等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)

1、力學(xué)高等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)1一、微積分基礎(chǔ)知識(shí) 1. 函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與微分 函數(shù)：自變量，因變量，定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域等；函數(shù)的一些基本性質(zhì)（如連續(xù)性，對(duì)稱性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函數(shù)等。 導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)當(dāng)自變量在點(diǎn)x處有一增量x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)的有一改變量y=f(x+ x )-f(x)，那么當(dāng)x趨于零時(shí)，若比值y/ x的極限存在（為一確定的有限值），則這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處導(dǎo)數(shù)，記作： 這時(shí)稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處是可導(dǎo)的。 2函數(shù) y=f(x) 在 x 處的導(dǎo)數(shù) f(x) 等于曲線 y=f(x) 在點(diǎn)x處的切線的斜率，即： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在物理上，動(dòng)點(diǎn)的位置矢量

2、對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是該動(dòng)點(diǎn)的速度矢量；位置矢量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)（也是：速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)）是動(dòng)點(diǎn)的加速度矢量，詳見運(yùn)動(dòng)學(xué)部分速度矢量與加速度矢量。 3注意：以下是易混淆的兩個(gè)表示：和前者：只要是在上面加一點(diǎn)的，都是對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即：，當(dāng)然加兩點(diǎn)，則是對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即：后者：永遠(yuǎn)是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。如對(duì)于函數(shù)y=y(x) ，則4若自變量有多個(gè)，則應(yīng)該用偏導(dǎo)， 是函數(shù)y=y(x,t) (同時(shí)又有x=x(t) )對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)。（注意： ，對(duì)于多元函數(shù)，一般 ）。5基本求導(dǎo)公式：(1) (C)=0，(2) (xm)=m xm-1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x

3、)=-sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=-csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (csc x)=-csc x cot x，(9) (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，6函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則： (1) (u v)=u v， (2) (Cu)=Cu (C是常數(shù))， (3) (uv)=uv+u v，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 反函數(shù)求導(dǎo)法： 求導(dǎo)法則7復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 解：函數(shù)y=lntan x是由y=ln u，u=tan x復(fù)合而成， 例1y=lntan x，求dxdy。8例2y=3xe，求dxdy。9例

4、3212sinxxy+=，求dxdy。10函數(shù)y=y(x)的微分存在的充分必要條件是：函數(shù)存在有限的導(dǎo)數(shù) y=f(x) ，這時(shí)函數(shù)的微分是： 微分：若函數(shù) y=y(x) 的改變量可表示為： 式中dx=x，則此改變量的線性主部A(x)dx稱為函數(shù)y的微分，記作： 112. 不定積分 不定積分：對(duì)函數(shù) y=y(x) ，如果在給定區(qū)間a,b上有 則其逆運(yùn)算就是求 G(x) 的不定積分（即：求 G(x) 的原函數(shù)）： 上式中可以看出： G(x) （被積函數(shù)）的原函數(shù)為 y(x)+C，不止一個(gè)。其中， C 為積分常數(shù)。 123. 定積分 由上面的不定積分,再加上一定的初始條件，被積函數(shù)的原函數(shù)就是唯一確

5、定的。 幾何意義： 由 y=f(x) 的函數(shù)曲線，初始條件表示的直線，x 軸所圍成的曲邊梯形的面積。 牛頓萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula）：若函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，或分段連續(xù)，則 y=f(x) 在 a,b上有原函數(shù)，設(shè) F(x) 是 f(x) 在 a,b 上的一個(gè)原函數(shù)，則(定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系 )13基本積分表k x C (k是常數(shù))，arctan x C ，arcsin x C ，ln |x|C ，sin x C ，cos x C ，14基本積分表15不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即 性質(zhì)2 求不

6、定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來，即16例4例517 arctan x ln | x | C 例6例7例8定積分18三、矢量分析基礎(chǔ)(由于物理學(xué)研究的需要而產(chǎn)生了矢量) 1.矢量的定義： 具有一定的大小和方向，且加法遵從平行四邊形法則的量。 矢量表示：2.矢量的加法、減法：矢量的加法應(yīng)滿足平行四邊形法則，而減法是加法的逆運(yùn)算，可用三角形法則；如圖所示。 一般計(jì)算矢量的加法、減法時(shí)，對(duì)各分量分別相加減： 193.矢量的數(shù)乘 以實(shí)數(shù) 乘以矢量 稱為矢量的數(shù)乘，記作 ，顯然有： 實(shí)數(shù) 只是一個(gè)系數(shù)，矢量的數(shù)乘可以看作是把原矢量的模伸縮為原來的 倍。 的方向?yàn)椋?時(shí)，與方向不變； 時(shí)，與方向相反。4. 矢量的正交分解 把矢量分解成沿著幾個(gè)正交單位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四邊形法則，又可合成原矢量。 205. 矢量的標(biāo)積和矢積 已知兩矢量 和 ，夾角記作： ，則： （1）矢量的標(biāo)積（又稱：數(shù)量積、點(diǎn)乘、點(diǎn)積、內(nèi)積）：（結(jié)果為標(biāo)量 ）（2）矢量的矢積（又稱：叉乘、叉積、外積）： 矢積 的結(jié)果為矢量；大小為以A、B為邊的平行四邊形的面積： 216.矢量對(duì) t 的導(dǎo)數(shù) 對(duì)矢量函數(shù)（簡稱矢函數(shù)） ，如果極限： 存在，就稱它為矢函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，記作 ，矢函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)仍為矢函數(shù)，從而還可