G函數(shù)與經(jīng)濟學的新進展和分析

1、G函數(shù)與經(jīng)濟學的新進展和分析摘 要 從G函數(shù)概念的形成過程出發(fā)，闡述了生產(chǎn)可能性集合、轉(zhuǎn)換函數(shù)與利潤函數(shù)之間的基本關(guān)系，集中討論了由G函數(shù)所闡明的新概念和新思想，進而探索了它對當代經(jīng)濟理論和測度計量的重要貢獻。同時，對可能的新的研究方向做了推測和預(yù)測。關(guān)鍵詞: 生產(chǎn)可能性集合； 轉(zhuǎn)換函數(shù)；利潤 函數(shù)0、引 言 像一切先進的常規(guī)科學學科一樣，現(xiàn)代經(jīng)濟學的理論語言是數(shù)學，本學科知識的系統(tǒng)化程度，則以其中某些基本關(guān)系是否能用函數(shù)得以明確表達，作為重要標志Chiang, 1984。經(jīng)濟學的基本活動是研究人類的經(jīng)濟結(jié)構(gòu)與運動規(guī)律的對應(yīng)孫中才，1998。17世紀，主要由I. Newton（1642-172

2、7）和G. Leibniz (1646-1716)建立了微積分，把數(shù)學擴展到了函數(shù)關(guān)系，令函數(shù)成了表述和探究事物結(jié)構(gòu)與運動規(guī)律的最得力的手段，從而成了近代科學理論的重要的形式化工具丁石孫，1988。1776年，A. Smith(1727-1790)出版國富論，確立了經(jīng)濟領(lǐng)域的規(guī)律意識，將經(jīng)濟學引導(dǎo)到了近代科學的基本路線上。爾后，經(jīng)過幾代人的努力，在19世紀中期，經(jīng)濟理論步入精確化的發(fā)展階段，并于20世紀中期，范式達到科學的標準，致使經(jīng)濟學成為現(xiàn)代常規(guī)科學學科孫中才，1995。范式，也就是在基本規(guī)律方面，能夠明確表達大量科學知識的函數(shù)。而隨著研究的進展，在范式的基礎(chǔ)上，又發(fā)展出若干表示分支理論或

3、方法論的函數(shù)。 科學自身是自身的主宰第一推動叢書編委會，1999。這些函數(shù)所表達的理論意義一旦被確認之后，那么，科學本身就會隨之產(chǎn)生出推動力，令它們向著擴展、補充、完善和精煉的方向運動，直到新的思想出現(xiàn)、更新的表達式能將其完全覆蓋或者替代為止孫小禮，1993。G函數(shù)是在以往生產(chǎn)函數(shù)和經(jīng)營函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，但不是簡單的延續(xù)，而是相當程度的飛躍。它產(chǎn)生的一些新概念，呈現(xiàn)出了若干覆蓋面更明確、層次更深入的研究焦點，導(dǎo)致經(jīng)濟學研究有了更新的視角和更新的出發(fā)點，因而，也就有了更精確的和更透徹的探索可能性。這樣，使經(jīng)濟學步入了一個新的階段，產(chǎn)生了新的推動力量，形成了有關(guān)研究的新局面Kohli，197

4、8；Harrigan, 1997；孫中才，2000。有跡象表明，這個局面很可能會更加蓬勃地擴展開來，并可能持續(xù)相當長的時間。關(guān)于G函數(shù)的深入研究，開始于20世紀60年代末、70年代初，后來經(jīng)過近30年的探索，在21世紀初成為成熟的經(jīng)濟學理論表達式。與此同時，在經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷墓烙嫹矫嬉踩〉昧俗坑谐尚У倪M展Lau et al., 1972；Gopinath et al., 2000。目前，這個函數(shù)已經(jīng)被比較普遍地運用于經(jīng)濟學的理論研究和應(yīng)用研究之中。同時，因為它對經(jīng)濟行為做出了更加深入和全面的概括，從而為政策以及委托代理等概念，提供了經(jīng)濟學意義上的結(jié)構(gòu)性定義，于是，也為廣義的管理學的精確化開辟了道路西

