《橢圓及其標準方程》課件

1、2.2橢圓2.2.1橢圓及其標準方程問題引航1.橢圓的定義是什么?如何求橢圓的標準方程?2.橢圓的標準方程是什么?它具有什么特征?1.橢圓的定義(1)定義:平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于_(大于|F1F2|)的點的軌跡.(2)焦點:兩個定點F1,F2.(3)焦距:兩焦點間的距離|F1F2|.(4)幾何表示:|MF1|+|MF2|=_(常數(shù))且2a_|F1F2|.常數(shù)2a焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程_圖形焦點坐標_a,b,c的關系_2.橢圓的標準方程(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2=b2+c21.判一判(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)橢圓的兩種標準方程中,雖

2、然焦點位置不同,但都有a2=b2+c2.()(2)平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點的集合是橢圓.()(3)橢圓的特殊形式是圓.()【解析】(1)正確.無論在哪種標準方程中,一定都有a2=b2+c2.(2)錯誤.只有常數(shù)大于|F1F2|時,點的集合才是橢圓.(3)錯誤.橢圓與圓的概念不同,沒有特殊情況.答案:(1)(2)(3)2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)a=5,c=3,焦點在x軸上的橢圓標準方程為 .(2)方程4x2+9y2=1的焦點坐標為 .(3)橢圓的方程為 則a=,b=,c=.【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16,所以橢圓的方程為

3、答案： (2)由4x2+9y2=1，得 所以所以焦點坐標為答案：(3)由 所以a2=9,b2=4,c2=5.所以a=3,b=2,c=答案：3 2【要點探究】知識點 1 橢圓的定義1.對橢圓定義的三點說明(1)橢圓是在平面內(nèi)定義的,所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視.(2)定義中到兩定點的距離之和是常數(shù),而不能是變量.(3)常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離,否則軌跡不是橢圓,這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件.2.橢圓定義的兩個應用(1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),則動點M的軌跡是橢圓.(2)若點M在橢圓上,則|MF1|+|MF2|=2a.【知識拓展】橢圓的焦點三角形設M為

4、橢圓 上任意一點(不在x軸上).F1,F2為焦點，則MF1F2為橢圓的焦點三角形.【微思考】在橢圓的定義中,動點M到兩定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(2a)且2a|F1F2|,若2a=|F1F2|,則M的軌跡是什么?若2a|F1F2|,則M的軌跡是什么?提示:當2a=|F1F2|時,點M的軌跡是線段F1F2;當2ab,ac,且a2=b2+c2.(如圖所示)【微思考】(1)在橢圓的標準方程中abc一定成立嗎?提示:不一定,只要ab,ac即可,b,c大小關系不定.(2)根據(jù)橢圓方程,如何確定焦點位置?提示:把方程化為標準形式,x2,y2的分母哪個大,焦點就在相應的軸上.【即時練】橢圓25x2+1

5、6y2=400的焦點坐標為,焦距為_.【解析】把方程化為標準式: 可知焦點在y軸上,則a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,則c=3,所以焦點為(0,3),焦距為2c=6.答案:(0,3)6 【題型示范】類型一 求橢圓的標準方程【典例1】(1)(2014邵陽高二檢測)過點(-3，2)且與 有相同焦點的橢圓的方程是( )(2)求適合下列條件的橢圓的標準方程：兩個焦點的坐標分別為(-4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5，0).焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0，2)和(1,0).經(jīng)過點 和點【解題探究】1.題(1)焦點在哪個軸上？2.題焦點在x軸上的橢圓的標準方程是怎樣的？題焦點在y軸上

6、的橢圓的標準方程是怎樣的？題焦點位置不確定，橢圓的標準方程應如何求？【探究提示】1.橢圓的焦點在x軸上,因為已知方程中x2項的分母較大.2. (ab0); (ab0)；應分焦點在x軸上，y軸上兩種情況討論求解.【自主解答】(1)選A.由方程 可知，其焦點的坐標為 即設所求橢圓方程為 (ab0).因為過點(-3，2)，代入方程為 解得a2=15(a2=3舍去).故方程為(2)由于橢圓的焦點在x軸上,所以設它的標準方程為 (ab0).因為 所以a=5.又c=4，所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求橢圓的標準方程為由于橢圓的焦點在y軸上,所以設它的標準方程為 (ab0).由于橢圓經(jīng)過點(0,

7、2)和(1，0),所以故所求橢圓的標準方程為方法一：當焦點在x軸上時,設橢圓的標準方程為 (ab0).依題意有 解得故所求橢圓的標準方程為當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為 (ab0).依題意有 解得因為ab0，所以無解.綜上，所求橢圓的標準方程為方法二：設所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m0,n0,mn)，依題意有 解得所以所求的橢圓方程為：【方法技巧】1.求橢圓方程的方法方法內(nèi)容適合題型或條件定義法分析條件判斷出點的軌跡是橢圓,然后根據(jù)定義確定方程動點滿足|MA|+|MB|=2a,且2a|AB|待定系數(shù)法由題設條件能確定方程類型,設出標準方程,再代入已知數(shù)據(jù),求出相關參數(shù)已知橢圓上的點的坐標已知焦點坐標或焦點間距離2.橢圓方程的設法技巧若橢圓的焦點位置不確定,需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論,也可設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m0,n0,mn).【變式訓練】求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別是(-2,0),(2,0),橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于6,求橢圓的方程.(2)橢圓的焦點為F1(0,-5),F2(0,5),點P(3,4)是橢圓上的一個點,求橢圓的方程.【解析】(1)由橢圓的焦點坐標為(-2,0)，(2,0),所以可設橢