教案設(shè)計高中數(shù)學(xué)人教B版教案 余弦定理

1、PAGE PAGE - 27 -教學(xué)設(shè)計整體設(shè)計教學(xué)分析對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過向量知識給予證明的一是進(jìn)一步加深學(xué)生對向量工具性的認(rèn)識，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問題中的威力課后仍鼓勵學(xué)生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學(xué)生用自己的語言敘述出來，并讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余弦定理的

2、適用題型的特點，在解題時正確選用余弦定理達(dá)到求解、化簡的目的應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以解決以下問題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形；(2)已知三角形的三邊解三角形在已知兩邊及其夾角解三角形時，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問題在已知三邊和一個角的情況下，求另一個角既可以應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理用余弦定理的另一種形式，可以(根據(jù)角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復(fù)雜用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小根據(jù)教材特點，本內(nèi)容安排2課時一節(jié)重在余弦定理的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，一節(jié)重在

3、解三角形中兩個定理的綜合應(yīng)用三維目標(biāo)1通過對余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應(yīng)用；了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系；知道解三角形問題的幾種情形2通過對三角形邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，加深對數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識；同時通過正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識數(shù)學(xué)中的對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美3加深對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想；這些數(shù)學(xué)思想是對于數(shù)學(xué)知識的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的認(rèn)識，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加

4、深學(xué)生對具體數(shù)學(xué)知識的理解和掌握重點難點教學(xué)重點：掌握余弦定理；理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形教學(xué)難點：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課思路1.(類比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過程中，從直角三角形的特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚倪@種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運用勾股定理進(jìn)行探索，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受思路2.(問題導(dǎo)入)如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出

5、來呢？也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計算出三角形的另一邊和另兩個角呢？根據(jù)我們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如說向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎？推進(jìn)新課eq blc rc (avs4alco1(新知探究)eq blc rc (avs4alco1(提出問題)1通過對任意三角形中大邊對大角，小邊對小角的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理，解決了兩類解三角形的問題.那么如果已知一個三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢？2能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等

6、探究出計算第三邊長的關(guān)系式或計算公式呢？3余弦定理的內(nèi)容是什么？你能用文字語言敘述它嗎？余弦定理與以前學(xué)過的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近？4余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么？5余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題？怎樣求解？6正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)別？活動：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗證”，教師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通過觀察、猜想、證明而推廣到一般如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢？下面，我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題如下圖，在ABC中，設(shè)

7、BCa，ACb，ABc，試根據(jù)b、c、A來表示a.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于點D，那么在RtBDC中，邊a可利用勾股定理通過CD、DB表示，而CD可在RtADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在RtADC內(nèi)求解探究過程如下：過點C作CDAB，垂足為點D，則在RtCDB中，根據(jù)勾股定理，得a2CD2BD2.在RtADC中，CD2b2AD2，又BD2(cAD)2c22cADAD2，a2b2AD2c22cADAD2b2c22cAD.又在RtADC中，

8、ADbcosA，a2b2c22bccosA.類似地可以證明b2c2a22cacosB.c2a2b22abcosC.另外，當(dāng)A為鈍角時也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時，a2b2c2也符合上述結(jié)論這就是解三角形中的另一個重要定理余弦定理下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會向量知識的工具性作用教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現(xiàn)的，又涉及邊長問題，學(xué)生很容易想到向量的數(shù)量積的定義式：ab|a|b|cos，其中為a，b的夾角用向量法探究余弦定理的具體過程如下：如下圖，設(shè)eq o(CB,sup6()a，eq o(CA,sup6()b，eq o(AB,sup6()c，那

9、么cab，|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22abcosC.所以c2a2b22abcosC.同理可以證明a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB.這個定理用坐標(biāo)法證明也比較容易，為了拓展學(xué)生的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)法證明，過程如下：如下圖，以C為原點，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點B的坐標(biāo)為(a,0)，點A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，根據(jù)兩點間距離公式ABeq r(bcosCa2bsinC02)，c2b2cos2C2abcosCa2b2sin2C，整理，得c2a2b22abcosC.同理可以證明：a2b2c22bccosA，b2c2a2