5、蒙，1987。 容易發(fā)現(xiàn)，G函數(shù)的重要性主要在于它對經(jīng)濟理論的貢獻。其中，最為突出的，是它為經(jīng)濟理論的思考，提供了一個更具統(tǒng)攝力的框架，也就是對現(xiàn)代經(jīng)濟運行的規(guī)律進行了更為明確的概括，并給出了一個更為全面而簡潔的數(shù)學表達式。本文以下部分即將對此展開比較詳細的討論。1、G函數(shù)概念的形成 關(guān)于G函數(shù)的概念，似乎最早是由一些應(yīng)用經(jīng)濟學家們從生產(chǎn)經(jīng)濟的思路上發(fā)現(xiàn)的Lau et al.，1972；孫中才，2000。后來經(jīng)過理論經(jīng)濟學家們的努力，使它得到了更加一般化的表達，現(xiàn)在，成了經(jīng)濟科學知識體系中的一個重要節(jié)點。 G函數(shù)，即有約束的準化利潤函數(shù)（restricted normalized profit

6、 function），是從F函數(shù)發(fā)展而來的。F函數(shù)，就是經(jīng)濟分析中通常運用的實物生產(chǎn)函數(shù)和經(jīng)營函數(shù)的統(tǒng)稱。運用利潤最佳化的求解過程，很容易推導(dǎo)出G函數(shù)的定義孫中才，2000。但那樣的結(jié)果，似乎缺乏更一般的意義。為此，20世紀70年代中期，理論經(jīng)濟學家們運用更為抽象的一般過程，即運用更加美妙的數(shù)學對偶原理，使G函數(shù)的定義得到了更加嚴謹?shù)谋硎觥?設(shè)一個商家，在一個給定期間，能夠運用 種投入，以向量來表示為 ，生產(chǎn)種產(chǎn)品，以向量來表示為 。容易理解，在生產(chǎn)組織過程中，這些投入和產(chǎn)出會呈現(xiàn)為各種不同的組合。所有的這些組合，定義為這個商家的生產(chǎn)可能性集合（Production Possibilities

7、 Set），記作 。對于生產(chǎn)可能性集合 ，經(jīng)過深入的研究，理論經(jīng)濟學家們給出了嚴格的數(shù)學描述。 條件I：生產(chǎn)可能性集合 要符合以下6個條件Diewert,1973,p.286：（i） 為一個非空的 維歐氏空間上的非負的 子集，（ii） 是一個閉集，（iii） 是一個凸集，（iv）如果 ， ，那么 （v）如果 ， ，那么 ，（vi）對于所有的（有限的）投入向量 ，那么，根據(jù)上述條件，可生產(chǎn)的產(chǎn)品集合 是有界的。 由此，可以歸納出3點認識如下，即生產(chǎn)可能性集合的定義和這6點描述：1)給定了一個多產(chǎn)出、多部門的分析框架。它們集多種投入和多種產(chǎn)出于一體，從而給出了一個范圍更大、聯(lián)系更緊的框架，使著眼于

8、多種因素與多種后果的經(jīng)濟分析成為可能。主要見生產(chǎn)可能性集合的定義和描述（i）-（ii）；2）假設(shè)了經(jīng)濟體內(nèi)的技術(shù)性質(zhì)。即產(chǎn)出對投入的變換是邊際率遞減的，也就是規(guī)模報酬遞減；產(chǎn)出對產(chǎn)出的邊際替代律是遞增的；和投入對投入的邊際替代率是遞減的。這些性質(zhì)，需要運用Hicks規(guī)則，根據(jù)描述（iii）得出；3）給出了投入-產(chǎn)出界限性分析的基本條件。即有限的投入只能生產(chǎn)有限的產(chǎn)品。見描述（iii）-（vi）。 容易理解，對于商家來說，效率的投入-產(chǎn)出組合的集合（Set of Efficient Input-output Combinations），便是生產(chǎn)可能性集合的技術(shù)情況的反映，也就是生產(chǎn)變換效率的反映

