信息技術(shù)2.0微能力：中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（勾股定理）實(shí)際應(yīng)用-中小學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)大賽獲獎(jiǎng)優(yōu)秀作品模板-《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》

1、 中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（勾股定理）實(shí)際應(yīng)用義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）微能力2.0認(rèn)證-中小學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)大賽目 錄作業(yè)設(shè)計(jì)方案撰寫：TFCF優(yōu)秀獲獎(jiǎng)作品- 1 -初中數(shù)學(xué)單元作業(yè)設(shè)計(jì)一、單元信息參評(píng)作品團(tuán) 隊(duì) 作 品基本信息學(xué) 科年級(jí)學(xué) 期教材版本單元名稱數(shù) 學(xué)八年級(jí)第二學(xué)期人教版版勾股定理單 元組織方式自然單元課時(shí)信息序 號(hào)課時(shí)名稱對(duì)應(yīng)教材內(nèi)容1勾股定理內(nèi)容第 17.1(P22-24)2勾股定理的應(yīng)用第 17.1(P25-26)3勾股定理的應(yīng)用第 17.1(P26-27)4勾股定理的逆定理第 17.2(P31-32)5勾股定理的逆定理的應(yīng)用第 17.2(P33-34)二、單元分析( 一)

2、課標(biāo)要求通過探索勾股定理及其逆定理的過程，了解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)一些簡(jiǎn)單 的幾何問題和實(shí)際問題能用這兩個(gè)定理解決。結(jié)合一些具體的例子，對(duì)逆命題、逆定 理基本概念進(jìn)行了解，學(xué)會(huì)識(shí)別互逆命題，對(duì)其真假做出判斷。課標(biāo)中“知識(shí)技能”要求：體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過程；掌握必要 的運(yùn)算 (含估算) 技能。在“數(shù)學(xué)探索”中，讓學(xué)生經(jīng)歷其探索和證明的過程，培養(yǎng) 學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力和嚴(yán)密審慎的思考習(xí)慣；圍繞 勾股定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，培養(yǎng)其民族自豪感；在“數(shù)學(xué)思考”- 2 -方面：通過用代數(shù)式 等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)模型思想及學(xué)科間的聯(lián)系，培 養(yǎng)

3、發(fā)散思維能力；感受從合情推理中探索出數(shù)學(xué)結(jié)論，通過演繹推理進(jìn)行證明的過程， 鍛煉推理能力；能獨(dú)立思考，對(duì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式進(jìn)行體會(huì)。(二) 教材分析知識(shí)網(wǎng)絡(luò)初等幾何中，勾股定理是最重要的定理之一，它給我們揭示了在直角三角形中， 三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，對(duì)數(shù)量關(guān)系和幾何圖形之間起到了橋梁重要的作用。許多平 面幾何中的計(jì)算問題可以用勾股定理和其逆定理來解決，它是解直角三角形的一個(gè)重 要依據(jù)，在微積分學(xué)、解析幾何學(xué)、三角學(xué)中都是重要的理論基礎(chǔ)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā) 展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。離開勾股定理，整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈就難以建立起來。在 本單元的教學(xué)中，除正文介紹的有關(guān)內(nèi)容外，可以根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，

4、對(duì)學(xué)生提出不 同的教學(xué)要求，可以讓學(xué)生自主探究定理的證明，也可以安排收集定理多種證法的數(shù) 學(xué)課外活動(dòng)，通過這些活動(dòng)，使學(xué)生對(duì)勾股定理有較好的理解，從而培養(yǎng)他們學(xué)好數(shù) 學(xué)的自信心。研究方法上， 讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)特殊的等腰直角三角形的性質(zhì)研究比較特殊的直 角三角形陳性質(zhì)一般直角三角形”等最后用趙爽證法加以證明的探索和證明過程，滲透類 比、特殊到一般和一般到特殊等研究問題的思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理 等能力。通過本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能解決直角三角形的計(jì)算問題，還可以把生活中的實(shí)際問 題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決。同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和猜想能力。從勾股定理到其逆定理，學(xué)- 3 -生往往會(huì)從

5、直覺出發(fā)想當(dāng)然認(rèn)為逆定理一定成立。而從直覺上升到邏輯嚴(yán)密的思考和證明， 認(rèn)識(shí)到有聯(lián)系但不相同，認(rèn)識(shí)到新的結(jié)論需要經(jīng)過嚴(yán)格的證明，這是思維能力提高的體現(xiàn)。 所以逆命題也是本章的教學(xué)難點(diǎn)之一。(三) 學(xué)情分析從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律看：在一元一次方程和二元一次方程組中，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何引入未知 數(shù)、如何求未知數(shù)。在幾何圖形，三角形和三角形全等這幾章中，學(xué)生體會(huì)了幾何語言的魅 力，掌握了幾何圖形中的基本關(guān)系，推理能力得到很大的提高。在二次根式中我們學(xué)習(xí)過最 簡(jiǎn)二次根式，加深了對(duì)無理數(shù)的理解。這些學(xué)習(xí)都為勾股定理的學(xué)習(xí)，打下了思想方法基礎(chǔ)， 讓學(xué)生可以用方程來解決直角三角形的邊長(zhǎng)問題，感受到“數(shù)形通性”，并用代

