隨機(jī)變量以及其分布函數(shù)

1、關(guān)于隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第一張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、隨機(jī)變量的引入二、隨機(jī)變量的概念三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)四、隨機(jī)變量的分類第二張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 為什么引入隨機(jī)變量?一、隨機(jī)變量的概念引入2. 隨機(jī)變量的引入 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究， 因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí)， 就建立起了隨機(jī)變量的概念第三張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)例1袋中有3只黑球，2只白球，

2、從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)我們將3只黑球分別記作1，2，3號(hào)，2只白球分別記作4，5號(hào)，則該試驗(yàn)的樣本空間為我們記取出的黑球數(shù)為 X， 則 X 的可能取值為1，2，3因此，X 是一個(gè)變量但是，X 取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，即 X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱 X 為隨機(jī)變量第四張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月X 的取值情況可由下表給出： 由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量 X 的一個(gè)確定的取值，因此變量 X 是樣本空間上的函數(shù).第五張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量 X 的一個(gè)確定的取值

3、，因此變量 X 是樣本空間上的函數(shù)： 我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件例如表示取出2個(gè)黑球這一事件；表示至少取出2個(gè)黑球這一事件，等等第六張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)例2 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球,觀察摸出球的顏色. =紅色、白色 非數(shù)量將 數(shù)量化 可采用下列方法 紅色白色即有 X (紅色)=1 , X (白色)=0.這樣便將非數(shù)量的 =紅色，白色 數(shù)量化了.第七張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)例3 拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S=1，2，3，4，5，6樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有第八張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年

4、6月二、隨機(jī)變量的概念1.定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 是其樣本空間為一個(gè)隨機(jī)變量，我們稱樣本空間上的函數(shù)：R隨機(jī)事件數(shù)量化第九張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月說明(4)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同 隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別 ,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).即隨機(jī)事件數(shù)量化.第十張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(5) 隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律 隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(6) 隨機(jī)變量與隨

5、機(jī)事件的關(guān)系 隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個(gè)范圍更廣的概念之內(nèi).或者說 : 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象.第十一張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)例4 擲一個(gè)硬幣, 觀察出現(xiàn)的面 , 共有兩個(gè)結(jié)果:若用 X 表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù), 則有即 X () 是一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)事件數(shù)量化2. 例子第十二張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)例5 在有兩個(gè)孩子的家庭中,考慮其性別 , 共有 4 個(gè)樣本點(diǎn):若用 X 表示該家女孩子的個(gè)數(shù)時(shí) , 則有可得隨機(jī)變量 X(),第十三張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)例6 設(shè)盒中有5個(gè)

6、球 (2白3黑), 從中任抽3個(gè),則是一個(gè)隨機(jī)變量.實(shí)例7 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次, 則是一個(gè)隨機(jī)變量.且 X(e) 的所有可能取值為:且 X() 的所有可能取值為:第十四張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月稱為 X 的分布函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x1, x2 (x1 x2) ，有：x1 x2 xXo0 xxX三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.概念定義 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，x 是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)注意到 X 的分布函數(shù)是一個(gè)普通函數(shù).第十五張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月0 xX-1x2. 例子例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的為：解：當(dāng) x -1 時(shí)，滿足求

7、X 的分布函數(shù).滿足第十六張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月滿足x-1xX例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的為：求 X 的分布函數(shù).滿足滿足第十七張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月總之-1 0 1 2 3 x1第十八張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例 2 一個(gè)靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. 試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：X（1） 若 x 0,滿足（2）滿足據(jù)題意第十九張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月0 1 2 31F(x)x例 2 一個(gè)靶子是半徑為 2 米的圓盤，

8、設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. 試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：（1） 若 x 0,（2）（3）滿足是必然事件，于是總之第二十張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 性質(zhì)從以上分布函數(shù)的圖象可以看出，分布函數(shù) F(x) 具有以下基本性質(zhì)：10 F (x) 是一個(gè)不減的函數(shù)事實(shí)上，0 1 2 31F(x)x2030性質(zhì)20 ，30不加證明了,可以直觀理解.第二十一張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 性質(zhì)10 F (x) 是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)0 1 2 31F(x)x2030-1 0 1 2 31xF(x)另外，可以證明:(1)分布函數(shù)必須滿足以上三個(gè)性質(zhì).(2)滿足以上三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)一定是某一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).第二十二張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4. 用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率則F (x) 是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)，單側(cè)極限一定存在.第二十三張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例 3第二十四張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例 4由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有解：解方程組得第二十五張，PPT共二十七頁，創(chuàng)作于2022年6月四、隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型其它 根據(jù)隨機(jī)變量可能的取值的特點(diǎn)，將隨