9、。具體地講，技術(shù)情況的變化，就是生產(chǎn)函數(shù)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的變化。經(jīng)濟分析的焦點就是效率，因而對技術(shù)的變化會格外關(guān)注。從集合的概念來說，在生產(chǎn)可能性集合的基礎(chǔ)上，得出效率的投入-產(chǎn)出組合集合會很明了，也很簡單。但是，可能由于生產(chǎn)函數(shù)的概念過于深入人心，而經(jīng)濟學家們已經(jīng)習慣于有關(guān)思路和術(shù)語的運用，在從事這方面的分析時，基本沒有接受集合的概念，而是繼續(xù)沿用了函數(shù)的方法Diewert, 1973。不過，或許為了有別于以往的生產(chǎn)函數(shù)，但也可能主要是出于概念的精確性要求，他們將生產(chǎn)可能性集合中含有的效率的投入-產(chǎn)出組合，描述為 ，并將其稱為轉(zhuǎn)換函數(shù)（Transformation Functions），用以分析技

10、術(shù)的變化。這里，假定在生產(chǎn)可能性集合中選定 為目標產(chǎn)出，轉(zhuǎn)換函數(shù) 告訴我們，要生產(chǎn)出最佳的 的產(chǎn)量，所給定的投入向量 以及其他產(chǎn)出向量 要生產(chǎn)多少。由此，不斷地更換目標產(chǎn)出，直到產(chǎn)出向量中的所有分量都作為目標產(chǎn)出出現(xiàn)一次，便把集合中的生產(chǎn)技術(shù)展現(xiàn)12 轉(zhuǎn)換函數(shù)的定義 對于所有的向量 ，有 ，如果存在一個 ，致使 。條件II：轉(zhuǎn)換函數(shù) ，從經(jīng)濟現(xiàn)實來看，主要要符合以下4個條件：（a） 是一個非負的擴充的實函數(shù)，即 為有限時，它是非負的函數(shù)，（b） 是連續(xù)的凹函數(shù)，（c） 是 的非減函數(shù)， （d） 是 的非增函數(shù)。 對于一個商家來說，如果能夠得出它的轉(zhuǎn)換函數(shù) ，自然就把它的技術(shù)狀況展現(xiàn)出來了，而就

11、此進行進一步的分析也是很容易的了。能夠看出，這樣做很容易局限于微觀的和純技術(shù)的分析。為避免這樣的局限，我們以另一種方式，即以充分考慮了市場條件的方式來規(guī)定這種分析，其基礎(chǔ)就是利潤函數(shù)(Profit Function)。 13利潤函數(shù)的定義 給定一個固定的產(chǎn)品價格的向量 和一個固定的投入價格的向量 ，并且，所有的價格都是正的，即 。對于生產(chǎn)可能性集合 ，生產(chǎn)者的利潤函數(shù) 定義為 。 條件III：利潤函數(shù) 符合以下4個條件： （1） 是一個擴展的凹的實函數(shù)， （2） 對于 的分量是非增的， 14 Hotelling 定理 如果一個利潤函數(shù) 滿足上述條件III，并且在點上 ，關(guān)于產(chǎn)出和投入的價格是可

12、微的，那么，有 和有 這便是Hotelling 定理，也稱Hotelling 引理（Hotellings Lemma）。Hotelling 定理直接建立在數(shù)學對偶理論的基礎(chǔ)之上。根據(jù)這個定理，人們在經(jīng)濟學領(lǐng)域中看到，市場價格與生產(chǎn)可能性集合之間存在著對偶關(guān)系，即確定了后者便可以發(fā)現(xiàn)與之相對應(yīng)的前者；同樣，確定了前者也可以發(fā)現(xiàn)與之相對應(yīng)的后者Hotelling，1932。 15 Hotelling 定理的擴展 就一個足夠規(guī)模的商家或者經(jīng)濟體來說，人們?nèi)菀卓闯鲞@樣的情況，即生產(chǎn)變換過程復(fù)雜，處于中間狀態(tài)上的物品很多，嚴格意義上的產(chǎn)出和投入，在這里似乎轉(zhuǎn)瞬即變。同時，人們也能發(fā)現(xiàn)，要維持生產(chǎn)，還必須