6、數(shù)研究幾何 的一般路徑。從學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維規(guī)律看：八年級(jí) (下) 學(xué)生已經(jīng)具有一定的自主學(xué)生能力和獨(dú)立思考能力，積累了一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并渴望自己參與其中。但是，學(xué)生的思 維方式和思維習(xí)慣還不夠完善，數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力、推理能力、證明能力尚且不足。因此， 應(yīng)加強(qiáng)勾股定理證明的理解、及與幾何圖形之間的聯(lián)系的應(yīng)用練習(xí)，強(qiáng)化運(yùn)用“勾股定理 和其逆定理”來解決生活中的實(shí)際問題。架通學(xué)生思維的“橋梁”，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維， 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、代數(shù)推理、邏輯推理等能力。因此， 勾股定理和其逆定理的證明， 應(yīng)用是本單元的學(xué)習(xí)重點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和嚴(yán)密審慎的思考習(xí)慣也是重中之重。三、單元學(xué)習(xí)與作業(yè)目

7、標(biāo)1.通過探索勾股定理及其逆定理的過程，了解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)一些簡(jiǎn) 單的幾何問題和實(shí)際問題能用這兩個(gè)定理解決。2.初步認(rèn)識(shí)勾股定理及其逆定理的重要意義，并把之應(yīng)用于幾何問題，體會(huì)數(shù)學(xué) 模型思想。3.通過具體例子，了解逆命題、逆定理的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命 題與逆命題之間的關(guān)系，并會(huì)判斷其真假。4.探索和交流勾股定理及其逆定理的發(fā)現(xiàn)，證明過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信 心；通過介紹國(guó)內(nèi)外在勾股定理的有關(guān)研究成果，體會(huì)知識(shí)無國(guó)界，培養(yǎng)民族自豪感。四、單元作業(yè)設(shè)計(jì)思路作業(yè)采用分層設(shè)計(jì)。每課時(shí)都設(shè)計(jì)“基礎(chǔ)性作業(yè)”(面向全體，體現(xiàn)課標(biāo)，抓住兩基， 學(xué)生必做題)和“發(fā)展性作業(yè)” (體現(xiàn)個(gè)

8、性化，探究性、實(shí)踐性，學(xué)科滲透性，學(xué)生有選擇- 4 -的做) 。具體設(shè)計(jì)體系如下：五、課時(shí)作業(yè)第一課時(shí) (17.1 勾股定理)作業(yè)1 (基礎(chǔ)性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1) 設(shè)a和b分別為直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng),c為斜邊長(zhǎng)。已知a=8,b=15, 求c;已知b=7,c=25，求a;已知c=13,a=5, 求b;已知c=12,a=5 求b.(2) 仿照課本P24練習(xí)2，在網(wǎng)格紙上設(shè)計(jì)一棵“枝繁葉茂”的“勾股樹” ，貼在班級(jí)宣傳欄；(3) 如圖，已知CD90 ，D，E，C三點(diǎn)共線，各邊長(zhǎng)如圖所示，請(qǐng)利用 面積法證明勾股定理。- 5 -2.時(shí)間要求 (15分鐘以內(nèi))3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備

9、注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜 合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析與設(shè)計(jì)意圖作業(yè)第 (1) 題要求學(xué)生理解直角邊和斜邊，會(huì)用勾股定

10、理求斜邊和直角邊，加 深對(duì)勾股定理的理解和運(yùn)用。其中，第小題已知兩直角邊求斜邊，第小題已 知斜邊和直角邊，求另一直角邊。作業(yè)評(píng)價(jià)時(shí)注意求出的b是二次根式；第 (2) 題 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解勾股定理的由來，增加作業(yè)的趣味性；第 (3) 題要求學(xué)生會(huì)證 明勾股定理，能夠加深學(xué)生對(duì)勾股定理多種證明方法的理解。- 6 -作業(yè) 2 (發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1) 下列說法正確的是 ( ) 。A ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則 a2 + b2 = c HYPERLINK l _bookmark1 2B RtABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則 a2 + b2 = c2C RtABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,c

11、, ABC=900 ，則a2 + b2 = c2D RtABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,c, ACB=900 ，則a2 + b2 = c2(2) 如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CEa ，HGb ，則斜邊BD的長(zhǎng)是 ( ) 。A a+b B a b C D (3) 制作一份手抄報(bào)：勾股定理的相關(guān)數(shù)學(xué)史背景及不同種證明方法 (跨課時(shí)作業(yè)) 。2.時(shí)間要求 (第 (1) (2) 題5分鐘以內(nèi)，第 (3) 題30分鐘)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 7 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備 注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤

12、、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析與設(shè)計(jì)意圖作業(yè)第 (1) 題要求學(xué)生清晰地辨別勾股定理的表述；明確勾股定理成立的條件；第 (2) 題分類討論：3和4都是直角邊；4是斜邊兩種情況，理解直角三角形斜邊是 最長(zhǎng)邊，要求學(xué)生具有分類討論

