.(A)54312(B)51432(C)45312(D)654321解按照例1的方法計(jì)算知:排列54312的逆序數(shù)為9；排列51432的逆序數(shù)為7：排列45312的逆序數(shù)為8；排列654321的逆序數(shù)為15；故正確答案為(C).例1.3卜列各項(xiàng)中，為某五階行列式中帶正號的項(xiàng)是().(A)a/#仏(B)a2la52a4lal5a54(C)azla25a4ial4a52(D)ai5aa22a44a5Z解由行列式的定義知，每一項(xiàng)應(yīng)取自不同行不同列的五個(gè)元素之積，因此(A).(E)不是五階行列式的項(xiàng)，但(C)應(yīng)取負(fù)號，故正確答案為(D).201311例1.4行列式卩=02-10,

6、2=232102153(A)2,-1(E)1,-1(C)o,2,若D,=D2.則的取值為()(D)0J解按三階行列式的對角線法則得卩=(/1+1)(21幾2=若P=則(2+1)(2-1)2=0,V是久=1廠1,故正確答案為(E).+x2+x3=1例1.5方程組xY+Ax2+x3=1有唯一解，則().比+x2+生=1(A)兄工一1且2-2(B)A/1且免工一2(C)21且?guī)譎2(D)7、豐一1且22解由克拉默法則知，當(dāng)所給非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等J：0時(shí)，該方程組有唯一解，J：是令行列式TOC o 1-5 h z211121=(2+久)(/1一1)2工011A即21且久北2,故正確答案為

7、(B).例1.6).20062008D=20042006分析刈丁2、3階行列式的計(jì)算，元素的數(shù)值較小時(shí)，可以直接采用對角線法則進(jìn)行計(jì)算：但元素的數(shù)值較人時(shí)，一般不宜直接采用對角線法則進(jìn)行計(jì)算，而是用行列式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.解此題是一個(gè)2階行列式，雖然可以直接用對角線法則計(jì)算，但因數(shù)值較人，計(jì)算較繁，因此要仔細(xì)觀察分析，用行列式的性質(zhì)求解.“2006200811-220042006|-220082006-2u+1003c.-22=4,0故答案為4.例1712D=343441=(12123).分析如果行列式的各行（列）數(shù)的和相同時(shí)，一般首先采用的是將各列（行）加到第一列（行人提取第一列（行）的公因子

8、（簡稱列（行）加法）.解這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各列4個(gè)數(shù)的和為10,12342341101010101111111123412341012-13412=103412=1001-2-1412341230-3-2-1各行加到第一行，得是,34124123=101000110012-401-10-4=160.例1.8設(shè)/（X）=2x1312-11則*的系數(shù)為（),的系數(shù)為).分析此類確定系數(shù)的題目,首先是利用行列式的定義進(jìn)行計(jì)算.如果用定義比較麻煩時(shí)，再考慮用行列式的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算.解從/（X）的表達(dá)式和行列式的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)/（X）的主對角線的4個(gè)元素的積才能得出其系數(shù)顯然是2當(dāng)?shù)谝恍腥13（

9、=1）或（=2）,則含即或的行列式的項(xiàng)中是不出現(xiàn)亍，含鈕（=2x）的行列式的項(xiàng)中是不出現(xiàn)J：是含疋的項(xiàng)只能是含ai2,a2l,cin,的積，故的系數(shù)為一11234511122例1.9設(shè)D=321462221143210(2)+A35=(）,故答案為2,-1.,則(1)A31+a32+a33=(),（3）+人巧+人厶+人55=（）分析此類題目一般不宜算出表達(dá)式里每一項(xiàng)的值，而是注意觀察要求的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)充分利用按行（列）展開的計(jì)算方法來進(jìn)行技巧計(jì)算.1234511122解人31+人32+人33+2(34+35)=124即(人31+人3二+人33)+2(34+人35)=122=0(第2,3行和同)

10、2113210同理2(A31+Ai2+九3)+(九4+人5)=112131碼+錢+A3+碼+=321222111故答案為0,0,0.00010020例1.10D=020050020060000000J是+32+人33=0，人34+35=。4512345221112246+廠232146=01133333111111100002007分析當(dāng)行列式中有較多零元素時(shí),一般可以采用行列式的定義或按行（列）展開來計(jì)算.解此行列式剛好只有n個(gè)非零元素心衛(wèi)Cln-lann9故非零項(xiàng)只有_項(xiàng):（7嘰心認(rèn)驗(yàn)其中uH）(2007-1)(2007-2)因此P=(-l)2007!=2007!此題也可以按行（列）展開來

11、計(jì)算.例1.11計(jì)算n階行列式12上，得解法1（行（列）加法）H+11111111H+12111211D產(chǎn)77+1121=(“+1)1121人一心，（7=2,3,）77+11121112因?yàn)檫@個(gè)行列式的每一行的n個(gè)元素的和都為n+1,所以將第23/-,n列都加到第一列=77+1解法2（加邊法）11110211012100112111121-1-11100101010011000-10001解法3（利用行列式的性質(zhì)）/7+10000001000100012112D”=l111121111000100012-1-1-1111121一厶(7=2,3,/)111100010=+100011+旺兒1+呂