13、有固定的投入與之相適應(yīng)。因而，面對這樣的情況，經(jīng)濟學家以 維向量 記作其可變的投入和產(chǎn)出；以 維向量 記作其固定投入，并用 記作是所有投入和產(chǎn)出的 維向量。 并由此將生產(chǎn)可能性集合的條件之一描述為 。其余的，完全類似于上面的有關(guān)敘述。其中，對應(yīng)于這個生產(chǎn)可能性集合 的非對稱的轉(zhuǎn)換函數(shù) 定義為：如果存在一個 ，致使 ，對于所有的向量 和 。而把生產(chǎn)者可變的利潤函數(shù)（Variable Profit Function）定義為： 這里， ； 。其中， 為生產(chǎn)中或生產(chǎn)后，要買進或出售的可變的投入或產(chǎn)品的固定價格； 為固定投入的數(shù)量。 并由此將生產(chǎn)可能性集合 的條件之一描述為 。其余的，完全類似于上面的有

14、關(guān)敘述。其中，對應(yīng)于這個生產(chǎn)可能性集合的非對稱的轉(zhuǎn)換函數(shù) 定義為：如果存在一個 ，致使 ，對于所有的向量 和 。 而把生產(chǎn)者可變的利潤函數(shù)（Variable Profit Function）定義為： 這里， ； 。其中， 為生產(chǎn)中或生產(chǎn)后，要買進或出售的可變的投入或產(chǎn)品的固定價格； 為固定投入的數(shù)量。 關(guān)于這個利潤函數(shù)的條件，均類似于上述的條件III，需要再次強調(diào)的是以下2點： 1） 于 是線性齊次的，即對于所有的 ， ， 2） 于 是線性齊次的，即對于所有的 ， 。 如果這個利潤函數(shù) 在 ， 處，對于可變的產(chǎn)出和投入的價格是可微的，那么，有 （1） 這里， 是由價格 和固定的投入 所給定的產(chǎn)

15、出 （或者投入 ，若 ）致使利潤最大時的數(shù)量。 這便是Hotelling 定理的擴展。能夠看出，這一擴展，將市場價格與生產(chǎn)可能性集合之間存在的對偶關(guān)系，做了更加概括性的表述，涵蓋的經(jīng)濟內(nèi)容更加廣泛，聚焦的行為更加深入。美妙的數(shù)學把科學的探索引導(dǎo)到了一個更加誘人的境地。 以往的生產(chǎn)經(jīng)濟的研究，是以生產(chǎn)函數(shù)為出發(fā)點，通過經(jīng)營模型，求解因子配置，分析利潤的形成及其內(nèi)在的技術(shù)變化。而根據(jù)上述，從利潤函數(shù)出發(fā)，通過轉(zhuǎn)換函數(shù)，也可以展開對技術(shù)效率和生產(chǎn)運作機理的研究，而且，范圍與深度都會更加擴展。從函數(shù)運用的角度來看，前一種分析可以稱為F函數(shù)的分析過程。相應(yīng)地，似乎后一種分析可以稱為函數(shù)的分析過程。然而，