13、的數(shù)學(xué)思維；第 (3) 題是跨課時(shí)作業(yè)，給學(xué)生充分 的時(shí)間，手抄報(bào)完成后組織學(xué)生進(jìn)行交流、 自述活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生綜合能力。- 8 -第二課時(shí) (17.1 勾股定理)作業(yè)1 (基礎(chǔ)性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1) 九章算術(shù) “勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去 適一丈.問戶高、廣各幾何. ”大意是說：已知長(zhǎng)方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角 線長(zhǎng)1丈，那么門的高和寬各是多少 (1丈10尺，1尺10寸) ？若設(shè)門的寬為x寸，則下列方程中，符合題意的是 ( ) 。A2x+12 (x+0.68) 2 B2x+ (x+0.68) 212Cx2+1002 (x+68) 2 Dx2+ (x+68)

14、21002(2) 如圖，一根竹竿立在墻角，其中ACB為直角，已知竹竿AB長(zhǎng)2.5米，頂點(diǎn)A在AC上滑動(dòng)，量得竿竹下端B距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，竹竿頂端A下滑_米。(3) 印度數(shù)學(xué)家什迦邏(11411225年)曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清 可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離 原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？ ”請(qǐng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問題。2.時(shí)間要求 (15分鐘以內(nèi))3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 9 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備 注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正

15、確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜 合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析與設(shè)計(jì)意圖作業(yè)第 (1) 題是考查學(xué)生勾股定理與方程的應(yīng)用；第 (2) 題是考查學(xué)生兩次運(yùn) 用勾股定理進(jìn)行計(jì)算；第 (3) 題同樣是勾股 定理與方程的應(yīng)用，同

16、時(shí)讓學(xué)生感受中 國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化。- 10 -作業(yè) 2 (發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1) 如圖為某樓梯，測(cè)得樓梯的高3米，長(zhǎng)為5米，計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯，地 毯的長(zhǎng)度至少為( )A4米 B7米 C8米 D9米(2) 將一根25 cm的筷子，置于底面直徑為17 cm，高8 cm的圓柱形水杯中，如 圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為h cm，則h的取值范圍是_。(3) 如圖，在RtABC中， C90 ，AB10 cm，AC6 cm，動(dòng)點(diǎn)P在射線BC 上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)B出發(fā)沿方向C以2 cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts。(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)ABP為直角三角形時(shí)，求t的值。2.時(shí)間要求 (第

17、(1) (2) 題5分鐘以內(nèi)，第 (3) 題15分鐘)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 11 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜合評(píng)價(jià)為 B 等；其

18、余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析與設(shè)計(jì)意圖作業(yè)第 (1) 題構(gòu)建模型，主要考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力；如 何抽象成“符號(hào)化” 。第 (2) 題比較靈活，主要考查學(xué)生利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)判斷 有無直角三角形，筷子何時(shí)最長(zhǎng)，最短？明確如何在實(shí)際問題中運(yùn)用勾股定理來解決； 第 (3) 題的第 (1) 問，考察勾股定理的直接應(yīng)用，代入計(jì)算即可解決，第 (2) 問 要分類討論：當(dāng)APB為直角時(shí)；當(dāng)BAP為直角時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。- 12 -第三課時(shí) (17.1 勾股定理)作業(yè)1 (基礎(chǔ)性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1) 如圖，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是 ( )A. B. C. 一 D. 一 (2) 如

19、圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為2，則在網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)有( )A0條 B1條 C2條 D3條(3) 已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是6cm，求高AD的長(zhǎng)和SABC2.時(shí)間要求(10分鐘)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 13 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)

20、誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜 合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析與設(shè)計(jì)意圖作業(yè) (1) 設(shè)計(jì)主要考察學(xué)生在數(shù)軸上利用勾股定理，可以作出的 (n是整數(shù)) 的線段，進(jìn)而在數(shù)軸上畫出表示 (n是整數(shù)) 的點(diǎn)。作業(yè) (2) 考察的 是在網(wǎng)格中如何求出線段長(zhǎng)。作業(yè) (3) 就是勾股定理在等邊三角形的應(yīng)用，讓 學(xué)生熟練掌握。- 14 -作業(yè)2 (發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)如圖，是一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)4、寬3、高12，則圖中陰影部分的三角形的周長(zhǎng)為 。(2) 如圖1，兩個(gè)小正方形 (邊長(zhǎng)

21、都為1) 沿對(duì)角線分別剪開，所得的4個(gè)直角 三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形 由此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對(duì) 應(yīng)點(diǎn)的方法1) 圖2中A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為_，_；2) 請(qǐng)你參照上面的方法：把圖3中5 1 的長(zhǎng)方形進(jìn)行剪裁，并拼成一個(gè)大正方形請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網(wǎng)格中畫出拼成的大正方形，則正方形的邊長(zhǎng)a =_。 (注：小正方形邊長(zhǎng)都為1，拼接不重疊也無空隙)在的基礎(chǔ)上，參照?qǐng)D2的畫法，在數(shù)軸上分別用點(diǎn)M、N 表示數(shù)a以及 a 一 3 。 (圖中標(biāo)出必要線段的長(zhǎng)) 。- 15 -2.時(shí)間要求(20分鐘)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正

22、確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析及設(shè)計(jì)意圖作業(yè) (1) (2) 設(shè)計(jì)目的是發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)。第 (1) 題把勾

