第09微分方程初值問題數(shù)值解法方法

1、插 值 法主講教師：劉春鳳微分方程組迭代解法第 九 章 常微分方程解法回顧 (1)變量可分離的方程 (2)一階線性微分方程(貝努力方程) (3)可降階的一類高階方程 (4)二階常系數(shù)齊次微分方程 (5)二階常系數(shù)非齊次微分方程 (6)全微分方程 龍格庫塔方法改進(jìn)的歐拉法歐拉法線性多步法 微分方程組數(shù)值解法13425第九章 微分方程組迭代解法一、 歐拉(Euler)方法問題引出與問題引出歐拉方法幾何意義 許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型是微分方程或微分方程的定解問題,如物體運(yùn)動(dòng),電路震蕩,化學(xué)反映及生物群體的變化等. 能用解析方法求出精確解的微分方程為數(shù)不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表達(dá)式

2、非常復(fù)雜而不易計(jì)算,因此有必要研究微分方程的數(shù)值解法 一、引 言引 言本章重點(diǎn) 研究一階常微分方程的初值問題的數(shù)值解本章假定研究重點(diǎn)初值問題數(shù)值解的提法初值問題數(shù)值解的提出建立微分方程數(shù)值解法,首先要將微分方程離散化.一般采用以下幾種方法:(1) 用差商近似導(dǎo)數(shù) 二、建立數(shù)值解法的常用方法數(shù)值解法的建立方法(2) 用數(shù)值積分近似積分實(shí)際上是矩形法寬高常用方法數(shù)值解法的建立方法(3) 用Taylor多項(xiàng)式近似并可估計(jì)誤差數(shù)值解法的建立方法用差商近似導(dǎo)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為Euler方法的迭代公式 三、Euler方法歐拉方法例1解初值問題的迭代公式為:典型例題用求根公式求解初值問題Clearx,y,hh=0

3、.1;xn_:=n*h;DSolveyx=yx-2x/yx,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,1,6;MatrixForm%y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 - 1.48324求微分方程的解Mathematica程序精確解利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)求解Cleara,b,x,yx0=0;y0=1;h=0.1;xn_:=n*h;fu_,v_:=v-2u/vK1n_:=fxn-1,yn-1yn_:=yn-1+h*K1n;Tablexn,yn,n,0,8/N;MatrixFo

4、rm%0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.277440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.508970.7 1.580340.8 1.64978運(yùn)行結(jié)果Mathematica程序利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完善用歐拉公式求解初值問題近似解精確解0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.277440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.50897y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 - 1.48324結(jié)果比較利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完

5、善例2解初值問題的迭代公式為:典型例題用求根公式求解初值問題Clearx,y,hh=0.1;xn_:=n*h;DSolveyx=(2/3)*x/(yx)2,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,0,10;MatrixForm%y0 - 1y0.1 - 1.00332y0.2 - 1.01316y0.3 - 1.02914y0.4 - 1.05072y0.5 - 1.07722y0.6 - 1.10793Mathematica程序利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完善Cleara,b,x,yx0=0;y0=1;h=0.1;xn_:=n*h;fu_,v_:=(2/3)u/v2;K1n_:=fxn-1,yn-1yn_:=yn-1+h*K1n;Tablexn,yn,n,0,6/N;MatrixForm%0 1.0.1 1.0.2 1.006670.3 1.019820.4 1.039050.5 1.063750.6 1.09321Mathemati