16、為準確起見，后者被稱為G函數(shù)的分析過程，因為對比F函數(shù)，這一分析過程，不僅涉及到數(shù)值的變換，而且還涉及到函數(shù)的變換?；蛟S，簡單地講，G函數(shù)可以看作是函數(shù)和函數(shù)的統(tǒng)稱孫中才，2000。 上面介紹的，從生產(chǎn)可能性集合出發(fā)，到得出Hotelling定理，又從有關(guān)的擴展出發(fā)，直到得出了這個定理的擴展。容易看出，這一整個過程，是確立利潤函數(shù)和Hotelling定理的過程，或者說是確立G函數(shù)的過程。相應(yīng)地，人們可以理解到，如果得出了利潤函數(shù)，那么，便可以借助Hotelling定理和轉(zhuǎn)換函數(shù)等概念，回轉(zhuǎn)過去，分析生產(chǎn)可能性集合的性質(zhì)。這一回轉(zhuǎn)過程便是G函數(shù)的分析過程。顯然，這種分析過程與其確立過程相比，呈現(xiàn)

17、為思路的翻轉(zhuǎn)。G函數(shù)給了經(jīng)濟學研究一個新的“最終即首要的（The Last is the First）”的邏輯起點。由此明確了一些新的定義和新的概念，從而引導(dǎo)出了一些新的研究思想和新的研究途徑。這些新思想和新途徑，主要集中在兩個方面：一個在技術(shù)的分析方面；另一個在約束條件的分析方面。第2節(jié)集中討論前一個方面，后一個留到第3節(jié)中討論。2、引導(dǎo)了技術(shù)分析的新思路 從 出發(fā)，根據(jù)式（1），即可以得出在 點上的可變產(chǎn)出和投入的數(shù)據(jù)集 。這個數(shù)據(jù)集就是效率的投入-產(chǎn)出集合，它實際上反映了生產(chǎn)可能性集合 的內(nèi)部的技術(shù)狀況。 從這些數(shù)據(jù)出發(fā)，要進行生產(chǎn)可能性集合投入-產(chǎn)出效率的分析，根據(jù)上述，至少有2條途徑

18、可以選擇：一條是，直接就這些數(shù)據(jù)進行相對比較分析，以便揭示其中不同技術(shù)的相對地位；另一條是，運用利潤函數(shù)和轉(zhuǎn)換函數(shù)，21 DEA分析設(shè) ，其中， ； 定義：對于所有的向量 ，有 如果存在一個 ，致使 。并由此得出一個一般的模型： （2）s.t. （3） （4） （5） （6）該生產(chǎn)可能性集合 可以描述為：對于 李強，2005。 模型（2）-（6）的解 ，作為技術(shù)相對效率的展示，可以揭示生產(chǎn)可能性集合內(nèi)在的技術(shù)分布情況，以及可能的替代結(jié)構(gòu)。 DEA是不借助轉(zhuǎn)換函數(shù)的具體形式所進行的分析，也就是不依賴轉(zhuǎn)換函數(shù)參數(shù)結(jié)構(gòu)便可 進行的分析，因此簡稱為非參數(shù)的技術(shù)效率分析。對于有多種產(chǎn)出和多種投入的商家或

19、經(jīng)濟體來說，其最突出的優(yōu)點是簡單、快捷，就是可以對專業(yè)的或部門的平均技術(shù)，進行直接的整合性的相對效率比較魏權(quán)齡，1988。不足之處主要在于，由于是一種非參數(shù)的分析，對技術(shù)差異的內(nèi)在因素揭示不夠，而且，在Hotelling定理的運用方面，也顯得邏輯不夠嚴謹，對于計算結(jié)果的分析，缺乏明確的經(jīng)濟學知識的表述，從而使整個測度計量工作容易流于簡單形式上的經(jīng)驗性模擬或數(shù)據(jù)試驗。22 函數(shù)分析 由G函數(shù)所導(dǎo)致的分析，與以往所不同的主要在于，這種分析的對象是多產(chǎn)出、多投入的關(guān)系。另外，從 函數(shù)出發(fā)的分析，不僅仍然直接針對部門平均水平以及影響因素的分析，還必然涉及一些重要的前提條件，如市場和約束條件。因此說，這