23、股定理放在學(xué)生常見的長(zhǎng)方體中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通。第 (2)題既考查 無理數(shù)的表示方法，又要模仿題目中給出的解題方法類比求解;學(xué)生要深入對(duì)所 給解題的內(nèi)容的精準(zhǔn)理解，去發(fā)散求當(dāng)由多個(gè)正方形組成的長(zhǎng)方形要拼成大正方 形時(shí)，求其邊長(zhǎng)。- 16 -第四課時(shí) (17.2勾股定理的逆定理)作業(yè)1 (基礎(chǔ)性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1) 以下列每組數(shù)分別為三條線段,能構(gòu)成直角三角形的是( )。A.4,5,6 B.5,12,15C.5, 2 ， 3 D. 2 ，2 3 ， (2) 下列說法錯(cuò)誤的是( )。 A.任何命題都有逆命題 B.任何定理都有逆定理C.真命題的逆命題一定是假命題D.任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成

24、的(3) 下列四組數(shù)中,是勾股數(shù)的一組是( )。A.4,5,6 B. 4,5 C.7,24,25 D.10,60,612.時(shí)間要求 (6分種)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 17 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)

25、等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析及設(shè)計(jì)意圖作業(yè)第 (1) 題要求學(xué)生會(huì)用三邊長(zhǎng)來判斷三角形是否為直角三角形？作業(yè) 第 (2) 題要求學(xué)生正確理解互逆命題和互逆命題概念，并且會(huì)判斷原命題和互 逆命題的正確與否。作業(yè)第 (3) 題主要考察對(duì)勾股數(shù)新概念的理解。- 18 -作業(yè)2 (發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1) 如圖，將ABC放在正方形網(wǎng)格圖中 (圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1) ，點(diǎn)A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么ABC中BC邊上的高是 ( ) 。A B C D (2) 由下列條件不能判定ABC為直

26、角三角形的是( )。A. A: B: C=3:4:5 B. A- B=CC.a=1,b=2,c= 5. D. (b+c) (b-c) =a2(3) 已知 62 + 82 = 102 ，82 + 152 = 172 ，102 + 242 = 262 請(qǐng)寫出勾股數(shù)(大于4的偶數(shù))的規(guī)律_。課下請(qǐng)思考大于1且為奇數(shù)的勾股數(shù)的規(guī)律。(4) 閱讀：小明在學(xué)習(xí)勾股定理后，嘗試著利用計(jì)算的方法進(jìn)行論證，解決 了如下問題：如圖ABC中， C90 ，M是CB的中點(diǎn)，MDAB于D ，請(qǐng)說明三條線段AD 、BD 、AC總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形。2.時(shí)間要求 (15分鐘)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 19 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備

27、注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析和設(shè)計(jì)意圖作業(yè)第 (1) 題綜合運(yùn)用了勾股定理逆定理和求高的等積

28、法，當(dāng)然學(xué)生也可 以用共邊的雙直角三角三角形來求，讓學(xué)生自己去探討何時(shí)用等積法求高。作業(yè) 第 (2) 題學(xué)生要全面了解直角三角形的性質(zhì)，理解從角和邊都可以判定三角形 是否為直角三角形。作業(yè)第 (3) 題明著是勾股數(shù)，暗含的是規(guī)律題，考察是學(xué) 生觀察、總結(jié)、歸納能力。作業(yè)第 (4) 題考察勾股定理逆定理的應(yīng)用，放在勾 股定理之后，主要關(guān)注學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)。- 20 -第五課時(shí) (17.2 勾股定理的逆定理) 作業(yè) 1 (基礎(chǔ)性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)A，B，C三地的兩兩距離如圖所示，B地在A地的正西方向，問：B地在C 地的什么方向？(2)如圖，是某房地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，有人測(cè)量了一

29、下，發(fā) 現(xiàn)ABDC12m，ADBC8m，AC15m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是 否合格？(3)如圖,甲、乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā),甲船以30n mile/h的速度向北偏東 35方向航行,乙船以40 n mile/h 的速度向另-方向航行,1 h后,甲船到達(dá)C島， 乙船達(dá)到B島,若C,B兩島相距50nmile，則乙船的航行方向( ) 。A.東偏南35 B.東偏南55C.南偏東35 D.南偏東55(4) 如圖,某開發(fā)區(qū)計(jì)劃在一塊四邊形的空地ABCD上種植草坪,已知A 為直 角，AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,種植每平方米草皮的預(yù)算費(fèi)用為240元,若草坪 的保養(yǎng)費(fèi)用占種植草

30、皮總預(yù)算的3% ,求草坪保養(yǎng)費(fèi)用。2.時(shí)間要求 (10 分鐘)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 21 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備 注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜合評(píng)價(jià)為

31、B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析與設(shè)計(jì)意圖第(1)(2)(3)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，怎 樣運(yùn)用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形。探究解決實(shí)際問題，要抓住 其本質(zhì)，理解其意圖；從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股 定理的逆定理”的意識(shí)。第(4)題，將幾何信息標(biāo)注到圖上，構(gòu)建幾何模型; 將已知條件轉(zhuǎn)化到幾何 模型上,學(xué)生仔細(xì)觀察，聯(lián)想前后所學(xué)知識(shí)，綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理。培 養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力、邏輯思維能力。- 22 -作業(yè) 2 (發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)在ABC中，AD為BC邊的高，AB13，BC14，AC15，求CD