10、2cacosB.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即eq x(aal(a2b2c22bccosA,b2c2a22accosB,c2a2b22abcosC)余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量從而由三角形的三邊可確定三角形的三個角，得到余弦定理的另一種形式：eq x(aal (cosAf(b2c2a2,2bc),cosBf(c2a2b2,2ca),cosCf(a2b2c2,2ab) )教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的結(jié)

11、構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學(xué)生比較并討論它們之間的關(guān)系學(xué)生容易看出，若ABC中，C90，則cosC0，這時余弦定理變?yōu)閏2a2b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣；勾股定理是余弦定理的特例另外，從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題：已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊

12、確定，故三角也確定，有唯一解；已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊確定，因而其他兩個角也唯一確定，故解唯一不會產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問題把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，能很好地解決解三角形的問題教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個定理可解決的問題類型會發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個角的情況，而求另兩角中的某個角時，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個會更好些呢？教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復(fù)雜用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般應(yīng)該選擇用

13、正弦定理去計算比較小的邊所對的角教師要點撥學(xué)生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧討論結(jié)果：(1)、(2)、(3)、(6)見活動(4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是：eq x(aal (cosAf(b2c2a2,2bc),cosBf(c2a2b2,2ca),cosCf(a2b2c2,2ab) )(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問題：一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角eq blc rc (avs4alco1(應(yīng)用示例)例1如圖，在ABC中，已知a5，b4，C120，求c.活動：本例是利用余弦定理解決的第二類問題，可讓學(xué)生獨立完成解：由余弦定理，得c2a2b22abcos120，因此ceq

14、 r(5242254f(1,2)eq r(61).例2如圖，在ABC中，已知a3，b2，ceq r(19)，求此三角形各個角的大小及其面積(精確到0.1)活動：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出最大邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進(jìn)而求得第三角教材中這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余弦定理實際教學(xué)時可讓學(xué)生自己探求解題思路，比如學(xué)生可能會三次利用余弦定理分別求出三個角，或先求出最小邊所對的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵，然后讓學(xué)生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻理解兩個定理的內(nèi)涵解：由余弦定理，得cosBCAeq f(a2b2c2,2ab)eq f(

15、3222r(19)2,232)eq f(9419,12)eq f(1,2)，因此BCA120，再由正弦定理，得sinAeq f(asinBCA,c)eq f(3f(r(3),2),r(19)eq f(3r(3),2r(19)0.596 0，因此A36.6或A143.4(不合題意，舍去)因此B180ABCA23.4.設(shè)BC邊上的高為AD，則ADcsinBeq r(19)sin23.41.73.所以ABC的面積eq f(1,2)31.732.6.點評：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時，體會兩種方法存在的差異當(dāng)所求的角是鈍角時，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定 變式訓(xùn)練

16、在ABC中，已知a14，b20，c12，求A、B和C.(精確到1)解：cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(202122142,22012)0.725 0，A44.cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(142202122,21420)eq f(113,140)0.807 1，C36.B180(AC)180(4436)100.例3如圖，ABC的頂點為A(6,5)，B(2,8)和C(4,1)，求A.(精確到0.1)活動：本例中三角形的三點是以坐標(biāo)的形式給出的，點撥學(xué)生利用兩點間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出A.可由學(xué)生自己解決，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)解：根據(jù)兩點間距離

17、公式，得ABeq r(622582)eq r(73)，BCeq r(242812)eq r(85)，ACeq r(642512)2eq r(5).在ABC中，由余弦定理，得cosAeq f(AB2AC2BC2,2ABAC)eq f(2,r(365)0.104 7，因此A84.0.點評：三角形三邊的長作為中間過程，不必算出精確數(shù)值 變式訓(xùn)練用向量的數(shù)量積運算重做本例解：如例3題圖，eq o(AB,sup6()(8,3)，eq o(AC,sup6()(2，4)，|eq o(AB,sup6()|eq r(73)，|eq o(AC,sup6()|eq r(20).cosAeq f(o(AB,sup6(