20、種分析是在更具有統(tǒng)攝力模型下的分析，一般地，其分析結(jié)果應(yīng)該更具有深刻的知識性。 顯然，從 出發(fā)，運用函數(shù)分析方法，要分析技術(shù)的差異與結(jié)構(gòu)，主要涉及兩個函數(shù)：一個是利潤函數(shù)本身 ；另一個是轉(zhuǎn)換函數(shù) 。在具體的測度計量中，要能夠盡量準確地反映經(jīng)濟理論已經(jīng)探明的局部規(guī)律，又能夠盡量精確地反映數(shù)據(jù)與一般運動的擬合程度，關(guān)鍵是這些函數(shù)的具體形式要符合理論闡述的性質(zhì)。關(guān)于這些性質(zhì)，本文在此之前的部分里已有闡述。另外，這些具體形式，還應(yīng)與可能實現(xiàn)它的數(shù)據(jù)擬合技術(shù)相適應(yīng)。為此，一些理兩個可變利潤函數(shù)的可選擇形式為：(A) （7）(B) （8）式中， 對于轉(zhuǎn)換函數(shù)，研究結(jié)果確定的一個一般化的線性形式為： （9）

21、 式中， 為一個 維的非負產(chǎn)出向量； 為一個 維的非負投入向量，令 ， ； 為 維的向量，這里 。 事實表明，近年來興起的有關(guān)函數(shù)分析，或者說測度計量研究，基本上都是沿用式（7）-（9）或者其修正形式而開展的Harrigan, 1997；Gopinath et al., 2000。 3、指明了可行的新探索 函數(shù)的推導(dǎo)過程表明，這個函數(shù)是以生產(chǎn)可能性集合和技術(shù)效率分析為基礎(chǔ)的關(guān)系表示。對比以往的經(jīng)濟分析，這個函數(shù)具有了更一般性的概括能力，也有了更一般性的統(tǒng)攝力。 的結(jié)構(gòu)及其推導(dǎo)過程涵蓋了以下4點內(nèi)容：）從 的基本結(jié)構(gòu)能夠看出，這里的兩組影響因素， 和 分別表示固定的價格和固定的投入，明顯地把決定

22、利潤的因子區(qū)分為“市場上的” 和“商家自身所固有的” 這樣兩大類了。 3.2) 由 的定義可以看出，在 中價格 所對應(yīng)的是決策中的可變因子，而 仍是固定因子。3.3)在函數(shù) 中， 和 這兩個集合，從數(shù)學理論上講，在元素數(shù)目上必須保持一定的對應(yīng)關(guān)系，才能保證的 經(jīng)濟現(xiàn)實性，這就是 。）由式（1） 可以看到，擴展的Hotelling定理，僅僅對函數(shù) 的前一種因子 進行了分析，對后一種因子 的分析還屬暫時空缺。 從）和3.2)出發(fā)，人們?nèi)菀椎贸鲞@樣的概念和推斷，即在決策過程中，價格對應(yīng)著可變的因素，也就是市場可以調(diào)節(jié)的物品；固定投入對應(yīng)著市場所不能調(diào)節(jié)的物品。市場調(diào)節(jié)與市場失靈共同決定著利潤的形成。從3.2)的內(nèi)容可以看出，由 出發(fā)可以進行的技術(shù)效率分析，也就是對生產(chǎn)集合內(nèi)部所涵蓋的函數(shù)進行分析，能夠回歸到以往的資源配置和效率分析的基本思路上去。由此可以看出，這個函數(shù)所表征的內(nèi)容是經(jīng)濟學已有途徑的延續(xù)。 但是，因為有了函數(shù) 這樣的更一般的“固定”與“固定”的描述，以及更一般的“可變”與“固定”的描述，便將過去的投入-產(chǎn)出分析推進到了更一般的境地，為更深層的科學規(guī)律的揭示，指明了新的探索方向。更加一般的統(tǒng)一性模型，必定要引導(dǎo)出更加深刻的理論知識Einstein， 1949。）表明，在概念上，這種對應(yīng)關(guān)系，不失為經(jīng)濟學研究的一個新