32、的長(zhǎng)。(2)如下圖所示，我國(guó)領(lǐng)海線為南北向MN，領(lǐng)海線以東為公海，某日上午9：50，我國(guó)反發(fā)現(xiàn)，有一走私艇C從正東方以13海里/時(shí)的速度偷偷向我領(lǐng)海開來， 走私A艇立即通知正在MN線上巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意。反走私艇A和走私 艇C的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里；反走私艇B測(cè)得距離C艇12海里， 若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)候進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？(3)如上圖，已知等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)P，PA3，PB4，PC5，求APB的度 數(shù)。2.時(shí)間要求 (15 分鐘)3.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)- 23 -作業(yè)評(píng)價(jià)表評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備 注ABC答題的準(zhǔn)確性A 等，答案正確、過程正確。B 等，答案正確、過程有問題

33、。C 等，答案不正確,有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯(cuò)誤、或無過程。答題的規(guī)范性A 等，過程規(guī)范，答案正確。B 等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C 等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯(cuò)誤。解法的創(chuàng)新性A 等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。B 等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。C 等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。綜合評(píng)價(jià)等級(jí)AAA、AAB 綜合評(píng)價(jià)為 A 等； ABB、BBB、AAC 綜合評(píng)價(jià)為 B 等；其余情況綜合評(píng)價(jià)為 C 等。4.作業(yè)分析與設(shè)計(jì)意圖第(1)題，主要是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后求解，這種 方法常用在解有公共直角或兩直角互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)直角三角形的圖

34、 形中。第(2)題，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際問題符號(hào)化，模型化。用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)解決實(shí)際問 題。第(3)題，本題稍有難度，主要考察等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理 的逆定理綜合運(yùn)用，還外加旋轉(zhuǎn)。如何構(gòu)造APE，怎樣判定其為直角 三角形。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感。六、單元質(zhì)量檢測(cè)作業(yè)( 一) 單元質(zhì)量檢測(cè)作業(yè)內(nèi)容一、選擇題 (單項(xiàng)選擇)1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P ( 一 2，3) 到原點(diǎn)的距離是( )A. B. C. D.22.若RtABC中， 三C = 90o 且c = 25 ， a = 24 ，則b = ( )A.11 B.8 C.7 D.53.一輪船從港口A向東北方向以12海里/時(shí)的速度出發(fā)航行，另一輪船從港

35、口A出 發(fā)以16海里/時(shí)的速度同時(shí)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后兩船相距( )海里。A.10 B.30 C.35 D.404.線段長(zhǎng)度如下列各組數(shù)，其中不能構(gòu)成直角三角形的是 ( )A.1, ,2 B.1, ,3 C.5,12,13 D.3,4,55.若等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，那么ABC的面積為( )A. B.2 C.3 D.4二、填空題6.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是 。7.如圖，已知在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm， 則AC長(zhǎng)為。8.如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，C點(diǎn)恰好落在斜邊AB上為E點(diǎn)，

36、則CD的長(zhǎng)為 。- 24 - 25 -9.如圖，四邊形 ABCD 是正方形，過 A，B，C 三點(diǎn)作平行線 l1， l2， l3。若 l1 與 l2的距離為 5，l2 與 l3 的距離為 7，則正方形 ABCD 的面積為 。 10.一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為 。 三.解答題11.請(qǐng)?jiān)谙聢D的正方形網(wǎng)格 (每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1) 內(nèi)作出格點(diǎn)三角形ABC ( 即頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形)，使得ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=2 ，BC= ， AC= 12.如上圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處,已知CE=3,AB=8,求 (1) CF的長(zhǎng) (2) BF的長(zhǎng)

37、 (二) 單元質(zhì)量檢測(cè)作業(yè)屬性表序號(hào)類型對(duì)應(yīng)單元作業(yè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)水平難度來源完成時(shí)間了解理解應(yīng)用1選擇題1易改編30 分鐘2選擇題1易原創(chuàng)3選擇題1易選編4選擇題2易選編5選擇題1中改編6填空題1中原創(chuàng)7填空題1、2中原創(chuàng)8填空題1中原創(chuàng)9填空題1中改編10填空題1較難原創(chuàng)11解答題2較難選編12解答題1、2較難改編知識(shí)備份（根據(jù)實(shí)際情況刪減）概念被認(rèn)為是兒童智力的基本組成部分，對(duì)基本概念的獲得與兒童整體智力發(fā)展密切相關(guān)（Bruce, Bracken,1998），在數(shù)學(xué)領(lǐng)域亦是如此，兒童對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決和交流的前提和基礎(chǔ)，例如，兒童理解定量的相關(guān)概念，如“多”、“少”、“很多