18、)o(AC,sup6(),|o(AB,sup6()|o(AC,sup6()|)eq f(8234,r(73)r(20)eq f(2,r(365)0.104 7.因此A84.0.例4在ABC中，已知a8，b7，B60，求c及SABC.活動：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式SABCeq f(1,2)acsinB可以求出若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2c2a22cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的解法一：由正弦定理，得eq f(8,sinA)eq f(7,sin60)，A181.8，A298.2.C138

19、.2，C221.8.由eq f(7,sin60)eq f(c,sinC)，得c13，c25，SABCeq f(1,2)ac1sinB6eq r(3)或SABCeq f(1,2)ac2sinB10eq r(3).解法二：由余弦定理，得b2c2a22cacosB，72c28228ccos60.整理，得c28c150，解之，得c13，c25.SABCeq f(1,2)ac1sinB6eq r(3)或SABCeq f(1,2)ac2sinB10eq r(3).點評：在解法一的思路里，應(yīng)注意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏；而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之

20、建立方程，從而運用方程的觀點去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時的適用范圍；已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時注意余弦定理在求角時的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之 變式訓(xùn)練在ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c2，C60.(1)若ABC的面積等于eq r(3)，求a，b；(2)若sinB2sinA，求ABC的面積解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2b22abcos60c2，即a2b2ab4，又因為ABC的面積等于eq r(3)，所以eq f(1,2)absinCeq r(

21、3)，ab4.聯(lián)立方程組eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,ab4，)解得a2，b2.(2)由正弦定理及已知條件，得b2a，聯(lián)立方程組eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,b2a，)解得aeq f(2r(3),3)，beq f(4r(3),3).所以ABC的面積Seq f(1,2)absinCeq f(2r(3),3).eq blc rc (avs4alco1(知能訓(xùn)練)1在ABC中，已知C120，兩邊a與b是方程x23x20的兩根，則c的值為()A.eq r(3) B7 C3 D.eq r(7)2已知三角形的三邊長分別為x2x1，x21,2x1(x1

22、)，求三角形的最大角答案：1D解析：由題意，知ab3，ab2.在ABC中，由余弦定理，知c2a2b22abcosCa2b2ab(ab)2ab7，ceq r(7).2解：比較得知，x2x1為三角形的最大邊，設(shè)其對角為A.由余弦定理，得cosAeq f(x2122x12x2x12,2x212x1)eq f(1,2).0A180，A120，即三角形的最大角為120.eq blc rc (avs4alco1(課堂小結(jié))1教師先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，然后再讓學(xué)生用文字語言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其實質(zhì)，并由學(xué)生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問題2教師指出：從方程的觀點來分析，余弦定理的每一個等式

23、都包含了四個不同的量，知道其中三個量，便可求得第四個量要通過課下作業(yè)，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的3思考本節(jié)學(xué)到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)定量探討得到定理eq blc rc (avs4alco1(作業(yè))課本習(xí)題11A組4、5、6；習(xí)題11B組15.設(shè)計感想本教案的設(shè)計充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問題，合作探究，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，力求在課堂上人人都會有“令你自己滿意”的探究成果這樣能夠不同程度地開發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案設(shè)計是從直角三角形出發(fā)，以歸納猜想證明應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)

24、的問題通過啟發(fā)和點撥，使學(xué)生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展現(xiàn)的過程合情合理，自然流暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮縱觀本教案設(shè)計流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體現(xiàn)新課程理念，能較好地完成三維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點難點也把握得恰到好處環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計流程會強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動地獲取知識，使學(xué)生的探究欲望及精神狀態(tài)始終處于最佳狀態(tài)在整個教案設(shè)計中學(xué)生的思維活動量大，這是貫穿整個教案始終的一條主線，也應(yīng)是實際課堂教學(xué)中的一條主線備課資料一、與解三角形有關(guān)的幾個問題1向量方法證明三角形中的射影定理如圖，在ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c.eq o(AC,sup6()eq