12、兒1+兀兒例1.12計(jì)算2=1+冷兒l+x2y21+心兒1+兀兒1+心兒解當(dāng)d=2時(shí),1+XJ1+51+心1+耳兒1+乜當(dāng)心3時(shí),=0.(x2-xjy2（兀一人）兒例1.13計(jì)算+勺XLx2az0000D產(chǎn)000一Xn-200000_兀Ll其中x；工0(/工1,2,/)解因)=+X=+X=兀(1+),a2呂兀2（1+魚+芻Xx2歸納推得D”=XXr心（1-+）X兀用數(shù)學(xué)歸納法證明上式，假設(shè)當(dāng)*=山1時(shí)結(jié)論成立，即D-=A；耳（1+）.X】兀-1則當(dāng)k=n時(shí)，將D”按第n列展開，得D”=XnDn-l+（一1）an（-兀）（-兀2）（一心_2）（-心_J二兀心+（1）”“（1廣乜內(nèi)兀兀lNt=01

13、+X內(nèi)兀7兀_兀=X】兀心（1+丄）&X兀即當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論也成立，故對一切自然數(shù)結(jié)論都成立.11.1例1.14計(jì)算222.22=332.3”n礦n11解（利用范德蒙行列式計(jì)算）Dn=n=n(2-1)(3_1)(一1)(3-2)(4_2)(_2)_(/?-1)=川(一1)!(一2)!2!a00aa+p00aa+ft000000+000aa+pP0aa+p000000000a+pa000a+pa0000a+p0000a+p解按第一列把6分成兩個(gè)行列式的和2=例1.15計(jì)算Dn=ag+0=aD“+0p00aa+p00aa+p000000+aP0aa+pP0aa+p000000000a+pa000a+

14、pa0000a+p0000a+p2=PD/?-i(a)當(dāng)a豐卩時(shí)，由(1)(2)得龐寫+0=0卩1+/,則pn-l(2)a-p是脣帀務(wù)(b)當(dāng)a=p時(shí)，由(1)得Dn=+alx=(“+l)a,1.例1.16設(shè)cibc0,證明:ab+be+cabebb2cac2erbc2=(ab+be+ca)abc111erber=(ab+bc+cci)(c一a)(c一b)(b一a)是，不等式的左邊=(c一a)(c-b)(b一a)由于abc0,從而(c一a)0,(c-b)0,(b-a)bc0時(shí),ab+be+caa2bebb2cac2=12x3+，求g(x).02&=sf=l軌nlW陥(x)111,試證：存在（0

15、,1）,使得g）=0.x-33x2-51-3?2x2-13/-17/-117證明：奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式為零.18.設(shè)兀）冒是互異的實(shí)數(shù),證明:111xyz=0的充要條件是x+y+z=0.x3/疋1-51319設(shè)岡=；，計(jì)算九+碼的值，其中九（心1,2,3,4）是|4|的代數(shù)余子式.Xi+2x2-x3=220.利用克萊默法則求解方程組為一2x2+2“=3.I2石-x2+x3=3x3x21321xsinx221.求極限limgo123Sillxcosx1011第一章參考答案1.4獨(dú)立作業(yè)1.4.1基礎(chǔ)訓(xùn)練1.(C)2.(B)3(C)4.(A)5.(B)6.4251709262519092425

16、1200070922000=2000 x425170921=5682000.11b8.解i4n+A2l+A31=1ci1bc=0,故答案為09.解因?yàn)樵诖诵辛惺降恼归_式中，含有疋的只有主對角線上的元素的積，故答案為-210.解由范德蒙行列式得行列式的值為288916149161491611.491691625162536253649791191113=0.12.xyQx0y_y00y-x0 x0yxQy0 xJ.xyyxyXX13.10300021001-1000000200001-2103002101-1000002=-4x1-100-1-3=-4x-1-3=201xyz1xyz114.解1

17、yu=0y-x-z(y-x)=()_x)(z_x)L1Zxy0z_x-y(z-x)=(x-y)(y-z)(zx)15.16.解5300023000330002530025300053000253002530+02530002530025300253000250002500025解=25+3=665*b2b、-15000a20000-ci20017.解D”=0-a200=(-l)fX000000an000一呂+?1D+兒心+?1兀4+.V1為+兒“2+兒心+兒兀+兒呂+兒無+兒心+兒兒+兒兀+兒心+兒厲+兒X+兒+兒心+兒厲+兒兀+Ji兒一兒兒一兒兒一兒兒一兒兒兒兒一兒兒一兒兒Ji兒兒兒一兒兒一兒兒-兒=0%*bn-20-+anx0-a200=ala2-an+allDll_ia%】18.解01111111X,00/=!10X0010X.000 x20100Xn000兀D=由第八心12/）列的-丄倍加到第一列上去.兀一牡7（牙）11+1111+XX1XLX111+兀111x200111+心110心0111l+x410019.解-xi1+2+玉+巴心x3x4000 x200=xkx2x5x4+x2xx4+xxx4+xYx2x4+xx2x20.解-100=_2(_2)!211/7+11111121.解Dn=12.1n+l21=(”+1)12111.2”+