38、”、“較少”可以讓而兒童掌握量的比較并進(jìn)行描述(Barner, Chow & Yang, 2009)；掌握空間概念能夠讓兒童對(duì)數(shù)軸上的數(shù)字關(guān)系以及空間物理對(duì)象之間的關(guān)系進(jìn)行感知并交流和討論(Ramani, Zippert, Schweitzer, etal.,2014)，同時(shí)，早期兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是操作性的，但是這種操作是建立在對(duì)基本數(shù)學(xué)概念理解基礎(chǔ)之上的，當(dāng)兒童不能準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念時(shí)，也無法掌握更進(jìn)一步的數(shù)學(xué)內(nèi)容(Barner, Chow & Yang, 2009)，因此，數(shù)學(xué)概念的理解是兒童進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的前提和保障。一、3-6 歲兒童數(shù)學(xué)概念理解能力的現(xiàn)狀水平（一）3-6 歲兒童數(shù)學(xué)概念理解

39、能力的整體 表現(xiàn)為了解 3-6 歲兒童在基本概念理解上的整體表現(xiàn)，對(duì) 433 名兒童在各個(gè)題項(xiàng)上的答題正確率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表 5-2-1 所示：表 表 5-2-1 3-6 歲兒童在基本概念理解上的表現(xiàn)測(cè)試項(xiàng)目 分量表題項(xiàng)總數(shù) 平均答對(duì)題數(shù) 1 項(xiàng)目通過率 2顏色 11 10 90.9%數(shù)字/計(jì)數(shù) 19 16 84.2%量/大小 13 10 76.9%比較 10 7 70%形狀 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知，3-6 歲兒童在基本概念上理解上的整體表現(xiàn)較好，整體通過率為 82.2%。在各分量表上而言，兒童在顏色理解上的表現(xiàn)最優(yōu)，通過率為90.9%，

40、其次為數(shù)字和量通過率為 84.2%，76.9%，兒童在形狀和比較上的表現(xiàn)稍微較弱，通過率僅為 75%和 70%。具體來說，兒童在顏色這一概念上的理解能力非常好，其中對(duì)黑色、白色、綠色、藍(lán)色、黃色、粉色 6 中顏色的識(shí)別率最高，其正確率在 95%以上，其次為紅色、紫色和橙色，正確率在 90%左右，再次為灰色，正確率為 82.4%，兒童在褐色理解的表現(xiàn)上不佳，正確率進(jìn)位 79.7%。兒童在數(shù)字/計(jì)數(shù)上理解總正確率 84.2%，其中對(duì) “數(shù)字 1,2,3,4”的理解識(shí)別理解率最高，正確率均在 95%左右；其次對(duì) 5-9 數(shù)字的理解正確率要高于數(shù)字10 以上的，但是“數(shù)字 9”和“數(shù)字 6”的正確率稍

41、微偏低，在 85%左右；兒童對(duì)兩位數(shù)的理解正確率要低于“個(gè)位數(shù)”，并且數(shù)字的增大，兒童的正確率降低，“數(shù)字 95”、“數(shù)字 41”、“數(shù)字 27”的理解正確率會(huì)顯著低于其他數(shù)字，在70%左右。在圖形計(jì)數(shù)方面，隨著量的增多，兒童的正確率下降，兒童對(duì)“一頭熊”、“三朵花”的正確率要高于“六只鴨子”和“九只蜜蜂”，其中“九只蜜蜂”的正確率最低，為 75.1%。兒童在量/大小上的理解情況略低于數(shù)字/計(jì)數(shù)上的表現(xiàn)，總正確率為 76.9%，說明兒童已經(jīng)能夠掌握量、大小等概念。具體來說，兒童對(duì)最大、最小、最細(xì)、最長(zhǎng)概念的理解情況要優(yōu)于對(duì)最深、最淺、最密的理解。兒童在比較概念上的理解程度較差，在此項(xiàng)目上的通過

42、率為 70%，具體來看，兒童對(duì)“配成一對(duì)”、“完全匹配”、“某物體最像”、“讀的不是書”等概念的理解還存在一定的困難，尚不能從否定方面或者事物特征的某一方面做出選擇和分辨差異。兒童對(duì)形狀理解的正確率為 75%，略優(yōu)于對(duì)比較的理解。具體來說，除了對(duì)“菱形”、“斜線”、“曲線”、“角”這四個(gè)概念的圖形辨認(rèn)率比較低之外，兒童對(duì)二維圖形的理解辨認(rèn)能力要優(yōu)于三維圖形，其中二維圖形中，“圓形”、“正方形”、“五角星”、“心形”、“三角形”、“長(zhǎng)方形”的正確率最高，其次為“排成一隊(duì)”、“排成一行”、“對(duì)號(hào)”、“橢圓形”。在三維圖形中，兒童對(duì)“柱子”、“三棱錐”、“圓柱體”的理解水平要高于“立方體”、“圓錐體

43、”?？傮w來說，Breaken 基本概念難度的設(shè)計(jì)是由易至難、循序漸進(jìn)的，兒童回答正確題目的越少，所獲得概念的難度就越低。因此，從上述結(jié)果表明，3-6 歲小班兒童在比較上的整體理解能力偏差，正確通過率僅為 50%，具體來說，兒童在“不一樣”、“不同”、“不一樣多”幾個(gè)概念的理解能力略高，正確率在 60%以上，其次是“相似”、“一樣大”、“一樣”、“一對(duì)”，正確率均在50%左右，兒童在“完全匹配”、“讀的不是書”、“兩條船最像”等幾個(gè)概念的理解上存在較大的困難，其正確率僅為 30%左右。小班兒童對(duì)形狀理解的正確率為 65%，具體來說，小班兒童能夠理解絕大多數(shù)的二維平面圖形，例如在 “圓形、正方形、