25、o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6().eq o(AC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6().|eq o(AC,sup6()|2|eq o(AC,sup6()|eq o(CB,sup6()|cos(180C)|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|cosA.|eq o(AC,sup6()|eq o(CB,

26、sup6()|cosC|eq o(AB,sup6()|cosA.bacosCccosA，即bccosAacosC.同理，得abcosCccosB，cbcosAacosB.上述三式稱為三角形中的射影定理2解斜三角形題型分析正弦定理和余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素，如果其中三個元素是已知的(其中至少有一個元素是邊)，那么這個三角形一定可解關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：(1)已知兩角及其中一個角的對邊，如A、B、a，解ABC.解：根據(jù)ABC，求出角C；根據(jù)eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)及eq f(a,sinA)eq f(c,si

27、nC)，求b、c.如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照來求解求解過程中盡可能應(yīng)用已知元素(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解ABC.解：根據(jù)c2a2b22abcosC，求出邊c；根據(jù)cosAeq f(b2c2a2,2bc)，求出角A；由B180AC，求出角B.求出第三邊c后，往往為了計算上的方便，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對的角(它一定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解(3)已知兩邊及其中一條邊所對的角，如a、b、A，解ABC.解：eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)，經(jīng)過討論求出B；求出B后，由AB

28、C180，求出角C；再根據(jù)eq f(a,sinA)eq f(c,sinC)，求出邊c.(4)已知三邊a、b、c，解ABC.解：一般應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由ABC180，求出第三個角另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個角，但仍然需注意要先求較小邊所對的銳角(5)已知三角，解ABC.解：滿足條件的三角形可以作出無窮多個，故此類問題解不唯一3“可解三角形”與“需解三角形”解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何問題的一個重要工具但在具體解題時，有些同學(xué)面對較為復(fù)雜(即圖中三角形不止一個)的斜三角形問題，往往不知如何下手至于何時用正弦

29、定理或余弦定理也是心中無數(shù)，這既延長了思考時間，更影響了解題的速度和質(zhì)量但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個概念，則情形就不一樣了所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個元素(至少有一邊)的三角形；而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形當(dāng)一個題目的圖形中三角形個數(shù)不少于兩個時，一般來說其中必有一個三角形是可解的，我們就可先求出這個“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問題的思考

30、時間一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底分析問題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰颍ヌ骄慷?、備用?xí)題1ABC中，已知b2bc2c20，aeq r(6)，cosAeq f(7,8)，則ABC的面積S為()A.eq f(r(15),2) B.eq r(15) C2 D32已知一個三角形的三邊為a、b和eq r(a2b2ab)，則這個三角形的最大角是()A75 B90 C120 D1503已知銳角三角形的兩邊長為2和3，那么第三邊長x的取值范圍是()A(1,5) B(1，eq r(5) C(eq r(5)，5) D(eq r(5)，eq r(13)4如

31、果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新三角形的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D由增加的長度確定5(1)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知aeq r(3)，b3，C30，則A_.(2)在ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a3，b4，c6，則bccosAcacosBabcosC的值為_6在ABC中，若(abc)(abc)3ab，并且sinC2sinBcosA，試判斷ABC的形狀7在ABC中，設(shè)三角形面積為S，若Sa2(bc)2，求taneq f(A,2)的值參考答案：1A解析：由b2bc2c20，即(bc)(b2c)0，得b2c；由余弦定理，

32、得a2b2c22bccosA，即6b2c2eq f(7,4)bc.解，得b4，c2.由cosAeq f(7,8)，得sinAeq f(r(15),8)，SABCeq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)42eq f(r(15),8)eq f(r(15),2).2C解析：設(shè)最大角為，由余弦定理，得a2b2aba2b22abcos，coseq f(1,2).120.3D解析：若x為最大邊，由余弦定理，知eq f(49x2,223)0，即x213，0 xeq r(13).若x為最小邊，則由余弦定理知4x290，即x25，xeq r(5).綜上，知x的取值范圍是eq r(5)xeq r(13).

