行列式行列式性質(zhì)計(jì)算

1、關(guān)于行列式行列式的性質(zhì)計(jì)算第一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、對換二、行列式的性質(zhì)（重點(diǎn)）三、行列式的計(jì)算（重點(diǎn)、難點(diǎn)）四、行列式按行（列）展開第一章 行列式主要內(nèi)容：第二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 在排列中，將任意兩個(gè)元素對調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個(gè)元素對調(diào)，叫做相鄰對換定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性一、對 換提問：什么叫排列的奇偶性？第三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性證明：設(shè)排列為對換 與除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.第四張，PPT共四十六頁，

2、創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) 時(shí)，經(jīng)對換后 的逆序數(shù)增加1，的逆序數(shù)不變；經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變， 的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng) 時(shí)，現(xiàn)來對換 與第五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性.第六張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),推論奇排列變標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).定理2 階行列式也可定義為其中 為行標(biāo)排列 的逆序數(shù).證明而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),所以推論成立.第七張，PPT共四十六頁

3、，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)1 行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT 相等 由此性質(zhì)可知 行列式中的行與列具有同等的地位行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立 反之同 性質(zhì)2 互換行列式的兩行 行列式變號 二、行列式的性質(zhì)第八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k 等于用數(shù)k乘此行列式。推論 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。 推論 如果行列式有兩行(列)完全相同 則此行列式等于零。第九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)4 若行列式的某一行(列)的元素都是兩個(gè)數(shù)之和 則行列式等于兩個(gè)行列式之和。 即第十

4、張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)5 行列式中如果有兩行(列)元素成比例 則行列式等于零 性質(zhì)6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一個(gè)數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去，行列式不變。第十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月稱n 階行列式為上三角行列式。 下三角行列式？上三角和下三角行列式統(tǒng)稱為三角形行列式。顯然，n階三角形行列式等于它的主對角線上元素的乘積三、行列式的計(jì)算第十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 在計(jì)算行列式時(shí), 可以使用如下記號以便檢查:符號規(guī)定 第 i 行(或列)提出公因子 k 記作 rik (或 cik ) 交換 i j 兩行記作 rir

5、j 交換 i j 兩列記作 cicj 以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上 記作rikrj (cikcj) 對任意的n階行列式可用行列式性質(zhì)將其化為三角形行列式，這時(shí)計(jì)算n階行列式的值即轉(zhuǎn)化為計(jì)算三角形行列式主對角線上的元素相乘的積。第十三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1 計(jì)算 3 1 215 14 3 2 01 1 153 3 214 31 13 3 1 3 21 1 3 21 016 72 0 1 2 31 2 11 0 010 8 0 1 2 31 2 11 0 21 1 1 1 05解： 3 1 215 14 3 2 01 1 153 3 35 2 1c1c2 r2r

6、1r45r1 0 08166 4 0 21 1 72 086 4r2r3 0 010 8 0 01510 r34r2r48r2 0 05/2 040 第十四張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月r4r1r3r16 1 1 1 1 例2 計(jì)算 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 解： c1c2c3c4 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 16 c16 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1r2r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 06848

7、第十五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月D 例3 計(jì)算 解： r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bcabcd0aababc00a2ab00a3abr4r3r3r2abcd0aababc00a2ab000 ar4r3a4 第十六張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 對D1作運(yùn)算rikrj 把D1化為下三角形行列式 設(shè)為 證 例4 證明DD1D2 其中 對D2作運(yùn)算cikcj 把D2化為下三角形行列式 設(shè)為 于是 對D的前k行作運(yùn)算rikrj 再對后n列作運(yùn)算cikcj 把D化為下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2

8、 第十七張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 把D2n中的第2n行依次與2n1行、第2行對調(diào)(作2n2次相鄰對換) 再把第2n列依次與2n1列、第2列對調(diào) 得根據(jù)例4的結(jié)果 有 D2nD2D2(n1) (adbc)D2(n1) 以此作遞推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2 (adbc)n 解 例5 計(jì)算2n階行列式 其中未寫出的元素為0 第十八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月四、余子式、代數(shù)余子式所在的第i行和第j列在n階行列式中，把元素的余子式（complement minor），記作階行列式叫做元素劃去后，剩下來的代數(shù)余子式（algebrai

9、c complement minor），而前面附以符號后，叫做元素的來表示，即用符號第十九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例如4階行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為：第二十張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月引理 一個(gè) 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 例如第二十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月證當(dāng) 位于第一行第一列時(shí),即有又從而再證一般情形,此時(shí)本次課例4的特殊情形第二十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第1行對調(diào)得(共掉換i-1次)：第二十三張，P

10、PT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月得(共掉換j-1次)：再把D中的第j列依次與第j-1列，第j-2列，第1列對調(diào)第二十四張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月中的余子式元素 在行列式中的余子式仍然是 在第二十六張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月故得于是有第二十七張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月在運(yùn)用定理3來計(jì)算行列式時(shí)，總是按含0最多的行或列來展開行列式，因?yàn)?位置的代數(shù)余子式乘以0后仍然是0。 第二十八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 證明：第二十九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月證：由定理3將

11、行列式按第1行展開，對這個(gè)n1階行列式再按第1行展開有： 這樣逐步推下去，則得到 第三十張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例7 計(jì)算的值。第三十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 第三十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 證：用數(shù)學(xué)歸納法所以當(dāng) 時(shí)，(1)式成立。因?yàn)榈谌膹垼琍PT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月假設(shè)(1)對于n-1階范德蒙德行列式成立.按第1列展開，并把每列的公因子 提出，就有設(shè)法對Dn降階：從第n行開始，后行減去前行的x1倍，有：第三十五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月n-1階范德蒙

12、行列式第三十六張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證把行列式D按第j行展開，有行列式D，特別寫出了第i行和第j行第三十七張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月同理，相同把 換成 ，可得當(dāng) 時(shí)，第i行第j行第三十八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月由此得關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：其中或第三十九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月相關(guān)應(yīng)用 如果第i行的元素為b1 b2 bn 則有 如果第j列的元素為b1 b2 bn 則有第四十張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9 設(shè)D的(i，j)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作 和 ，求第四十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 第四十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月小 結(jié)一、對換二、行列式