44、三角形、長(zhǎng)方形、五角星、心形”上的正確率為 90%左右，但對(duì)“橢圓形”“菱形”的識(shí)別率不高。同時(shí)，在二維圖形中，兒童對(duì)“斜線”、“曲線”、“角”等幾個(gè)概念的理解還存在很大的困難，特別是“曲線”和“斜線”，兒童的正確率僅為 20%左右。相對(duì)于平面圖形來說，兒童對(duì)三維立體圖形的理解能力稍微偏弱，但 50%上的兒童能夠識(shí)別并正確識(shí)別“三棱錐”、“圓柱體”、“柱子”、“立方體”等幾何形體，而對(duì)于“圓錐體”的理解存在困難。最后，小班兒童能夠?qū)σ恍┬螤钣谜Z做出理解和判斷，例如對(duì)“排成一隊(duì)”、“排成一行”、“對(duì)號(hào)”等正確率也較高。在顏色中，除了“褐色”和“灰色”的正確率在 80%以上，其余顏色正確率均在 9

45、0%以上，95%左右，因此，中班兒童已經(jīng)能夠數(shù)量理解并辨識(shí)各種顏色。在計(jì)數(shù)上，除了在“數(shù)字 95”的正確率為 69.3%之外，其他數(shù)字的識(shí)別以及對(duì)圖片數(shù)字的計(jì)數(shù)的正確率都在 80%以上。在量的理解上，中班兒童已經(jīng)能夠正確理解大小、粗細(xì)等概念，但在“水最淺”、“船最寬”、“網(wǎng)最密”上的正確率較低。在比較概念上，中班兒童理解能力稍微較弱，總正確率為 60%，具體來看，中班兒童能夠基本理解“不一樣、不同、不一樣多”等三個(gè)比較概念，其正確率在 80%左右，但對(duì)于“相似、一樣大”稍微較弱，通過的正確率在 70%左右，而在“一樣、讀的不是書、配成一對(duì)、兩條船最像”不佳，其正確率在 60%左右。對(duì)于“完全匹

46、配”這一概念的理解和掌握則存在困難，其正確率不足 50%。在形狀上，除了“菱形”的正確率為 51.2%之外，中班兒童已經(jīng)能夠完全理解和掌握各種平面幾何圖形的名稱和概念，其項(xiàng)目通過的正確率均為 90%以上，但在二維空間概念上，對(duì)“斜線”、“曲線”、“角”這三個(gè)二維概念的理解和掌握上存在很大的困難，尤其“曲線”的正確率僅為 20%，“斜線”與“角”的正確率也不足 50%。在三維立體圖形的概念中，兒童準(zhǔn)確的理解“柱子”、“三棱錐”，其正確率為 80%以上，對(duì)“立方體”、“圓柱體”的理解偏差一點(diǎn)，在 60%左右，還不能較好的理解“圓錐體”的概念，其正確率不足 50%。數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系

47、和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。3-6 歲的學(xué)前兒童，通過日常生活經(jīng)驗(yàn)，他們對(duì)數(shù)字、模式、形狀、數(shù)量、大小等逐漸形成了一套相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，而這些數(shù)學(xué)概念正是日后正式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。因此，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與掌握則成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要任務(wù)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的前提和保障。兒童在不同概念維度上的表現(xiàn)并不一致，首先，從兒童整體概念的理解水平上看，顏色的理解能力顯著高于其他概念，這是由于顏色概念是人類發(fā)展較早的概念之一，已有研究表明，4 個(gè) 月 的 嬰 兒 已 經(jīng) 能 夠 分 辨 紅 黃 藍(lán) 綠 四 種 顏 色 (Bornstein, Kessen &Weiskopf,1976

48、)，因此在顏色概念的理解和表達(dá)上會(huì)顯著高于其他內(nèi)容；其次是數(shù)字/計(jì)數(shù)概念，趙振國(guó)（2008）通過對(duì) 3-6 歲兒童數(shù)感能力發(fā)展研究得出，在數(shù)感的六個(gè)組成部分中，數(shù)符號(hào)的辨認(rèn)和比較是表現(xiàn)最優(yōu)的(趙振國(guó),2008)，這與本研究的結(jié)果相一致；再次是量和形狀概念，早期兒童的數(shù)學(xué)內(nèi)容是與關(guān)于數(shù)、量、形分不開的，而量與形的相關(guān)概念也是最早起源于日常生活(黃瑾,2016)，因此，兒童也較為能夠掌握相應(yīng)的概念。在五種基本概念中，兒童對(duì)比較的理解能力相對(duì)較弱，一方面是因?yàn)?，比較的概念是與量的相對(duì)性聯(lián)系在一起的，而量的相對(duì)性對(duì)學(xué)前兒童來說是較為抽象的概念(黃瑾,2016)，所以兒童還不能準(zhǔn)確的判斷和了解，另一方面