33、4A解析：設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長度為x.則cx為新三角形的最長邊設(shè)其所對的角為，由余弦定理知，coseq f(ax2bx2cx2,2axbx)eq f(2abcxx2,2axbx)0.為銳角，即新三角形為銳角三角形5(1)30(2)eq f(61,2)解析：(1)aeq r(3)，b3，C30，由余弦定理，有c2a2b22abcosC392eq r(3)3eq f(r(3),2)3，ac，則AC30.(2)bccosAcacosBabcosCeq f(b2c2a2,2)eq f(c2a2b2,2)eq f(a2b2c2,2)eq f(a2b2c2,2)eq f(3

34、24262,2)eq f(61,2).6解：由正弦定理，得eq f(sinC,sinB)eq f(c,b)，由sinC2sinBcosA，得cosAeq f(sinC,2sinB)eq f(c,2b)，又根據(jù)余弦定理，得cosAeq f(b2c2a2,2bc)，故eq f(c,2b)eq f(b2c2a2,2bc)，即c2b2c2a2.于是，得b2a2，故ba.又因為(abc)(abc)3ab，故(ab)2c23ab.由ab，得4b2c23b2，所以b2c2，即bc.故abc.因此ABC為正三角形7解：Sa2(bc)2，又Seq f(1,2)bcsinA，eq f(1,2)bcsinAa2(b

35、c)2，有eq f(1,4)sinAeq f(b2c2a2,2bc)1，即eq f(1,4)2sineq f(A,2)coseq f(A,2)1cosA.eq f(1,2)sineq f(A,2)coseq f(A,2)2sin2eq f(A,2).sineq f(A,2)0，故eq f(1,2)coseq f(A,2)2sineq f(A,2)，taneq f(A,2)eq f(1,4).第2課時導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識我們會探究出什么樣的解題規(guī)律呢？

36、由此展開新課思路2.(問題導(dǎo)入)我們在應(yīng)用正弦定理解三角形時，已知三角形的兩邊及其一邊的對角往往得出不同情形的解，有時有一解，有時有兩解，有時又無解，這究竟是怎么回事呢？本節(jié)課我們從一般情形入手，結(jié)合圖形對這一問題進(jìn)行進(jìn)一步的探究，由此展開新課推進(jìn)新課eq blc rc (avs4alco1(新知探究)eq blc rc (avs4alco1(提出問題)1回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語言敘述其內(nèi)容.能寫出定理的哪些變式？2正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問題？3解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性質(zhì)還有哪些？4為什么有時解三角形會出現(xiàn)矛盾，即無解呢？比如：,已知在AB

37、C中，a22 cm，b25 cm，A135，解三角形；,已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.活動：結(jié)合課件、幻燈片等，教師可把學(xué)生分成幾組互相提問正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么？各式中有幾個量？有什么作用？用方程的思想寫出所有的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等可讓學(xué)生填寫下表中的相關(guān)內(nèi)容：解斜三角形時可用的定理和公式適用類型備注余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2b2a22bacosC(1)已知三邊(2)已知兩邊及其夾角類型(1)(2)有解時只有一解正弦定理eq f(a,

38、sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)2R(3)已知兩角和一邊(4)已知兩邊及其中一邊的對角類型(3)在有解時只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無解三角形面積公式Seq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)acsinBeq f(1,2)absinC(5)已知兩邊及其夾角對于正弦定理，教師引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時的邊角互化對于余弦定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式(然后教師打出幻燈片)：A90a2b2c2；A90a2b2c2；A90a2b2c2.以上內(nèi)容的復(fù)習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有雜亂無章、

39、無規(guī)碰撞之感，覺得好像更難以把握了，要的就是這個效果，在看似學(xué)生亂提亂問亂說亂寫的時候，教師適時地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺，幻燈片除以上2張外，還有：eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)2R；a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC；cosAeq f(b2c2a2,2bc)，cosBeq f(a2c2b2,2ac)，cosCeq f(a2b2c2,2ab).出示幻燈片后，必要時教師可根據(jù)學(xué)生的實際情況略作點評與學(xué)生一起討論解三角形有時會出現(xiàn)無解的情況如問題(4)中的會出現(xiàn)如下解法

