三角函數(shù)圖象性質(zhì)有關(guān)問題解法

1、函數(shù)y= Asin(x+*)有關(guān)問題解法形如y = Asin(ox +中)的函數(shù)是一類比較重要的函數(shù)，三角中不少問題與此類函數(shù)有關(guān)，在物理和工程技術(shù)方面應(yīng)用也比較廣。初學(xué)者往往對這類函數(shù)的問題感到無從下手。現(xiàn)行教材中，主要研究了它的周 期性、值域(最值)和圖象作法，是在正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和圖象的基礎(chǔ)上，利用換元轉(zhuǎn)化的思想方法進(jìn) 行研究的，這實(shí)質(zhì)上就是解決此類函數(shù)有關(guān)問題的基本思想方法。下面舉例說明這一方法的應(yīng)用。(約定k wz)首先就A、3都是正數(shù)情況加以討論。2. 3例 1.已知函數(shù) y = sin xcosx +、13cos x -，求: 2函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的最小值，并寫出相應(yīng) x的

2、集合;函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。解：原函數(shù)可化為 y =sin(2x )(1)T= 2由 sin(2x+，)= 一1 得 2x 十二=一二十2kn3325 二即x = , k二12,一一，一 , 一一，5二，此函數(shù)的最小值是-1,此時x的集合為x| x = -+依，k = Z 123_ _7二由 2x + 亡一 + 2kn ,+ 2kn 得 x w + kn ,+ kn 3221212一二.7二一一J.函數(shù)的單倜減區(qū)間為+ kn, + kn 1212例2.當(dāng)0ExE時，求函數(shù)f (x) = sin 2x十J3 cos2 x的值域。_ 冗、斛：f (x) =2sin(2x -)3三 三4二,0WxW 一

3、 知一W2x + 一三2333ji由正弦函數(shù)的圖象知 sin(2x -)3.3,12二f(x)的值域?yàn)橐?3,2例3.函數(shù)f(x)=M sin(6x+中)(切0),在區(qū)間a,b上是增函數(shù)，且f (a) = M , f (b) = M，則函數(shù) g(x) = M cos(6x + 邛)在區(qū)間a,b上A.是增函數(shù)B.是減函數(shù)C.可以取得最大值D.可以取得最小值冗 冗冗 冗解：此問題等價于已知 y=sinx在-,-上的單調(diào)性和最值，判斷y = cosx在-,一的性質(zhì)。2 22 2由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象在.7T，三上的部分易知C正確。2由正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖象知，直線x= + kn是正弦曲線的對稱軸；點(diǎn)

4、 （kn,0）是它的對稱中心。由2k-二 TOC o 1-5 h z 此知y = Asin（sx +中）的對稱軸萬程為 切乂+邛=一 +卜兀，對稱中心為（,0）。2例4. （1）函數(shù)y =3sin（2x+（）圖象的一條對稱軸方程為JlJInA.x=0 B.X=C.x=-D. X= 1266k二，斛：由2x + = 一十kn得x = 十 故選B 32122（2）已知f （x） = Asin（sx +中）為奇函數(shù)，則=k-1解：因?yàn)閒 （x） = Asin（cox +邛）的對稱中心為（k,0）,又f（x）為奇函數(shù)，知（0, 0）是它的對0稱中心，即x=0是方程cox +中=kn的解，可得 中=kn

5、（3）已知y =sin 2x+acos2x的圖象關(guān)于直線 x = 三對稱。則a=8 TOC o 1-5 h z a .1斛：函數(shù)可化為 y = va +1sin（2x +中）其中sin邛=,cos中=,a2 1, a2 1一 .二 .3 二由2x +平=一 + kn為此函數(shù)圖象的對稱軸萬程得 甲=+ kn又cos中 024二 2 = 一一 +2kn - tan = a = 1 即 a=-1 4函數(shù)y =Asin（ccx+中）（A 0,0 0）圖象上的點(diǎn)（x,y）與正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（ X, Y）,可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，其中 X = x ,Y = ?。課本上此類函數(shù)圖象的“五點(diǎn)法”作圖實(shí)質(zhì)上就是

6、利用了這 A一對應(yīng)關(guān)系。已知此類函數(shù)圖象上的一些點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式的問題，可利用這一對應(yīng)關(guān)系加以解決。由于中值的多值性，由上面對應(yīng)關(guān)系，具體解法可概括為：選取圖象與x軸的交點(diǎn)，使之與 y軸距離最近，且在右側(cè)附近圖象上升。使它與正弦曲線上的點(diǎn)（0, 0）對應(yīng)，順次建立其它點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系加以求解。例5. （1）已知函數(shù)y=Asin（cox+中）（A a 0,缶 0,$ 090,| 0,中 三）的圖象，則2A .C.解:由圖得儂十中212二2二10 .二B . 0 =，中二一116D. 6 =2,5=631. 31中一得學(xué)=0=226應(yīng)選Co對于A、8中至少有一個是負(fù)數(shù)的情況，可以利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為以

7、上類型解決。形y = Acos（ccx +5），y = Atan（sx +中）的有關(guān)問題也可用類似方法解決。例6.求函數(shù)y =sin（3x +工）的單調(diào)減區(qū)間。4 TOC o 1-5 h z HJI解：法1：函數(shù)可化為y = sin(3x+)知所求為y = sin(3x )的單調(diào)增區(qū)間。44，一 一 一. 一 一 2一二 2.一由 3x 匚+2kn, +2kn得 x +- kn , + -k；i42212 34 3即此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 -一-2k二，一 2k.12 34 3法2：函數(shù)可化為y=sin(3x+F) ,3二二 3_ _2 二 2由 3x +3-亡+2kn,3-+2knMHxW+2kn, +上kn42212 34 3一. 二 2 二 2 _即此函數(shù)的單倜減區(qū)間為 -+ k