49、，比較概念的傳遞性，是通過較為抽象的專業(yè)詞匯實(shí)現(xiàn)的，例如“哪兩塊拼圖是完全匹配的、哪兩只鞋子能夠配成一對(duì)、哪兩只動(dòng)物是相似的”，而兒童的詞匯水平也是影響理解的重要因素之一(閆夢(mèng)格,李虹,李宜遜等,2020)，因此，雖然有相應(yīng)的圖片幫助兒童去呈現(xiàn)相應(yīng)的概念，但是由于對(duì)專業(yè)性詞匯的理解不夠，也就表現(xiàn)出在比較概念上的相對(duì)較弱?？傊?，3-6 歲兒童在不同概念體系之間的理解能力并不均衡，在顏色概念理解上的表現(xiàn)最優(yōu)，其次為數(shù)字/計(jì)數(shù)、量/大小、形狀，比較概念的理解水平最低。形狀中僅能理解二維平面圖形，例如“圓形、三角形、正方形”等，對(duì)三維立體圖形的理解中存在較大困難；在比較中，僅能理解“不一樣、不同”等單

50、維層次概念的比較，對(duì)數(shù)學(xué)化、邏輯化程度較高的概念，如“完全匹配、讀的不是書”還不能理解。中班兒童在數(shù)字/計(jì)數(shù)上的表現(xiàn)較小班兒童有了顯著提升，例如，在數(shù)字概念上，除了較大數(shù)字理解的正確率較低之外（例如“95”、“53”、“41”），已經(jīng)能夠完全理解數(shù)字和符號(hào)；但是在比較和量/大小概念上的表現(xiàn)依然不佳。而到了大班，對(duì)數(shù)量概念的理解正確率為 100%，其他各維度的概念的理解正確率也都在 90%左右。從兒童在概念具體內(nèi)容上的整體表現(xiàn)，以及不同年齡班在各個(gè)具體概念內(nèi)容上的表現(xiàn)來看，概念的“數(shù)學(xué)專業(yè)化”、“概念的邏輯化”程度是影響兒童概念理解的主要因素，例如，數(shù)學(xué)專業(yè)化的表現(xiàn)為數(shù)量上的增加“數(shù)字95,47

51、”，概念邏輯性表現(xiàn)為“哪兩個(gè)盒子是不一樣的？”等，這一結(jié)果也從數(shù)學(xué)概念的角度解釋了，專業(yè)的數(shù)學(xué)詞匯、數(shù)學(xué)概念成為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難和挑戰(zhàn)的原因之一（Azlina, Siti & Roziati.,2004）。除了“概念的抽象程度”影響之外，概念的表現(xiàn)形式與兒童對(duì)概念的熟悉程度，也是影響兒童理解能力的重要因素之一，例如，在數(shù)量概念上，無論哪個(gè)年齡班，兒童對(duì)“一頭熊、三朵花”的理解正確率高達(dá) 95%以上，但即使到了大班，也有兒童在“六只鴨子、九只蜜蜂”的點(diǎn)數(shù)上面出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一結(jié)果也說明了物品的數(shù)量與排列方式也是兒童數(shù)字概念的影響因素之一(郭龍丹,黃瑾,2016)。此外，兒童對(duì)概念的熟悉程度也是影響

52、其理解正確率的主要原因，例如，在量的概念理解上，無論是哪個(gè)年齡段兒童都能夠準(zhǔn)確理解 “最大、最小、最長(zhǎng)、最短、最寬、最細(xì)”等幾個(gè)概念，但是對(duì)“深淺、疏密”理解正確率較低，這可能是由于兒童的具體形象性的思維方式有關(guān)，一方面，兒童大小、長(zhǎng)短、寬細(xì)是兒童能夠直覺感知到的物體屬性(黃瑾,2016)，而深淺相對(duì)于具體的物品來說，更具抽象性，因此兒童對(duì)其的理解能力就相對(duì)較弱；另一方面，兒童早期數(shù)學(xué)認(rèn)知的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)最早是來源于日常生活的(周欣,趙振國(guó),陳淑華,2009)，兒童對(duì)物品的熟悉程度也是兒童概念理解的重要因素之一，而深淺、疏密并不是熟悉物品的主要屬性，因此對(duì)其概念的理解能力也偏弱。關(guān)于不同年齡班兒童在概念理解上的整體表現(xiàn)的結(jié)果顯示，小班兒童對(duì)基本概念的理解情況偏低，整體通過率未達(dá) 70%，其中在比較概念的通過率僅為 50%；到了中班，兒童對(duì)基本概念的理解能力顯著提升，整體通過率達(dá)到了80%，這種提升尤其體現(xiàn)在數(shù)字/計(jì)數(shù)方面和形狀方面，除了對(duì)比較概念理解能力相對(duì)較低之外，其他概念的正確率均在 70%上；到了大班，兒童的整體通過率高達(dá) 93.1%，說明大班兒童已經(jīng)能夠完全理解各個(gè)維度上的基本概念。從整個(gè)學(xué)前階段數(shù)學(xué)概念發(fā)展水平來看，小班兒童整體略低，中