40、：根據(jù)正弦定理，sinBeq f(bsinA,a)eq f(25sin133,22)0.831 1.0B180，B56.21或B123.79.于是C180(AB)180(13356.21)9.21或C180(AB)180(133123.79)76.79.到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負(fù)角來，顯然是錯誤的問題出在哪里呢？在檢驗以上計算無誤的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件由a22 cm，b25 cm，這里ab，而A133是一個鈍角，根據(jù)三角形的性質(zhì)應(yīng)用AB，即B也應(yīng)該是一個鈍角，但在一個三角形中是不可能有兩個鈍角的這說明滿足已知條件的三角形是不存在的同樣中滿足條件的三角形也是不存在的，因為根據(jù)我

41、們所學(xué)過的三角形知識，任何三角形的兩邊之和都大于第三邊而三邊在條件3 cm，4 cm，7 cm中兩邊和等于或小于第三邊，在此情況下當(dāng)然也無法解出三角形討論結(jié)果：(1)、(3)、(4)略(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問題：已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)已知三邊，求三個角已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角eq blc rc (avs4alco1(應(yīng)用示例)例1在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，bacosC且ABC的最大邊長為12，最小角的正弦值為eq f(1,3).(1)判斷ABC的形狀；

42、(2)求ABC的面積活動：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通過本例帶動正弦定理、余弦定理的知識串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件bacosC，這是本例中的關(guān)鍵條件很顯然，如果利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB2RsinAcosC.若利用余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有baeq f(a2b2c2,2ab)，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們常用的引導(dǎo)學(xué)生注意對于涉及三角形的三角函數(shù)變換內(nèi)角和定理ABC180非常重要，常變的角有eq f(A,2)eq f(B,2)eq f(,2)eq f(C,2)，2A2B2C2，sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，sineq f(A,2)coseq f(BC,2)，coseq

43、f(A,2)sineq f(BC,2)等，三個內(nèi)角的大小范圍都不能超出(0，180)解：(1)方法一：bacosC，由正弦定理，得sinBsinAcosC.又sinBsin(AC)，sin(AC)sinAcosC，即cosAsinC0.又A、C(0，)，cosA0，即Aeq f(,2).ABC是A90的直角三角形方法二：bacosC，由余弦定理，得baeq f(a2b2c2,2ab)，2b2a2b2c2，即a2b2c2.由勾股定理逆定理，知ABC是A90的直角三角形(2)ABC的最大邊長為12，由(1)知斜邊a12.又ABC最小角的正弦值為eq f(1,3)，RtABC的最短直角邊長為12eq

44、 f(1,3)4.另一條直角邊長為eq r(12242)8eq r(2)，SABCeq f(1,2)48eq r(2)16eq r(2).點評：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計算推理能力是高考命題的一個重要方向因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運用，及正、余弦定理的靈活運用 變式訓(xùn)練在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosAeq f(4,5).(1)求sin2eq f(BC,2)cos2A的值；(2)若b2，ABC的面積S3，求a.解：(1)sin2eq f(BC,2)cos2Aeq f(1cosBC,2)cos2Aeq f(

45、1cosA,2)2cos2A1eq f(59,50).(2)cosAeq f(4,5)，sinAeq f(3,5).由SABCeq f(1,2)bcsinA得3eq f(1,2)2ceq f(3,5)，解得c5.由余弦定理a2b2c22bccosA，可得a2425225eq f(4,5)13，aeq r(13).例2已知a，b，c是ABC中A，B，C的對邊，若a7，c5，A120，求邊長b及ABC外接圓半徑R.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他點撥學(xué)生注意體會邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用解：由余弦定理，知a2b2c22bc

46、cosA，即b25225bcos12049，b25b240.解得b3.(負(fù)值舍去)由正弦定理：eq f(a,sinA)2R，即eq f(7,sin120)2R，解得Req f(7r(3),3).ABC中，b3，Req f(7r(3),3).點評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學(xué)生體會這種解題方法，并探究其他的解題思路 變式訓(xùn)練設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2c2a2eq r(3)bc，求：(1)A的大??；(2)2sinBcosCsin(BC)的值解：(1)由余弦定理，得cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(r(3)bc,2bc)eq f(r(

47、3),2)，A30.(2)2sinBcosCsin(BC)2sinBcosC(sinBcosCcosBsinC)sinBcosCcosBsinCsin(BC)sinAeq f(1,2).例3如圖，在四邊形ABCD中，ADBBCD75，ACBBDC45，DCeq r(3)，求： (1)AB的長；(2)四邊形ABCD的面積活動：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學(xué)生自己獨立解決，體會正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用解：(1)因為BCD75，ACB45，所以ACD30.又因為BDC45，所以DAC180(75 45 30)30.所以ADDCeq r(3).在B

48、CD中，CBD180(75 45)60，所以eq f(BD,sin75)eq f(DC,sin60)，BD eq f(r(3)sin75,sin60)eq f(r(6)r(2),2).在ABD中，AB2AD2 BD22ADBDcos75(eq r(3)2(eq f(r(6)r(2),2)22eq r(3)eq f(r(6)r(2),2)eq f(r(6)r(2),4) 5，所以ABeq r(5).(2)SABDeq f(1,2)ADBDsin75eq f(1,2)eq r(3)eq f(r(6)r(2),2)eq f(r(6)r(2),4)eq f(32r(3),4).同理， SBCDeq f

49、(3r(3),4).所以四邊形ABCD的面積Seq f(63r(3),4).點評：本例解答對運算能力提出了較高要求，教師應(yīng)要求學(xué)生“列式工整、算法簡潔、運算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣 變式訓(xùn)練如圖，ACD是等邊三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2. (1)求cosCBE的值；(2)求AE.解：(1)因為BCD9060150，CBACCD，所以CBE15.所以cosCBEcos(4530)eq f(r(6)r(2),4).(2)在ABE中，AB2，由正弦定理，得eq f(AE,sin4515)eq f(2,sin9015)，故AEeq f(2sin30,cos1

50、5)eq f(2f(1,2),f(r(6)r(2),4)eq r(6)eq r(2).例4在ABC中，求證：a2sin2Bb2sin2A2absinC.活動：此題所證結(jié)論包含關(guān)于ABC的邊角關(guān)系，證明時可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過余弦定理；二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形證法一： (化為三角函數(shù))a2sin2Bb2sin2A(2RsinA)22sinBcosB(2RsinB)22sinAcosA8R2si

51、nAsinB(sinAcosBcosAsinB)8R2sinAsinBsinC22RsinA2RsinBsinC2absinC.所以原式得證證法二： (化為邊的等式)左邊a22sinBcosBb22sinAcosAa2eq f(2b,2R)eq f(a2c2b2,2ac)b2eq f(2a,2R)eq f(b2c2a2,2bc)eq f(ab,2Rc)(a2c2b2b2c2a2)eq f(ab,2Rc)2c22abeq f(c,2R)2absinC.點評：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運用，在此

52、題用到了正弦二倍角公式sin2A2sinAcosA，正弦兩角和公式sin(AB)sinAcosBcosAsinB；由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二 變式訓(xùn)練在ABC中，求證：(1)eq f(a2b2,c2)eq f(sin2Asin2B,sin2C)；(2)a2b2c22(bccosAcacosBabcosC)證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)eq f(a,sinA)eq f(b,sinB) eq f(c,sinC) k，顯然 k0，所以左邊eq f(a2b2,c2)eq f(k2sin2Ak2sin2B,k2sin2C)eq f(sin2Asin2B,sin2C)右邊(2)根

53、據(jù)余弦定理，得右邊2(bceq f(b2c2a2,2bc)caeq f(c2a2b2,2ca)abeq f(a2b2c2,2ab)(b2c2 a2)(c2a2b2)(a2b2c2)a2b2c2左邊eq blc rc (avs4alco1(知能訓(xùn)練)1已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別為a、b、c.若ABC的面積Sc2(ab)2，則taneq f(C,2)等于()A.eq f(1,2) B.eq f(1,4) C.eq f(1,8) D12在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足4sin2eq f(AC,2)cos2Beq f(7,2).(1)求角B的度數(shù)；(2)若beq

54、 r(3)，ac3，且ac，求a、c的值答案：1B解析：由余弦定理及面積公式，得Sc2a2b22ab2abcosC2abeq f(1,2)absinC，eq f(1cosC,sinC)eq f(1,4).taneq f(C,2)eq f(1cosC,sinC)eq f(1,4).2解：(1)由題意，知4cos2B4cosB10，cosBeq f(1,2).0B180，B60.(2)由余弦定理，知3a2c2ac(ac)23ac93ac，ac2.又ac3，解聯(lián)立的方程組，得a2，c1或a1，c2.ac，a2，c1.eq blc rc (avs4alco1(課堂小結(jié))教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課我們共同

55、探究的解三角形問題，特別是已知兩邊及其一邊的對角時解的情況，通過例題及變式訓(xùn)練，掌握了三角形中邊角互化的問題以及聯(lián)系其他知識的小綜合問題學(xué)到了具體問題具體分析的良好思維習(xí)慣教師進(jìn)一步點出，解三角形問題是確定線段的長度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個元素：三條邊、三個角；解三角形通常是給出三個獨立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個條件(元素)就夠了正弦定理與余弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素；余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素eq blc rc (avs4alco1(作業(yè))課

56、本本節(jié)習(xí)題11B組6、7.eq blc rc (avs4alco1(補充作業(yè))1在ABC中，若eq f(tanA,tanB)eq f(a2,b2)，試判斷ABC的形狀2在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A60，BC，b、c是方程x22eq r(3)xm0的兩個實數(shù)根，ABC的面積為eq f(r(3),2)，求ABC的三邊長解答：1.由eq f(tanA,tanB)eq f(a2,b2)，得eq f(sinAcosB,cosAsinB)eq f(a2,b2)，由正弦定理，得a2RsinA，b2RsinB，eq f(sinAcosB,cosAsinB)eq f(4R2sin2A,4R

57、2sin2B).sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B.AB90或AB，即ABC為等腰三角形或直角三角形2由韋達(dá)定理，得bcm，SABCeq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)msin60eq f(r(3),4)meq f(r(3),2)，m2.則原方程變?yōu)閤22eq r(3)x20，解得兩根為xeq r(3)1.又BC，bc.故beq r(3)1，ceq r(3)1.由余弦定理a2b2c22bccosA6，得aeq r(6).所求三角形的三邊長分別為aeq r(6)，beq r(3)1，ceq r(3)1.設(shè)計感想本教案設(shè)計的思路是：通過一些典型的實例來拓展關(guān)于解三

58、角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時，所選例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系本教案的設(shè)計注重了一題多解的訓(xùn)練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學(xué)生對換個角度看問題有所感悟，使學(xué)生經(jīng)常自覺地從一個思維過程轉(zhuǎn)換到另一個思維過程，逐步培養(yǎng)出創(chuàng)新意識換一個角度看問題，變通一下，也許會有意想不到的效果備課資料一、正弦定理、余弦定理課外探究1正、余弦定理的邊角互換功能對于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形的問題中常會用到它，其實，在涉及到三角形的其他問題中，也常會用到它們兩個定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角

59、的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問題得以解決【例1】 已知a、b為ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且eq f(sinA,sinB)eq f(3,2)，求eq f(ab,b)的值解：eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)，eq f(sinA,sinB)eq f(a,b).又eq f(sinA,sinB)eq f(3,2)(這是角的關(guān)系)，eq f(a,b)eq f(3,2)(這是邊的關(guān)系)于是，由合比定理，得eq f(ab,b)eq f(32,2)eq f(5,2).【例2】 已知ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且2bac.求證：sinAsinC2sinB.證明：ac2b(這是邊的關(guān)系)，又eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)，aeq f(bsinA,sinB)，ceq f(bsinC,sinB).將代